函数极限的四则运算及复合函数的极限PPT学习教案

1、会计学1函数极限的四则运算及复合函数的极限函数极限的四则运算及复合函数的极限 极限运算法则的理论依据 )(limaxf )()(xaxf 依据无穷小的运算法则定理法则 一.极限的运算法则第1页/共24页 , )(lim , )(lim 则存在设bxgaxf . ) 0,( , )( , )(bxgaxf 在该极限过程中, )()()()(baxgxf , )()()()(baabbaxgxf . )0( , )()()(bbbabbababababaxgxf第2页/共24页和的极限等于极限的和.乘积的极限等于极限的乘积.商的极限等于极限的商(分母不为零).差一点 ! 结论成立的条件.第3页/共

2、24页 设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则) 0)(lim ( )(lim)(lim)()(lim . 4xgxgxfxgxf)( )(lim)(lim . 2为常数kxfkxfk)(lim)(lim)()(lim . 3xgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim . 1xgxfxgxf )(lim)(lim . 5 nnxfxf )(lim)(lim , )()( . 6xgxfxgxf则若在极限过程中第4页/共24页 二.复合函数的极限 . )( )( )( 复合而成及是由设xuufyxfy : 由极限的概念可知

3、 . ),U( 0uu有 , ),(U , 0 , 0 , )(lim00时当即uuaufuu . ),U(ay有 , ),(U , 0 , 0 , )(lim000时当即xxuxxx ),U( ),(U 0, 000uuxx . ),U( ay第5页/共24页 . )( )( )( 复合而成及是由设xuufyxfy , )( )(U , )(lim 0000又有内且在若uxxuxxx . )(lim)(lim , )(lim000aufxfaufuuxxuu则注意这个条件, 缺了它定理不一定成立. . , )( 0在定义域内的值是的“自变量”是函数uuufu第6页/共24页由极限的定义, 即

4、要证明： , | 0 , 0 , 00有时使当xx. |)(| |)(|aufaxf , 0 , 0 , )(lim 0故由aufuu , | 0 0时当uu. |)(| auf , 0 , 0 , )(lim 100故对上面的又uxxx , | 0 10时当xx . |)(| |00uxuu则取中设在 ,min ,)( ),(U 21020 uxx, )( | 0 , | 0 000uxuuxx时当. |)(| , auf从而证证第7页/共24页综上所述： , | 0 , 0 , 00时当xx |)(| |)(|aufaxf . )(lim)(lim 00aufxfuuxx即第8页/共24页

5、 例例. , 0) ( , , ,1)( 为无理数为有理数即互质与设xxqpqpxqxf. 0 0, , 0 , 1 )(uuug0.) 0,( , 1)(lim , 0)(lim0000uxugxfux . )(lim 0不存在但xfgx请想想,为什么?第9页/共24页. 1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx求 . , , 0lim 0不能直接用公式计算所以由于xxxxxxx1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx161161lim320 . 6)6116(lim20 xxx 初等展开例例1 1解第10页/共24页 . 22325lim 2xxx求 . , 0)22(li

6、m 2故不能直接用公式计算由于xx)22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22xxxxxxxxxx)42)(325()22)(42(lim2xxxxx . 32)325(lim)22(lim32522lim222xxxxxxx分子分母同时-有理化例例2 2解第11页/共24页 . )2( 1lim xxxx求) )( ( )2( 1lim xxxxxxxxxxxx2)2)(2( 1limxxxx2 12lim . 1111111 2limxxx分子有理化例例3 3解第12页/共24页lim2nn求) 12)(12(1141 2nnn

7、) 12)(12(175153131114135115131 2nnn1211217151513131121nn121121n12112121nn . 21121121limlim2nnnn故 部分分式法例例4 4解第13页/共24页mnmnbamnbxbxbaxaxannnmmmx , , , 0lim00110110证明)()(lim110110nnnmmmxxbxbbxxaxaax原式)(limxGxnmx由，00)(limbaxGx，mnmnmnxnmx , , 1 , 0lim即得所证.证例例5 5第14页/共24页.35123lim2232xxxxxx求3

8、5123lim2232xxxxxx3163252122223223例例6 6解第15页/共24页 . ) 12(lim 3xxx求121lim 3xxx) 12(lim 3xxx01121lim323xxxx或者用下面的方法) 12(lim3xxx)112(lim323xxxx 涉及到两个无穷大的差例例7 7解第16页/共24页.lim sin0 xxe求 , 0sin , 0 而时因为xux , 1lim0uue所以,由复合函数求极限法则 . 1limsin0 xxe这类复合函数的极限通常可写成这类复合函数的极限通常可写成 . 1lim0sinlimsin00eeexxxx例例8 8解第17

9、页/共24页 .lim cosxxx求xxxxxexlncoscoslimlim . 1lnlncoslimeexxx这是求幂指函数极限常用的方法求幂指函数极限常用的方法:. )(ln)(lim exp)(lim)(xfxxfx.lim)(lim )(ln)(lim)(ln)()(xfxxfxxeexf即例例9 9解第18页/共24页 . 1211lim 31xxxx求这是两个无穷大量相减的问题. 我们首先进行通分运算, 设法去掉不定因素, 然后运用四则运算法则求其极限. 11lim1211lim32131xxxxxxx . 3211lim21xxxx解例例1010第19页/共24页, 0 ,

10、0 , 1)(xbxxexfx问 b 取何值时,)(lim0 xfx存在, 并求其值.若 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得 . 2)(lim 0 xfx b = 2 , )(lim 0 xfx2) 1(lim0 xxe,)(lim0 xfxbbxx)(lim0,解例例1111第20页/共24页，Nnxxnx ,1)1 (lim0并由此证明, 1)1 (lim0mnxxmnx其中, n, mN.求xxnx1)1 (lim0 xxxnnnxnx1)!2) 1(1(lim20nxxnnnnx)2) 1(lim10解例例1212第21页/共24页令，11mxy则，1)1 (myx，yxm1)1 (1,)1 ()1 (nmnyx当 x 0 时, y 0, 故1)1 (1)1 (lim1)1 (lim00mnymnxyyxxmnyyyymny1)1 (1)1 (lim0下面证明mnxxmnx1)1 (lim0. 变量代换第22页/共24页 . 0)1(lim : , 236baxxbax使下式成立确定常数 ),1(1 2