北京大学数值分析试题2015经过订正

1、北京大学2014-2015学年第一学期研究生期末考试试题A（闭卷考试）注：计算题取小数点后四位、填空题（每空3分，共24分）设A1应，则A的奇异值为。,22（2）设x0.0001375刻真值xT0.00013759的近似值，则x有位有效数字。（3）设数据X1,X2,X3的绝对误差为0.002,那么X1X2X3的绝对误差约为1。（X）/1（X）,ln（X）是以X0,X1,川，Xn,（n2）为节点的拉格朗日插值基函数，n则（X：2）lk（X）。k022nn（5）插值型求积公式°Xf（X）dXAkf（Xk）的求积系数之和Akk0k0其中X2为权函数，n1。(6)已知x(3,4)T,y(0,

2、1)T,求Householder阵H使Hxky,其中kR。H=。1211,数值求积公式f(x)dxf(-=)f(0)f(-=)的代数精度为1322(8)下面Matlab程序所求解的数学问题是(输入向量x,输出S)x=input('输入x：x=');n=length(x);S=x；fori=2:nifx(i)<S,S=x(i);else,continue;endendS二、（12分）（1）证明对任何初值x0R,2由迭代公式x43cosxk,kOIZ.所产生的序列xkk0都收敛于方程123x2cosx0的根。(2)证明它具有线性收敛性。三、(12分)(1)用辛浦生公式计算积分

3、4eXdx的近似值;0(2)若用复化辛浦生公式计算积分4eXdx,问至少应将区间0,4多少等分才能保证0计算结果有五位有效数字?四、(12分)已知数据表xiV,wi220.5030.5(1)构造关于点集和权的正交函数组0(X),1(X);(2)利用o(x),i(X)拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差1五、(12分)利用Gauss变换阵，求矩阵A的LU分解。(要求写出分解过程)六、(10分)已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式(k1)(k)xixiaiii1(k1)aijXjj1najX(k)、j712mn(1)试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵;(2)证明当A是严格对角占优阵,1时此迭代格式

4、收敛。七、(10分)用插值极小化方法求f(X)X在1,2上的二次插值多项式P2(X),并在1,2上估计误差。(已知Chebyshev多项式T3(t)的三个零点t00.8660,t10,t20.8660)八、(8分)已知求解常微分方程初值问题y'(x)y(x0)f(Xy)的数值格式为y。h2yn1ynhf(xnyn)f'(xnyn)1f(xnyn)y(X0)y0问此数值格式是几阶格式?北京大学2014-2015学年第一学期研究生期末考试试题标准答案A（闭卷考试）课程名称:数值分析填空题（每空3分，共24分）(1)(2)x22(5)(6)434355或H5534345555(3)0

5、.006(8)求向量x的最小值二、（12分）记（x）2-cosx,3贝U'(x)2.sin3(1)先考虑区间3,5时,(x)2一cosx33,5,'(x)xk1123x(2)则由(1)2一sinx31。故对任意初值x02，-cosxk,k0,1,2,.广生的序列xk32cosx0的根。对任意初值Xo可知，由迭代公式于方程123x2cosx*xk1x(3)xk1xk此格式线性收敛性3,5,由迭代公式0都收敛于方程(6分)xk10的根。2"(cosxk2cosx032一cosxk,k3(2分)*一cosx)2sin,lim3kxk1xk23*x3,5,将此Xi看成新的迭代

6、初值,0,1,2,.产生的序列.*sin(xkx)lim*x2.-sin3xkko都收敛k0(4分)14三、(12分)(1)0exdx4(e04e2e4)56.1029(5分)(2)由f(x)ex,f(x)ex,|R(Sn)|=引(5分)因为I.I,且n必须为偶数(复化辛普森公式)IMl所以IIrvl(2分)至少将区间0,430等分才能保证计算结果有五位有效数字四、(12分)(1)首先构造关于点集和权的首一正交多项式i(x),i0,1,显然0(x)1,设(x)xa0(x),由1(x)与0(x)正交得a(0(x)，x)(0(x),0(x)故有1(x)(4分)(2)设P2(x)a00(x)a11(

7、x),则a。(0(x),y)(0(x),0(x)9/2294,a11(x),y)(1(x),1(x)1/21P1(x)12(x1)(4分)I|2l|Y|2a2(0(x),0(x)a；(1(x),1(x)92(4)12(2)0.125(4分)五、(12L1,L1Aa(2)(3分)L3六、七、L；L13(10分)(1)aHxi(kDx(k(Dx(k1)迭代法的矩阵形迭代矩阵右端向(2)占优时,(10分)1时,0012A13/513/521/13(3分)(3分)1)1),ALU(313(k)aHXiDxL)x(k(D(k)(D(D(b(b1)(1L)1(1(k1)XL)1(L)1bLx迭代格式为1(

8、kaijxj1(k)D)D1)1)(UU)x(k)U)x(k)D)x(k)b(DL)1b1,2,|,nBx(k)gU(1)D)Gauss-seidel迭代格式,Gauss-seidel迭代格式收敛。已知Chebyshev多项式T3S)的三个零点t011作变重代换x(t3，得三个插值下点xk(tk22(6当A严格对角(4分)08660110t,08660.,1,2.,3),k0,1,2x01.0670,x11.5,x21.9330f(x0)0.3440,f(x1)0.2231,f(x2)0.1447构造差商表xif(x。一阶差商二阶差商1.06700.34401.50000.22310.27921.93300.14470.18110.1133牛顿插值多项式P2(x)0.34400.2792(x1.0670)3.5863(x1.0670)(x1.5)2(6分)0.1133x20.5701x0.8234R2(x)jx°)(xx,)(xe13I(-)max(tt°)(tt1)(tt2)62-1t13)3220.0019八、(8分)八2%1Vnhf(A丫0)1f'(A丫口)1h