初一数学动点问题专练

1、七年级数学动点问题专题训练1、(09包头)如图，已知4ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.A若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，4BPD与4CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使4BPD与4CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿4ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在4ABC的哪条边上相遇？解：（1）;t=1秒，BP=CQ=

2、3x1=3厘米， AB=10厘米，点D为AB的中点， .BD=5厘米.又=PC=BC-BP,BC=8厘米，PC=8-3=5厘米，PC=BD.又=AB=AC,NB=NC,ABPDACQP.（4分）:Vp#Vq,二BP#CQ,又丁ABPDCQP,2B=NC,贝UBP=PC=4,CQ=BD=5, 点P,点Q运动的时间t=BP=4秒，33vQ=9=3=e厘米/秒.（7分）Qt443（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得侄x=3x+2M10,4点P共运动了80x3=80厘米.3v80=2x28+24,点P、点Q在AB边上相遇,经过80秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.(12分)332、(09

3、齐齐哈尔)直线y=-x+6与坐标轴分别父于AB两点，动点P、Q同时从O点出4发，同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O一B一A运动.(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；p，OQ(3)当$=翌时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.解(1)A(8,0)B(0,6)1分(2)：OA=8,OB=6点Q由O到A的时间是8=8(秒)1，点P的速度是:？(单位/秒)1分8当P在线段OB上运动(或0&t03)时，OQ=t,OP=2tS=t21

4、分当P在线段BA上运动(或3<t<8)时，OQ=t,AP=6十102t=162t,如图，作PD_LOA于点D,由PD="，得PD=48二BOAB513224二SOQ"D=-t2+t255(自变量取值范围写对给1分，否则不给分.)824(3)P-IP.5'5I1<2824).一，一，'"1224'，M3，155)3(09深圳)如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=2x8分别与x轴，y轴相交于A,B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作。P.(1)连结PA若PA=PB,试判断。P与x轴的位置关系

5、，并说明理由；(2)当k为何值时，以。P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：(1)OP与x轴相切.,直线y=2x8与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,-8),.OA：4,OB=8.由题意，oek,.PB=PA=8+k.在RtAOM,k2+42=(8+k)2,.k=3,，OP等于。P的半径,OP与x轴相切.（2）设。P与直线l交于C,D两点，连结PCPD当段OB上时，作PE，CD于E.PCM正三角形，DE1CD,PD=3,221 .PEzU.22 /AO=/PEB=90°,/AB/PBE.-.AOBoAPEB第（2）题圆心P在线AOPEABPB334，即=-,

6、4.5PB315PO=BO-PB=8,23.15.P(0,-8),当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0,亚-8）,2.*=亚8,2P为顶点的三.当k=型158或k=处一8时，以。P与直线l的两个交点和圆心22角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO1菱形，点A的坐标为（一3,4）,点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.(1)求直线AC的解析式；(2)连接BM如图2,动点P从点A出发，沿折线AB*向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设八PMB勺面积为S(Sw0),点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式

7、(要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，当t为何值时，/MPBW/BCOS为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.解：EQCA图165（09河北）在RtABC中，/C=90。，AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ且交PQ于点D,交折线QBBCCP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）.(D当t=2时，AP=,点Q到AC的

8、距离是;(2)(3)(4)解：（1）t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）在点E从B向C运动的过程中，四边形为直角梯形？若能，求t的值.若不能,当DEM过点C?寸，请直接写出t的值.1,8；5在点P从C向A运动的过程中，求APQ勺面积S与(2)作Q口AC于点F,如图3,AQCPt,AP=3t.由4AQ氏zABCBC_32=4,，t5S=一(3-t)-t,25即s=-2t256t.5(3)能.当DE/QB寸，如图4.DELPQPQ!QB四边形QBE比直角梯形.此时/AQ=90°.AQAP一)ACAB即4解得t=9如图5,当PQ/BC时，DELBC四边形QBE久直角梯形.止匕时/APR

9、90°由AQPaAAB(C彳A处="，ABAC即解得t=!5.538(4)1=5或1=竺.214点P由C向A运动,DE经过点C.连接QC彳QGLBC于点G,如图6.2_223242PC=t,QC2=QG2+CG2=(5t)2+4(5-t)2.55由PC2=QC2,得t2=3(5-t)2444(5-t)2,解得t=5.552点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.(6U)2=3(5-t)2+4-4(5-t)2,t=竺】55146（09河南）如图，在RtABC中，/ACB=90°,NB=60°,BC=2.点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始

10、，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE/AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为(1)当o(=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为;当o(=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为;(2)当口=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.解(1)30,1;60,1.5;4分(2)当/a=90°时，四边形EDBO菱形./a=/ACB=90,BC/ED.CE/AB:四边形EDBO平行四边形6分在RtAABC,/ACB=900,/B=600,BC=2,./A=300.-.AB=4,AC=2.3.AO=1aC=B8分2在RtAAODt,/A=300

11、,.AD=2.BD=2.BD=BC又四边形EDBO平行四边形，四边形EDBO菱形10分7（09济南）如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=3,DC=5,AB=4亚/B=45;动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒.(1)求BC的长.(2)当MN/AB时，求t的值.(3)试探究:t为何值时，4MNC为等腰三角形.解：(1)如图，过A、D分别作AK_LBC于K,DH_LBC于H,则四边形ADHK是矩形在RtABK中,KH=AD=3.1分AK=ABin45=4、2.=42BK=ABcos

12、45'二42=4在RtCDH中，由勾股定理得，HC=J52-42=3.BC=BK+KH+HC=4+3+3=103分ADAD(2)如图，过D作DG/AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形NCB0GMVMN/AB.MN/DGKH（图）.GC=103=7由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t,CM=10-2t.vDG/MN丁./NMC=/DGC又/C=/C.MNCsGDCCNCMCDGg即L:一575n一斛行，t=一6分17(3)分三种情况讨论：当NC=MC时，如图，即t=102t.”AD作NE_LMC于E3AD当MN=NC时，如图,N过N解法一：1 -1MCin-2t=5-t2

13、2（图）BCM由等腰三角形三线合一性质得EC(图)在RtzXCEN中，cosc=里=0NCt又在RtDHC中，cosc=CH=3CD5.5-t3二一t5解得t=8分8解法二：./C=/C,NDHC=NNEC=90口NECsDHCNC_ECDCHCIP-=55-t-t-25.t一当MN=MC时，如图，过M作MF_LCN于F点.FC1=NC2解法一：（方法同中解法一）1tcosC二三二二3MC10-2t5解法二:（图）v/C=/C,ZMFC=NDHC=90AMFCDHC,FCMCHCDC即之10-2tt庭17综上所述，当t=3、t3=60时，4MNC为等腰三角形9分178（09江西）如图1,在等腰

14、梯形ABCD中，AD/BC,E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F.AB=4,BC=6,/B=60".（1）求点E到BC的距离;（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM_LEF交BC于点M,过M作MN/AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.当点N在线段AD上时（如图2）,APMN的形状是否发生改变？若不变，求出4PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使ARMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在,请说明理由DANDAD,NFEPFEP'F解（1）如图1,过点E作EG_LBC于点G.1分E为AB

15、的中点,1-BE=AB=2.2在RtEBG中，/B=601/BEG=30°-2分BGBE=1,EG=.22-12=。3.2即点E到BC的距离为掷.3分(2)当点N在线段AD上运动时，4PMN的形状不发生改变.PM_LEF,EG_LEF,/.PM/EG.vEF/BC,EP=GM,PM=EG=通同理MN=AB=4.4分如图2,过点P作PH_LMN于H,vMN/AB,./NMC=/B=60口，/PMH=30°,3 .MH=PMlos300=.235贝UNH=MN-MH=4-22在RtAPNH中，PN=JnH2+PH2=JR+|=V7.I2J .APMN的周长=PM+PN+MN=V

16、5+"+4.6分当点N在线段DC上运动时，4PMN的形状发生改变，但4MNC恒为等边三角形.当PM=PN时，如图3,作PR-LMN于R,则MR=NR.类似，MR=3.2.MN=2MR=3.4MNC是等边三角形，MC=MN=3.此时，x=EP=GM=BCBGMC=613=2.8分ADADADNEPFEPFEF(P)RNNBGCBCBCMGMGM图3图4图5当MP=MN时，如图4,这时MC=MN=MP=串.此时，x=EP=GM=61一、,3=5一3当NP=NM时，如图5,/NPM=/PMN=30°则/PMN=120。，又/MNC=601丁./PNM+/MNC=180°

17、因此点P与F重合，4PMC为直角三角形.MC=PMtan30=1.止匕时，x=EP=GM=6-1-1=4.综上所述，当x=2或4或(5-73)时，4PMN为等腰三角形.10分9(09兰州)如图，正方形ABCM,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD勺边上，从点A出发沿A-B-C-D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的

18、坐标；(3)在(1)中当t为何值时，OPQ勺面积最大，并求此时P点的坐标;(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A-B-C-D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.解：(1)Q(1,0)1分点P运动速度每秒钟1个单位长度.2分(2)过点B作BF，y轴于点F,BE，x轴于点E,则BF=8,OF=BE=4.AF=10口=6.在RQAFB中,AB=482+62=103分过点C作CG，x轴于点G,与FB的延长线交于点H.=/ABC=90?AB=BC.ABFBCH/.BH=AF=6,CH=BF=8.OG=FH=86=14,CG=84=12.所求C点的坐标

19、为(14,12).4分(3)过点P作PMLy轴于点M,PNLx轴于点N,贝UzAPAABF.APAMMPtamMP=.一=.ABAFBF106834.34AM=t,PM=t.PN=OM=10t,ON=PM=t.5555设OPQ勺面积为s(平方单位)SM(10-3t)(1+t)=5+47t-3t2(0<t<10)251010说明：未注明自变量的取值范围不扣分.47a<0A当t=_10。102(。1047时，zOPQ勺面积最大.66分此时P的坐标为（泮柒（4）当T或1=篝时，0P与咆目等10（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABC黑正方形，点E是边BC的中点.

20、ZAEF=90,且EF交正方形外角/DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M连接ME则AgEC易证zAMEECF,所以AE=EF.在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论"ae=ef仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变,结论"AE=EF仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确

21、，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.FAIDAIDarD解：（1）正确.、f（1）证明：jeAB上）一点M,使AmmEC1,连接ME.（2分）AlDBECGBECGBEG二BM=bE3.1二/BME=45°,，2SaME=135°.图3m|f：CF是外角平分线，BECG.DCF=45,-.ZECF=135.J./AME=/ECF.ZAEB+/BAE=90°,/AEB+/CEF=90°,J./BAE=/CEF.,AAMEABCF（ASA.（5分）;AE=EF.(2)正确.证明：在BA的延长线上取一点N.使AN=CE,连接NE;BN=BE.N="

22、;CE=45.四边形ABCD是正方形，（7分）（8分）（6分）F,AD/BE.DAE=/BEA.NAE=CEF.aAANEAECF(ASA(10分)AE=EF.(11分)11(09天津)已知一个直角三角形纸片OAB,其中NAOB=90°,OA=2,OB=4.如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D.(I)若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；y析式，并确定y的取值范围;yOba(n)若折叠后点B落在边OA上的点为B、BOB'=x,OC=y,试写出y关于x的函数解(m)若折叠后点B落在边OA上的点为B',且使BD/OB,

23、求此时点C的坐标.解(I)如图，折叠后点B与点A重合,则AACDABCD.设点C的坐标为(0,m)(m>0).WJBC=OB-OC=4-m.于是AC=BC=4-m.在RtAOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2,23即4-m=m2,解得m=.23八二点C的坐标为,3)4分(R)如图，折叠后点B落在OA边上的点为B',则ABCDBCD.由题设OB'=x,OC=y,贝UBC=BC=OB-OC=4y,在RtBOC中，由勾股定理，得bC2=OC2+OB'2.222，(4y)=y+x,1c即y=-x+26分8由点B，在边OA上，有0<x<2,解析式y=_1

24、x2+2(0&x&2)为所求.当0wxw2时，y随x的增大而减小，,y的取值范围为<y<2.7分2(m)如图，折叠后点B落在OA边上的点为B"，且B'D/OB.则OCB=CBD.又；/CBD=/CB，D"./OCB'=/CBD,有CB*/BA.:.COB“sRtABOA.有也=°C_得Oc=2OB”.9分OAOB在RtABOC中，设OB"=x0(x>0),则OC=2x0.由(H)的结论，得2x0=-1x20+2,8解得x0=-8-45).»xd0,xd=-84'5.10分，点C的坐标为(08/5-16).N图（1）12（09太原）问题解决点E（不与点C,D重如图（1）,将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边合），