数学问题解决及教学（培训）

1、专题四、数学问题解决及教学一、数学问题二、数学问题解决三、数学问题解决的认知分析四、数学问题解决的教学策略五、案例 标准中“解决问题”的总体目标是：初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识，发展实践能力和创新精神。这就表明，“解决问题”的实质是培养学生学会“数学地思维”、具有初步的实践能力和创新精神。这与“解决问题就是强调各种解题技巧的运用”是大不相同的。例1：美国情景数学七年级（相当于我国的五或六年级）统计系列的一个单元：统计与环境统计与环境简介：该单元从解决一个海岛的旅游开发和环境保简介：该单元从解决一个海岛的旅游开发和环境

2、保护问题开始，探讨与数据分析有关的数学内容。护问题开始，探讨与数据分析有关的数学内容。包括抽样、收集数据、问卷调查以及如何表示数包括抽样、收集数据、问卷调查以及如何表示数据和如何运用这些数据合理的做出决策，对所做据和如何运用这些数据合理的做出决策，对所做的决策的前景作出评估，对该海岛的旅游开发前的决策的前景作出评估，对该海岛的旅游开发前景和环境受影响的情况做出直观和量化的说明。景和环境受影响的情况做出直观和量化的说明。内容：内容：1.概述概述 Murre岛简介岛简介气候气候蝙蝠蝙蝠俯视图、等高线俯视图、等高线阐述如何保护与开发阐述如何保护与开发搜集信息搜集信息2.岛上森林的危机岛上森林的危机岛

3、上森林岛上森林古树名木保护古树名木保护3.解释信息解释信息用数据说话用数据说话度假活动中的数据度假活动中的数据 4.描述信息描述信息环境问题环境问题能源问题能源问题节电问题节电问题Murre岛能源使用问题岛能源使用问题水资源问题水资源问题Murre岛的水资源问题岛的水资源问题5.Murre岛旅游规划岛旅游规划野营野营徒步旅行路线徒步旅行路线游客住宿游客住宿其它娱乐项目其它娱乐项目1气候 1另一个海岛的气候1蝙蝠外出觅食的时间与气候的关系1有等高线的俯视图1徒步旅行的路线1选择哪一条作为徒步旅行线路？1关于旅游开发的信息如时间地点项目等等2林木种类面积覆盖率保护的必要性2了解北大西洋沿岸12个国

4、家森保护区林状况3人口分布与旅游4面临的主要环境问题4水资源问题4家庭用水量4总体能源消耗及居民能源使用情况4家用电器的能源消耗情况4家庭垃圾4垃圾构成4总量与人均垃圾产生量4思考减少垃圾量的办法5.制定方案：（野营营地、徒步旅行路线、游野营营地、徒步旅行路线、游客住宿、其它娱乐项目）客住宿、其它娱乐项目）以设计一处野营营地为例，方案应包括：以设计一处野营营地为例，方案应包括：以数据为依据的论证报告以数据为依据的论证报告提供给露营者的营地地图提供给露营者的营地地图营地管理规定营地管理规定介绍营地所在地介绍营地所在地Murre岛的手册岛的手册具体方案中要包括以下内容：具体方案中要包括以下内容：营

5、地的容量及面积的大小营地的容量及面积的大小每个单位的数量及大小每个单位的数量及大小营地的方位及营地周围可能的观赏景点营地的方位及营地周围可能的观赏景点为建营地必须砍伐的树木数量为建营地必须砍伐的树木数量电力、水源供应，垃圾处理方式电力、水源供应，垃圾处理方式营地的运营费用及露营者所需的费用营地的运营费用及露营者所需的费用一、数学问题一、数学问题（一）对（一）对“数学问题数学问题”的理解的理解 问题是数学的心脏。著名数学教育家波利亚在数学的发现一书中指出，所谓“问题问题”就是意味着要去寻找适当的行动，就是意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。以达到一个可见而不立即可及的目标

6、。 牛津大词典对“问题”的解释是： 指那些并非可以立即求解或较困难的问指那些并非可以立即求解或较困难的问题，那种需要探索、思考和讨论的问题，题，那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。那种需要积极思维活动的问题。 在第六届国际数学教育大会上，“问题解决、模型化及应用”课题组提交的课题报告中，对“问题”给出了更为明确而富有启发意义的界定，指出 一个问题是对人具有智力挑战特征的、一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。解问题情境。 该课题组主席奈斯还进一步把“数学问题解决”中的“问题”具体分为两类：一类是

7、非常规的数学问题；另一类是数一类是非常规的数学问题；另一类是数学应用问题。学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所接受。 我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的数学教育学里的“数学教育中的问题解决”中，对什么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨。 综上，对“问题”可以有以下几个方面的理解和认识：1. 问题是一种情境状态问题是一种情境状态 这种状态会与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易于理解的、没有完全确定的解答方法或法则。 所谓所谓有问题的状态，有问题的状态，即这个人面临着他即这个人面临着他们不认识的东西，对于这种东西又不能们不认识的东西，对于这种东西又不能仅仅应用某种典范

8、的解法去解答，因为仅仅应用某种典范的解法去解答，因为一个问题一旦可以使使用以前的算法轻一个问题一旦可以使使用以前的算法轻易地解答出来，那么它就不是一个问题易地解答出来，那么它就不是一个问题了。了。 2. 问题解决中的问题解决中的“问题问题”，并不，并不包括常规数学问题，而是指非常包括常规数学问题，而是指非常规数学问题和数学的应用问题。规数学问题和数学的应用问题。 这里的常规数学问题，就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则、原理，而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题。 3. 问题是相对的问题是相对的 问题因人因时而宜，对于一个人可能是问题，而对于另一个人只不过是习题或练习，而

9、对于第三个人，却可能是所然无味了。 随着人们的数学知识的增长、能力的提高，原先是问题的东西，现在却可能变成常规的问题，或者说已经构不成问题了。 4. 问题情境状态下，要对学生本人问题情境状态下，要对学生本人构成问题，必须满足三个条件构成问题，必须满足三个条件:（1）可接受性。）可接受性。指学生能够接受这个问题，还可表现出学生对该问题的兴趣。（2）障碍性。）障碍性。即学生当时很难看出问题的解法、程序和答案，表现出对问题的反应和处理的习惯模式的失败。（3）探索性。该问题又能促使学生深入地研究和进一步的思考，展开各种探究活动，寻求新的解题途径，探求新的处理方法。 5. 问题解决中的问题解决中的“问题

10、问题”与与“习题习题”或或“练习练习”的的区别区别（1）性质不同）性质不同中学数学课本中的中学数学课本中的“习题习题”或者或者“练习练习”属于属于“常规问题常规问题”，教，教师在课堂中已经提供了典范解法，而学生只不过是这种典范解法师在课堂中已经提供了典范解法，而学生只不过是这种典范解法的翻版应用，一般不需要学生较高的思考。因此，实际上学生只的翻版应用，一般不需要学生较高的思考。因此，实际上学生只不过是在学习一种算法，或一种技术，一种应用于同一类不过是在学习一种算法，或一种技术，一种应用于同一类“问题问题”的技术，一种只要避免了无意识的错误就能保证成功的技术。的技术，一种只要避免了无意识的错误就

11、能保证成功的技术。（2）服务的目的不同）服务的目的不同尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也可能是真正的问题，尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也可能是真正的问题，但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的，而真正的问题但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的，而真正的问题则适合于学习发现和探索的技巧，适合于进行数学原始发现以及则适合于学习发现和探索的技巧，适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。因此，练习技巧与解真正问题所要达到的学习目学习如何思考。因此，练习技巧与解真正问题所要达到的学习目的不大相同，也正因为它们各自服务于一种目的，所以中学教学的不大相同，也正因为它们各自服务于一种目的

12、，所以中学教学课本中的课本中的“习题习题”、“练习练习”不应该从课本中被除去，而应该被不应该从课本中被除去，而应该被保留。保留。然而，解决了这些常规问题后，并不意味着已经掌握了然而，解决了这些常规问题后，并不意味着已经掌握了“问题解问题解决决”。 练习与解决问题的特征比较练习的特征练习的特征解决问题的特征解决问题的特征着重寻找答案着重寻找解决问题的过程往往针对某个知识点或技能点,着重对某项数学技能进行练习着重思考如何将一般知识和技巧运用到新情况中,具有综合性的特点可以对某一类习题反复演练解决问题中的“问题”具有新颖性对思考的要求相对比较低对思考的要求相对比较高（二）好问题的“数学标准” 数学教

13、育家伦伯格指出：解决非单纯练习题式的问题正是数学教育改革的一个中心论题。 一般来说，一个好问题标准应体现在以下三个方面：1、应该具有较强的探究性、应该具有较强的探究性好问题能启迪思维，激发和调动探究意识，展现思维过好问题能启迪思维，激发和调动探究意识，展现思维过程。程。 如同波利亚所指出的“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神”。 这里的“探究性（或创造精神）”的要求应当是与学生实际水平相适应的，既然我们的数学教育是面向大多数学生的。 因此，对于大多数学生而言，具有探索性或创造性的问题，正是数学上“普遍的高标准”，这又并非是“高不可及

14、”的，而是可通过努力得到解决的。 从这个意义上来说，我们这里说的好问题并不是指问题应有较高的难度，这一点与现在数学奥林匹克竞赛中所选用的大部份试题是有区别的。 在竞赛中，“问题解决”在很大程度上所发挥的只是一种“筛子”的作用，这是与以“问题解决”作为数学教育的中心环节和根本目标有区分的。 2、应该具有一定的启发性和可发展空间、应该具有一定的启发性和可发展空间 一个好问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。 同时，“问题解决”还能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌握，有利于学生掌握有关的数学

15、知识和思想方法，这就与所谓的“偏题”、“怪题”划清了界线。 一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部份作种种变化，由此可以引出新的问题和进一步的结论。 问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形，它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。 3、应该具有一定的、应该具有一定的“开放性开放性” 好问题的“开放性”，首先表现在问题来源的“开放”。问题应具有一定的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接关系，这种对社会、生活的“开放”，能够使学生体现出数学的价值和开展“问题解决”的意义。 同时，问题的“开放性”，还包括

16、问题具有多种不同的解法，或者多种可能的解答，打破“每一问题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信息都有用”的传统观念，这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意义。 二、数学问题解决（一）对（一）对“问题解决问题解决”的理解的理解 从国际上看，对“问题解决”长期以来有着不同的理解，因而赋予“问题解决”以多种含义，总括起来有以下六种： 1、把、把“问题解决问题解决”作为一种教学目作为一种教学目的的 例如美国的贝格教授认为：“教授数学的真正教授数学的真正理由是因为数学有着广泛的应用，教授数学要理由是因为数学有着广泛的应用，教授数学要有利于解决各种问题有利于解决各种问题”，“学习怎样解决问

17、题学习怎样解决问题是学习数学的目的是学习数学的目的”。 E.A.Silver教授也认为本世纪80年代以来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。 当“问题解决”被认为是数学教学的一个目的时，它就独立于特殊的问题，独立于一般过程和方法以及数学的具体内容，此时，这种观点将影响到数学课程的设计和确定，并对课堂教学实践有重要的指导作用。2、把、把“问题解决问题解决”作为一个数学基本技能作为一个数学基本技能例如美国教育咨询委员会认为“问题解问题解决决”是一种数学基本技能，他们对如何是一种数学基本技能，他们对如何定义和评价这项技能进行了许多探索和定义和评价这项技能进行

18、了许多探索和研究。研究。 当“问题解决”被视为一个基本技能时，它远非一个单一的技巧，而是若干个技巧的一个整体，需要人们从具体内容、问题的形式、构造数学模型、设计求解模型的方法等等综合考虑。 3、把、把“问题解决问题解决”作为一种教学形式作为一种教学形式 例如英国的柯可劳夫特柯可劳夫特等人认为，应当在教学形式中增加讨论、研究问题解决和探索等形式，他还指出在英国，教师们还远远没有把“问题解决”的活动形式作为教学的类型。 4、把、把“问题解决问题解决”作为一种过作为一种过程程 例如21世纪的数学纲要中提出“问题解决”是学生应用以前获得的知识投入到新或不熟悉的情境中的一个过程。 美国的雷布朗斯认为：“

19、个体已经形成的有关过程的认识结构被用来处理个体所面临的问题”？此种解释，可以使一个人使用原先所掌握的知识、技巧以及对问题的理解来适应一种不熟悉状况所需要的这样一种手段，它着重考虑学生用以解决问题的方法、策略和猜想。 5、把、把“问题解决问题解决”作为法则作为法则 例如在国际教育辞典中指出，“问题解决”的特性是用新颖的方法组合两个或更多的法则去解决一个问题。 6、把、把“问题解决问题解决”作为能力作为能力 例如1982年英国的Cockcroft report认为那种把数学用之于各种情况的能力，称之为“问题解决”。 综合以上各种观点，虽然对“问题解决”的描述不同，形式不一，但是，它们所强调的有着共

20、同的东西，即“问题解决问题解决”不应该仅仅理解为不应该仅仅理解为一种具体教学形式或技能，它应贯一种具体教学形式或技能，它应贯穿在整个教学教育之中。穿在整个教学教育之中。 “问题解决”的教学目的是很明确的，那就是要帮助学生提高解决实际问题能力，而且“问题解决”的过程是一个创造性的活动，因而是数学教学中最重要的一种活动？ 以下是从文献中对“问题解决”的六个不同的概念：（1） 解决教科书中标题文字题，有也叫做练习题； （2） 解决非常规的问题； （3） 逻辑问题和“游戏”； （4） 构造性问题； （5） 计算机模拟题； （6） “现实生活”情境题。（二）问题解决与课标（二）问题解决与课标1.重视问题

21、解决是世界性的趋势重视问题解决是世界性的趋势2.问题解决问题解决1.重视问题解决是世界性的趋势重视问题解决是世界性的趋势如在美国数学课程标准中被列为第一个一如在美国数学课程标准中被列为第一个一般性目标：般性目标：问题解决问题解决交流交流推理推理联系联系（9 9个分知识领域目标）个分知识领域目标）美国数学课程标准中问题解决指：美国数学课程标准中问题解决指：我国数学课程标准中问题解决指：我国数学课程标准中问题解决指： 解应用题是学习的终点解应用题是学习的终点 人为编造的痕迹较为明人为编造的痕迹较为明显，封闭显，封闭 形式：找类型，记结语，形式：找类型，记结语，套公式，形成套公式，形成“条件反条件反

22、射射” “条件条件+题型题型=问题答问题答案案”，无需反思无需反思弗兰登塔尔的看法弗兰登塔尔的看法：引自数学教育反思一书 先理论后实践，先顿悟后操练看似有效，但对前者的精通先理论后实践，先顿悟后操练看似有效，但对前者的精通并不意味着对后者也能精通。并不意味着对后者也能精通。 把文字题的范例在结构上加以修饰，概括出题型，看起来把文字题的范例在结构上加以修饰，概括出题型，看起来好像很有用，但不会成功，因为这些假的题型丝毫无助于好像很有用，但不会成功，因为这些假的题型丝毫无助于解决由文字叙述的那些实际问题。解决由文字叙述的那些实际问题。 让学生再创造越早越好，一旦学生已经被灌输了现成的模让学生再创造

23、越早越好，一旦学生已经被灌输了现成的模式和题型就太晚了。式和题型就太晚了。 应用是不能从教应用中学会的，数学在自然界和社会中的应用是不能从教应用中学会的，数学在自然界和社会中的一些应用不能只由教科书的作者或教师示范说明，而应该一些应用不能只由教科书的作者或教师示范说明，而应该留给学生去再发现。留给学生去再发现。（三）（三）1.改革方向的基本载体改革方向的基本载体有助于培养终生学习的愿望和能力有助于培养终生学习的愿望和能力有助于收获创新意识与实践能力有助于收获创新意识与实践能力2. 课程目标的基本示范课程目标的基本示范体现出从教育和社会的角度看作为教育内容的体现出从教育和社会的角度看作为教育内容

24、的数学更重要，而这是学校数学必须承载的社会数学更重要，而这是学校数学必须承载的社会责任。责任。体现了数学不是一个已经终结的封闭学科体系，体现了数学不是一个已经终结的封闭学科体系，而是一个被渐渐知晓的过程，是一个持续的人而是一个被渐渐知晓的过程，是一个持续的人类发现和创造的探索领域。类发现和创造的探索领域。明确了学校数学的面貌：明确了学校数学的面貌： 明确了学校数学的面貌：明确了学校数学的面貌： 把现实问题作为支撑和激励学习的源泉把现实问题作为支撑和激励学习的源泉 把数学的把数学的“再发现再发现”作为常态目标作为常态目标 着眼于解决问题的过程，鼓励学生运用属着眼于解决问题的过程，鼓励学生运用属于

25、他们自己的经验和策略于他们自己的经验和策略 着眼于多样化、多途径的解决问题策略，着眼于多样化、多途径的解决问题策略，而不是强行用单一的途径去规范。而不是强行用单一的途径去规范。 提供在广泛的背景之下理解、认识和发展提供在广泛的背景之下理解、认识和发展数学抽象符号与具体方法的机会数学抽象符号与具体方法的机会3.教学形态的基本要求教学形态的基本要求从丰富的的问题情境开始，把重要数学原理预设好，从丰富的的问题情境开始，把重要数学原理预设好，用开放性的问题拓展学生的思维，鼓励解决问题的多用开放性的问题拓展学生的思维，鼓励解决问题的多种途径。种途径。安排内容丰富、前后关联的活动，要同时涉及不同的安排内容

26、丰富、前后关联的活动，要同时涉及不同的知识区域，在学生通过情境中设置的问题达到充分理知识区域，在学生通过情境中设置的问题达到充分理解后，再逐步形式化。解后，再逐步形式化。既要有传统的内容，也要包括新的内容，强调内容之既要有传统的内容，也要包括新的内容，强调内容之间的联系。间的联系。从把数学仅仅看成是供记忆复制的一套程序向数学思从把数学仅仅看成是供记忆复制的一套程序向数学思考转变。考转变。从强调机械操练到强调猜想、发现和解决问题。从强调机械操练到强调猜想、发现和解决问题。从把数学看成一个孤立的概念和程序的结合体到把数从把数学看成一个孤立的概念和程序的结合体到把数学看成一个思想和应用相互交织的整体

27、。学看成一个思想和应用相互交织的整体。 在“问题解决”中，相当一部份是实际生活中例子。从构造数学模型、设计求解模型的方法，再到检验与回顾等整个过程要由学生去发现、去设计、去创新、去完成，这是“问题解决”与创造性思维密切联系之所在。 数学教师应创造更有利于问题解决的条件，在为所有年级编制出好的问题并传授解决问题的技能、技巧的同时，尽力为学生的创造性思维提供良好的课堂环境与机会、乃至服务。 （四）数学问题解决的心理分析（四）数学问题解决的心理分析1、从学习心理学看、从学习心理学看“问题解决问题解决” 从学习心理学角度来看，问题解决一般理解为一种认知操作过程或心理活动过程。 所谓所谓“问题解决问题解

28、决”指的是一系列有目的指向认知指的是一系列有目的指向认知操作过程，是以思考为内涵、以问题为目标定向操作过程，是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程。的心理活动过程。具体来说，问题解决是指人们面临新的问题情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己缺少现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动过程。 问题解决是一种带有创造性的高级心理活动，问题解决是一种带有创造性的高级心理活动，其核心是思考与探索。其核心是思考与探索。 认知心理学家认为，问题解决有两种基本类型：认知心理学家认为，问题解决有两种基本类型： 一是需要产生新的程序的问题解决，属于创造一是需要产生新的程序的问题解决，属于

29、创造性问题解决；性问题解决； 一是运用已知或现成程序的问题解决，是常规一是运用已知或现成程序的问题解决，是常规性问题解决。性问题解决。 数学中的问题解决一般属于创造性问题解决，数学中的问题解决一般属于创造性问题解决，不仅需要构建适当的程序达到问题的目标，而不仅需要构建适当的程序达到问题的目标，而且更侧重于探索达到目标的过程。且更侧重于探索达到目标的过程。 问题解决有两种形式的探索途径：试误式和顿悟问题解决有两种形式的探索途径：试误式和顿悟式。式。试误式试误式是对头脑中出现的解决问题的各种途径进是对头脑中出现的解决问题的各种途径进行尝试筛选，直至发现问题解决的合理途径。行尝试筛选，直至发现问题解

30、决的合理途径。顿悟式顿悟式是在长期不懈地思考而又不得其解时，受是在长期不懈地思考而又不得其解时，受某种情境或因素的启发，突然发现解决的方法和某种情境或因素的启发，突然发现解决的方法和途径或方式。对中学生而言，这两种探索形式都途径或方式。对中学生而言，这两种探索形式都是问题解决不可缺少策略。是问题解决不可缺少策略。 三、数学问题解决的认知分析三、数学问题解决的认知分析 现代学习心理学探究表明，问题分为三种状态，即初始状态、中间状态和目的状态。问题解决就是从问题的初始状态开始，寻求适当的途径和方法达到目的状态的过程。因此，问题解决实质上是运用已有的知识经验，通过思考探索新情境中问题结果和达到问题的

31、目的状态的过程。一般来说，数学问题解决是在一定的问题情境中开始。 （一）奥苏贝尔的问题解决模式（一）奥苏贝尔的问题解决模式 现代认知心理学家认为，问题解决是一种现代认知心理学家认为，问题解决是一种以目标为定向的搜寻问题空间的认知过程。以目标为定向的搜寻问题空间的认知过程。奥苏贝尔等人以几何问题的解决为原型，奥苏贝尔等人以几何问题的解决为原型，提出了一个问题解决模式提出了一个问题解决模式 已知条件已知条件明确问题目标与已知条件明确问题目标与已知条件目标目标背景命题背景命题推理规则推理规则空隙空隙策略策略呈现问题情境命题呈现问题情境命题操作操作指导指导缩小缩小缩小缩小填 补填 补空 隙空 隙过程过

32、程 根据奥苏贝尔的模式，问题解根据奥苏贝尔的模式，问题解决经历了四个阶段：决经历了四个阶段： 1 1、呈现问题情境命题、呈现问题情境命题 奥苏贝尔认为问题是由有意义奥苏贝尔认为问题是由有意义的言语命题构成的，其中包含了目的言语命题构成的，其中包含了目标和已知条件。标和已知条件。2 2、明确问题目标和已知条件、明确问题目标和已知条件 学生将问题情境与自己的认知学生将问题情境与自己的认知结构联系起来，从而理解所面临结构联系起来，从而理解所面临问题的性质与条件。这样既明确问题的性质与条件。这样既明确了问题的初始状态，又明确了解了问题的初始状态，又明确了解题的目标。题的目标。 3 3、填补空隙过程、填

33、补空隙过程 学生在找出已知条件和目标之学生在找出已知条件和目标之间的空隙和差距之后，便利用背间的空隙和差距之后，便利用背景命题，根据一定的推理规则和景命题，根据一定的推理规则和解题策略填补问题的固有空隙。解题策略填补问题的固有空隙。 4 4、解答之后的检验、解答之后的检验 问题一旦得到解决，通常便会问题一旦得到解决，通常便会出现一定形式的检验：查明推理出现一定形式的检验：查明推理时有无错误，空隙填补的途径是时有无错误，空隙填补的途径是否最简，问题是否可以进一步推否最简，问题是否可以进一步推广、拓展，等等。广、拓展，等等。设设 ，式中变量，式中变量 、y y满足下列条，满足下列条，求求z z的最

34、大值和最小值。的最大值和最小值。xyz x1255334xyxyx第一，明确问题目标和已知条件第一，明确问题目标和已知条件 首先学生一看到这个题就能首先学生一看到这个题就能判断出这是一道线性规划的题。判断出这是一道线性规划的题。并知道什么是已知条件，什么是并知道什么是已知条件，什么是要求的要求的第二，填补空隙第二，填补空隙 再仔细观察此题的难点是目标再仔细观察此题的难点是目标函数不是熟悉的形式。这道题应该函数不是熟悉的形式。这道题应该怎么做呢？怎么做呢？ 回忆老师讲线性规划时一直强回忆老师讲线性规划时一直强调的一定要明确目标函数的意义。调的一定要明确目标函数的意义。联想以前学过的知识，就发现目

35、标联想以前学过的知识，就发现目标函数跟两点函数跟两点 （ ），（），（ ）所在）所在直线的斜率直线的斜率 很像。很像。1p11, yx2p22, yx1212xxyyk 一比较发现一比较发现 表示是点表示是点（x,yx,y）和点（）和点（0 0，0 0）所在直线）所在直线的斜率。那么点（的斜率。那么点（x,yx,y）表示的）表示的是什么呢，表示的是可行域上是什么呢，表示的是可行域上的点。分析到这里此题也就解的点。分析到这里此题也就解决了。决了。xyz xy第三，解答之后的检验第三，解答之后的检验“这个问题是否可以推广呢这个问题是否可以推广呢”。实。实际上，这道题的方法是可以推广的。际上，这道题

36、的方法是可以推广的。比如当以后我们看到形如比如当以后我们看到形如这样的目标函数时我们也知道怎么这样的目标函数时我们也知道怎么做了。因为这个目标函数表示的是做了。因为这个目标函数表示的是圆的半径，圆心在原点圆的半径，圆心在原点22yxz （二）波利亚（二）波利亚（G.PolyaG.Polya）的）的解题框架解题框架 在在怎样解题怎样解题这部不朽名这部不朽名著中，波利亚对问题解决过程著中，波利亚对问题解决过程进行了深刻的剖析和探索，将进行了深刻的剖析和探索，将问题解决过程编制成一张问题解决过程编制成一张“怎怎样解题样解题”表，其核心思想是启表，其核心思想是启发法发法在在“怎样解题怎样解题”表中，波

37、利亚将问表中，波利亚将问题解决过程分为四个阶段：题解决过程分为四个阶段： 弄清问题弄清问题 7第一，第一，你必你必须弄须弄清问清问题题未知是什么未知是什么? ?已知是什么已知是什么? ?条件是什条件是什么么? ?满足条件是否可能满足条件是否可能? ?要确定未知，要确定未知，条件是否充分条件是否充分? ?或者它是否不充分或者它是否不充分? ?或或者是多余的者是多余的? ?或者是矛盾的或者是矛盾的? ?画张图，引入适当的符号画张图，引入适当的符号把条件的各个部分分开你能否把条件的各个部分分开你能否把它们写下来把它们写下来? ?拟定计划拟定计划 第二，找第二，找出已知数出已知数与未知数与未知数之间的

38、联之间的联系如果系如果找不出直找不出直接的联系，接的联系，你可能不你可能不得不考虑得不考虑辅助问辅助问题题 你应你应该最终得该最终得出一个求出一个求解的计划解的计划你以前见过它吗你以前见过它吗? ?你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否见过相同的问题而形式稍有不同? ? 你是否知道与此有关的问题你是否知道与此有关的问题? ?你是否知道一个可能用得上的定理你是否知道一个可能用得上的定理? ? 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题题 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题这里有一个与你现在的问题有关，且早已

39、解决的问题 你能不能利用它你能不能利用它? ?你能利用它的结果吗你能利用它的结果吗? ?你能利用它的方法吗你能利用它的方法吗? ?为了能利为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素用它，你是否应该引入某些辅助元素? ? 你能不能重新叙述这个问题你能不能重新叙述这个问题? ?你能不能用不同的方法重新叙述它你能不能用不同的方法重新叙述它? ? 回到定义去回到定义去 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题不能想出一个更容易着手的有关问题? ?一个更普遍的问题一个更普遍的问题? ?一个更特殊的问

40、一个更特殊的问题题? ?一个类比的问题一个类比的问题? ?你能否解决这个问题的一部分你能否解决这个问题的一部分? ?仅仅保持条件的一部仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未知数能确定到什么程度分而舍去其余部分这样对于未知数能确定到什么程度? ?它会怎样变化它会怎样变化? ?你你能不能从已知数据导出某些有用的东西能不能从已知数据导出某些有用的东西? ?你能不能想出适合于确定未知数你能不能想出适合于确定未知数的其他数据的其他数据? ?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近变，以使新未知数和新数

41、据彼此更接近? ? 你是否利用了所有的已知数据你是否利用了所有的已知数据? ?你是否利用了整个条件你是否利用了整个条件? ?你是否考虑了包你是否考虑了包含在问题中的必要的概念含在问题中的必要的概念? ?实现计划实现计划 第三，实第三，实行你的计行你的计划划 实现你的求解计划，检验每一实现你的求解计划，检验每一步骤步骤 你能否清楚地看出这一步骤是你能否清楚地看出这一步骤是正确的正确的? ?你能否证明这一步骤是正你能否证明这一步骤是正确的确的? ?回回顾顾 第四，第四，验算所验算所得到的得到的解解 你能否检验这个论证你能否检验这个论证? ?你能你能否用别的方法导出这个结果否用别的方法导出这个结果?

42、 ?你能不能一下子看出它来你能不能一下子看出它来? ?你能不能把这一结果或方你能不能把这一结果或方法用于其他的问题法用于其他的问题? ? （三）问题解决模式（三）问题解决模式 数学问题解决就是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程。解题图式包括个体已有的与新问题有关的知识基础、解题策略和解题经验。解题的认知过程是在元认知调控下，解题者对问题进行表征，对问题进行模式识别，然后将解题图式提取、迁移，进而达到目标状态的信息加工行为。 解决数学问题分为4个阶段:理解问题、选择算子、理解问题、选择算子、应用算子、结果评价应用算子、结果评价。与此对应，其认知过程分别为:问题表征、模式识

43、别、解题迁移、解题监控问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控。 问题表征。问题表征指形成问题空间，包括明确问题的初始状态、目标状态及允许的操作。问题表征分为问题的字面理解和问题的深层理解两个层面。问题的字面理解，指解题者逐字逐句读懂描述问题的问题的字面理解，指解题者逐字逐句读懂描述问题的每一个句子，能用自己的话重新表述问题，把问题中每一个句子，能用自己的话重新表述问题，把问题中的陈述转换成解题者内部的心理表征。的陈述转换成解题者内部的心理表征。问题的深层理解指在问题表层理解的基础上，进一步问题的深层理解指在问题表层理解的基础上，进一步把问题的每一陈述综合成条件、目标统一的心理表征。把问题的每一

44、陈述综合成条件、目标统一的心理表征。问题的深层理解又包括两个方面:识别问题类型，以及区分问题中的有关信息与无关信息。 模式识别。数学模式是指形式化地采用数学语言，概括地或近似地表述某种事物系统的特征或数量关系的一种数学结构。数学中的各种基本概念、数学理论体系、各种定理、法则、公式、算法、命题和方法等，都是数学模式。在数学问题解决中，具有共同结构的一类问题或具有相同解法的一类问题也称为一种模式。所谓模式识别，指当主体接触到数学问题之后，能将所谓模式识别，指当主体接触到数学问题之后，能将该问题归类，使得与自己认知结构中的某种数学模式该问题归类，使得与自己认知结构中的某种数学模式相匹配的过程。相匹配

45、的过程。 解题迁移。解题是学习的基本方式之一。先前的解题学习对后继的解题学习的影响即为解题迁移(problemsolvingtransfer)。解题迁移包括知识、解题记解题迁移包括知识、解题记忆、解题方法及解题技能的迁移。实现迁移的前提是忆、解题方法及解题技能的迁移。实现迁移的前提是有正确的模式识别。有正确的模式识别。 解题监控。解题监控指解题者为了达到解解题监控指解题者为了达到解题目标，在解题过程中对解题活动作为意题目标，在解题过程中对解题活动作为意识对象，对其进行积极主动地计划、监视、识对象，对其进行积极主动地计划、监视、调节和控制的过程。调节和控制的过程。 解题监控属于元认知范畴。 知识

46、基础与解题策略。知识基础指解题者内化的各种数学模式。解题策略指为了有效地达到解题目标，解题者采用的解题思路或方针。 在数学问题解决的第1阶段，即理解问题阶段，解题者要将外部信息转化为内部信息，从表层和深层去理解题意，用自己的内部语言陈述问题的初始状态和目标状态，区分问题中的有关信息和无关信息，并初步识别问题的类型。在这一阶段，需要知识基础作为支持，同时受元认知监控的作用。 在第2阶段，解题者在解题监控作用下，拟定解题方案，将外部信息与长时记忆中的模式作比较，进行对外部模式的识别和外部与内部模式的匹配，此时，解题者需要知识基础与解题策略作为支持。 在应用算子的第3阶段，解题者需要调动与外部信息相

47、匹配的模式，这是一个模式的迁移过程。为了解决当前问题，有时可能会用到多种模式，或是多种模式的组合，甚至还可能改造原来的模式以适应解题的需要。显然，在这一阶段，认知过程受到知识基础、解题策略和解题监控的交互作用。 在问题解决的第4阶段，解题者要对解题结果进行评判和检验，同时反思解题过程，对解题的思路、方法和效果进行评判，此时主要受解题监控的作用。 上述4个解题阶段，都需要以工作记忆作为中介，即外部信息的内化与内部(长时记忆)信息的提取，两者都需要在工作记忆中加工。 概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构简记为CPFS结构。CPFS结构的涵义是:个体头脑中内化的数学知识网络。各知识点(概念、命题

48、).在这个网络中处于一定位置，知识点之间具有等值抽象关系、或强抽象关系、或弱抽象关系、或广义抽象关系。正是由于网络中知识点之间具有某种抽象关系，而这些抽象关系本身就蕴含着思维方法，因而网络中各知识点之间的连结包含着数学方法，即“连线集”为一个“方法系统”。CPFS结构的涵义 教学实践中，往往会产生这样的现象:在概念学习中，当学生学习了一个概念之后，在具体应用这个概念时会出现类型各异的错误，或者是没有把握概念的内涵，无法辨认概念的反例，或者是不能理解概念的变式。在命题学习中，当学生学习了一个命题，特别是学习了一组命题之后，往往不会灵活应用这些命题。产生这些现象的原因是多方面的，但我们认为，个体的

49、CPFS结构是一个主要因素。 不能从多角度、多背景下去深入理解概念，没有在头脑中形成概念体系，那么一旦换一个侧面去阐述同一个概念，学生就会不知所云。对于命题学习也是同样情形，如果学生没有形成完善的命题域和命题系，那么在解决问题时，他们就不能及时、有效地在命题域或命题系中调用适当的模式，从而使欲解决的问题难度加大，或者无法解决问题。事实上，在一组等价命题中选出某些命题去解决不同的问题，理论上说是等价的，但解题的难度却大相径庭。 (l)个体的CPFS结构是解决数学问题的知识基础，它对解题效果有直接的影响。 (2)个体的CPFS结构存在个别差异，优良的CPFS结构是完善的认知结构的必要条件，它能促进

50、问题的成功解决，反之，不良的CPFS结构会阻碍问题的成功解决。 (3)与不良的CPFS结构相比较，优良的CPFS结构在知识点的数量上更丰富，知识网络的结构更合理。 (4)具有高数学能力的学生必具备优良的CPFS结构，低数学能力的学生具有不良的CPFS结构。 (5)促进个体不良CPFS结构向优良CP阵结构的转变，是提高数学教学质量的有效途径。数学学习的CPFS结构理论基础四、数学问题解决的教学策略四、数学问题解决的教学策略（一）问题解决教学的策略分析（一）问题解决教学的策略分析 “问题解决教学问题解决教学”是以数学问题为中心，在教是以数学问题为中心，在教师的引导下，通过学生独立思考和交流讨论等师

51、的引导下，通过学生独立思考和交流讨论等形式，对数学问题进行求解、发展与延伸、迁形式，对数学问题进行求解、发展与延伸、迁移与变形等环节，培养学生处理信息、获取新移与变形等环节，培养学生处理信息、获取新知、应用新知的能力、积极探索的科学精神、知、应用新知的能力、积极探索的科学精神、团结协作的能力。团结协作的能力。1、“问题解决问题解决”是数学教育的核心是数学教育的核心 在课堂教学中设计“好”的问题是极其重要的。在每节课中，问题要努力做到：包含明显的数学概念或技巧；能推广或扩充到数学各单元知识和各种情形；有着多种解决方法。2、怎样进行问题解决教学？、怎样进行问题解决教学？ 给学生提供一种轻松愉快的气

52、氛和生动活泼的环境； 从学生的已有经验出发提出问题，引起学生对结论的迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置； 大胆鼓励学生运用直觉去寻求解题策略，必要时给一些提示； 讨论各种成功的解决，归纳出问题解决的核心。如果可能的话和以前的问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。3、“问题解决问题解决”的心理机制的心理机制 在从已知状态到目标状态的问题过程中，要进行一系列心理操作，课堂教学中要努力地解决： 领会与同化。领会与同化。学生要用自己的语言转换命题，并整体地将问题吸入已有的认知结构中去； 寻求策略与验证。寻求策略与验证。思维有跃向结论的倾向，分析解题的过程有助于学生寻求策略技能的提高，

53、各种解题策略的比较与验证更可以增强学生的创造性与批判精神。4、在数学问题解决过程中，策略的产生和、在数学问题解决过程中，策略的产生和执行，首先取决于概念是否清楚。执行，首先取决于概念是否清楚。 理解是第一位的，没有理解的训练是毫无价值和理解是第一位的，没有理解的训练是毫无价值和意义的。意义的。 当然对概念的理解也是动态的，当学生对二次函当然对概念的理解也是动态的，当学生对二次函数的定义、性质、图像、最值有了初步的正确的数的定义、性质、图像、最值有了初步的正确的理解以后，在具体的应用中，不但巩固了原有的理解以后，在具体的应用中，不但巩固了原有的理解，并且还会达到新的高度，深度的理解。理解，并且还

54、会达到新的高度，深度的理解。5、能否在数学知识的应用中，迸发出灿烂、能否在数学知识的应用中，迸发出灿烂的思维火花，学生的智力基础，认知方式的思维火花，学生的智力基础，认知方式是及其重要的，原有数学知识基础也很重是及其重要的，原有数学知识基础也很重要。要。 但是教学设计也是至关重要的：精选“好的”问题，铺设合适的坡度，营造良好的氛围。 这需要教师的精心的教学设计，在“好的”问题合适的坡度和良好的氛围创设过程中，把握“量”的度、“强”、“难”的度。 6、理解和技能如何进行定量把握：要考察学生、理解和技能如何进行定量把握：要考察学生的智力基础，能力基础和认知方式等。的智力基础，能力基础和认知方式等。

55、 依据学生的基础和认知特点，对中学的阶段的依据学生的基础和认知特点，对中学的阶段的数学知识点作定量分析，是完全可行的。数学知识点作定量分析，是完全可行的。 同时对学生理解和技能的要求也有一个梯度，同时对学生理解和技能的要求也有一个梯度，不能不同的学生，却要达到同一的标准。不能不同的学生，却要达到同一的标准。 7、运算能力，逻辑思维能力，空间想象、运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力，分析问题解决问题能力，以及学能力，分析问题解决问题能力，以及学生的智力和认知特点等构成了学生的数生的智力和认知特点等构成了学生的数学素质。学素质。 把数学的概念教学、问题解决教学的立足点放把数学的概念教学、问题解决

56、教学的立足点放在提高学生素质上，这是今天数学教学的方向，在提高学生素质上，这是今天数学教学的方向，是完全可以做到的。是完全可以做到的。 （二）问题解决教学的一般策略 1、重视、重视通性通法教学通性通法教学，引导学生概括、，引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法领悟常见的数学思想与方法 数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思

57、想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。 每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1 1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；的分类等；（2 2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。 又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等。法，含

58、参问题常用待定系数法等。 因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种化特殊技巧，使学生认识一种“思想思想”或或“方方法法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效。从而培养和提高学生解决什么样的问题有效。从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。问题的能力。2、加强应用题的教学，提高学生的模式识别、加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力能力 高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学高考是注重能力的考试，特别是学

59、生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力。方面的能力。 数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提。学模式的识别是解决它的前提。 由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型。个应用题都有其数学模型。 在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，在高中数学教学

60、中，不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。实际问题。3、适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学、适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面生的知识面 要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题。运用数学思想和方法解决问题。 近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学近年来，随着新技术革命的