协调的尺度相关连续偶应力理论简介

1、协调的尺度相关连续偶应力理论简介令孤烈1摘要：经典的小变形弹性力学理论比如柯西弹性力学理论忽略了偶应力，在宏观尺度的时候适用的很好，但是随着材料的尺寸越做越小，特别是在纳米技术以及微电子技术的发展,对弹性力学提出了新的要求，要求我们不得不考虑到偶应力的情况。本文简单回顾偶应力理论的发展，并详细介绍一种偶应力理论：尺度相关协调连续偶应力理论。除了客观地介绍该理论的原理，文中还加入了本人自己的理解，着重介绍与其物理本质相关的-般性结论。关键词：微观尺度，偶应力，协调的尺度相关连续理论。1 .引言浙江大学航空航天学院工程力学系经典的连续介质力学基于连续性假设，认为物体是有无数多的没有体枳的空间点组成

2、，这些点没有体积，但是方确定的空间和物理特征，比如位置，质量与运动。这样的假设就必然导致力偶被忽略，因为组成物质的基本单元是没有体积的点，这样的模型只考虑到平移改变平移特征承受力矢，不能有考虑到转动与改变转动特征的力偶。这样得到的理论在宏观的时候适用的很好，但是随着材料的尺度发展的越来越小，比如计算机的电路集成：在处理这些微观问题的时候却出现了问题。丢弃了连续性假设的偶应力理论的分析和计算都异常复杂，因此后来发展了尺度相关连续介质力学，把微观尺度号虑进去，但同时也能够退化为宏观尺度的连续介质力学。这样的理论需要使用尺度相关的变形度量,比如曲率张量，结果便需要考虑到偶应力，Toupin等人1使用

3、宏观转动真实的转动得到了一种偶应力理论，他们使用转动向量的梯度来作为曲率张量。可惜的是他们的理论遇到一些麻烦，其中最主要的是偶应力张量的球形部分和体力偶在应力张量本构关系中的表现形式无法确定。这些不协调的偶应力理论被称为模糊偶应力理论。另外有一个分支被称为微极理论(miaopolartheories)2,3,该理论使用微转动，结果却引入了额外的只有度。还有一种第二梯度理论(secondgradienttheories)引入应变梯度，转动和其他的一些组合。尽管这些理论使用真实的连续体来描述变形，但是其公式却不能够和变价条件以及虚功原理的能最对偶性保持一致。这里要介绍的是一种协调的尺度相关连续偶应

4、力理论(aconsistentsize-dependentcontinuummechanicstheoryforcouple-stress)5o该理论考虑真实的连续体的运动位移与转动，结合边界条件，虚功原理，得到了不依赖与附加自由度的偶应力理论，发现偶应力张最的反对称性以及转动张量梯度的反对称部分是协调的曲率张量，它们两者之间满足虚功原理的对偶关系，而且发现应变梯度井北变形的基本度量。除了客观地介绍该理论的原理，文中还加入了本人自己的理解。这里着重介绍与其物理本质相关的一般性结论，相关算例还请参考原文。2 .平衡方程考虑一个体积为V,边界为S的连续体。在该连续体中的两个有限体之间的相互作用通过

5、二者的接触表面ds上的作用力t；n)ds与作用力偶m13cls和传递，其中t】n)是力牵引向量(force-tractionvectors)9nij"是力偶牵引向量(moment-tractionvectors)o表面力和表面力偶通常使用非对称的应力张最外和偶应力张最来表示：而应力张量和偶应力张量可以进行加法分解，写为对称与反对称部分的和：%二吟+/吟(3)%二吟+吟(4)这里的上标S表示对称部分(symmetric)»A表示反对称部分(antisymmetric),与原文中的圆括瓠卜标表示对称，方括弧下标表示反对称有所不同,但是这只是一个记号，并没有太大的影响。现在考虑有

6、限体积(可以是微元体积，也可以是整个体积)的平衡，设其体积为Va,表面为Sa.»连续介质力学的原则是质量平衡，线动量就,角动量与能量的平衡，其一般形式为：jQdv=1FdA+jsdv(*)V5V其中，Q表示研窕的物理量，F表示表面作用项，S表示源。在准静态情形下，该部分体积的线动量和角动量平衡的方程为：dS+=付=0(5)瓦!=1钎ECIS+JqXjFk+Cdv=O（6）v*这里的Fi和Ci分别表示单位提及的体枳力和体力偶。£址是置换符号。使用方程（1）和（2）,以及散度定理，并注意体枳的任意性可以得到一般偶应力理论平衡方程的微分形式：+耳=0（7）4+%k+G=0在经典连

7、续介质力学中，没有考虑到偶应力与体力偶，也就是=0和0=0。因此角动量平衡方程（8）表明应力张量是对称的，这就意味着应力张量有6个独立量,这里.有3个平衡方程，另外的三个方程为本构方程，这就是经典的弹性理论比如柯西理论的情形。而在偶应力理论中，应力张量和偶应力张量一共有18个未知量，但是平衡方程只有6个，似乎另外的12个方程都要去本构方程中找。这也正是2发展偶应力理论的麻烦之处。本文介绍协调的尺度相关连续偶应力理论希望通过探究边界条件，虚功原理和一些运动学知识来发现变量之间的关系，减少独立未知变量的个数。3 .运动学（几何方程）这里仅仅考虑微小变形的运动学（几何方程）。在笛卡尔坐标系中，定义片

8、为连续介质的位移场。考虑连续体重相邻的两点p和Q,它们在参考构型中的位置分别为xi和xi+dxi,两点之间的相对位移为：(10)&k=l七丙其中,一是P点的位移梯度张量。事实上，位移梯度张量本身并不适合于度量变形，因此对位移梯度张量进行加法分解为对称与反对称部分：%=%+%Q1）ey=7（ux,j+uJ（12）q=：（u，jUjj）（13）4这里的张最力和分别是小变形的应变张量（straintensor）和转动张量（rotationtensor）.转动张量对应的转动向量（rotationvector）3,定义为：色=；5/=；与还%）Q4a）其向量形式为：69=Vxu（14b）2相应地

9、，该转动向量与转动张量的关系为PPlP1c.微元线段的转动由微元线段的扭转与弯曲综=/Q5）其分量形式为：可=%,=何3，例=q2（16a-c）因此.相对位移可以分解为：dnx=dii1(1)+dii1<2)(17)血。)=用的(18)血=勾长)(19)被视为为微元线段dxi相对于P点产生的类似刚体转动，转动导致的相对位移与微元段垂直：白针4=*区长)=0(20)由于%而于微元线段M的伸长和收缩没仃影响，它就不可能出现在度量材料伸缩的张量中。因此，在经典的弹性理论，比如柯西理论中，使用对称部分应变张量用来描述微小变形的是合理的。在偶应力理论，需要另外一个张量来度量任意微元线段的曲率。为了

10、找到该张量，考察转动向量3。相邻两点p，Q之间的相对转动为：皿=%可(21)其中，张量3“是P点的转动向量的梯度。其分量31,1,0)2,2和33,3表征微元线段的沿着坐标轴的扭转,第个卜标表示作用面，第二个下标表示微元线段的方向。非对角线的元素表示微元线段的扭曲曲率，第个卜标表示观察平面，第二个卜标表示观察的微元段。综上所述，在微小变形中，连续体P点临近点Q点的移动总结起来行：随着P点的平动，相对P点的伸缩，相对P点转动和微元线段的扭转与弯曲整个过程中，微元段dxi就好像一根弹性纤维，后面就把它叫做微元纤维以突出扭曲变形特征。整个过程如图1所示：曲率的适当度量方式必须是可以度量任意一个微元线

11、段dxi的纯曲率的张量。因此，在曲率张量中，对角线元索31,12,2和33,3不能够出现。但是不能够把他们简单的删除。通过把张晨5,j分解为对称和反对称两个部分，可以得到：呦7=怒+5Q2)稿=:(%+%)Q3)4(24)图1：弹性体中任意一个微元段弹性纤维的变化情况示意图对称张量均可以通过对转动张量使用应力算子(strainoperator)得到,而反对称张量呵为P点的转动向量的旋度。从(23)可以得到：211=%，石=,2劣=(25a-c)扁=?32=:(%3+电,2)Q6)Z13=Z31=y(%+%)(27)力2=?21=7(/+%)(28)<25)对角线元素；tu，#22和133

12、代表微元纤维沿着XI,xl,x3方向的纯扭转，如上面提到的那样。另一方面，观察(26)卡以看到，X23，X13和力2来度量平行于X2X3,X1X3.和X1X2平面变形后与球度(sphericity)的偏离。进一步，我们可以看到对称张量与一定存在主值，代表沿着主轴方向的纯扭转。因此,可以把筋称为扭转张量(torsiontensor)并且希望这个张量在连续介质材料中对于变形的基本度量没有影响。相反，这里猜测基本的曲率张量是转动张昌勤的反对称的旋度。卜.面通过考虑偶应力的虚功原理来证明。注意到d3i中只有垂直于dxi的那部分才会产生纯弯曲。因此，通过把市方进行分解：d4=dq+d例(27)d程=苞吗

13、(28)d“”二仆数(29)注意到：d"2dxi=仆dx1dX)=0(30)这表明3产）是如j中垂于dxi的分量。Ku（39）因此，张量叼似乎可以作为合适的曲率张量，它可以表示为：(31)心是该弹性体的最小特征尺度4 .虚功原理(8)(42)一以1其中该张最的非零分量为：叫2=-勺=工（42一吗,1）（32a）木23=-叼2=一%2）（32b）叫3=-修1=不（g,3一%）（32c）现在可以看到，。2,叼3，和。3是P点处变形后平行于X1X2,x2x3,X3X1的平面的平均曲率。因此，反对称张量可以称为平均曲率张量或者是简单称为曲率张量。与张帚Kjj对应的曲率向最M为：叫=不

14、3;就q（33）因此，该轴向向量与平均曲率的关系为：再次考虑一个有限体积连续体，其体积为V.边界为S。其平衡方程为（7）,（8）：G=°在方程（7）的两边乘以虚位移并在整个体枳上积分，同时在（8）的两边乘上对应的虚转角6阿，其中,（40）同样在整个体积上积分可以得到：!（0而+耳）1】村=0（41）网皿=°-(34)这表明:注意到：叫=（叫叫）%抗»J(43)(35a-c)这里使用的是链式求导法则，在使用散度定理，这关系（41）变为：同样地，使用关系：=-Vx(Vxu)=iv«(V*u)-V3u%。业泡1111,=(1“网)j-4%做j。北啊k一一一(4

15、5)匕=一%h-u,吐=u,j.-V-u,(37b、14kh41H4kb4x,那么等死(42)变为：,购,jdV一风应dVm吗砌dS+Jq网dV(46)可以看到，平均曲率向最可以表达为：k=jVxco（36）这表明K是转动向量的旋度，也可以换一种表达方式：从（37b）和（13）,可以得到下面的关系:叫=j（38）注意该理论是微小变形理论，要求应力张量和平均曲率向量是小量，该条件可以写为:bjLjS、dV=tg/U'dS十J耳Su1dVOvSv(44)将（44）和（46）相加可以得到:(38)同口1(54)J4/%ciV+J%(抗l-俎)dVVV=t(nJajdS+JFxJuxdV+jm

16、1111,JajdSSVS+Jc/ft|dV(47)V注意到:=&<j一砌j(48)由于6%是对称的，可以得到。网=吟出(50)因此，徐虚功原理变为：J*gdV+j>/%dVVV=jLdS+J“小网西+(F网dVSSV+jcgdV(51)V它的右面部分表明该体枳的表面边界条件可以是几何边界条件(也叫本质边界条件)3和例，也可以是应力边界条件(也叫自然边界条件地和m,。方程的左面部分表明小和华是能量对偶张最，而应力张最的反对称部分。对丁内部虚功没仃贡献。到目前为止，肛和3U可以看为是能量对偶张量。虚功原理(51)表明在协调偶应力理论中，并不能使用应变梯度作为变形的基本度最。现

17、在在探究连续体体力偶Ci和偶应力3t的特点。对于(51)中有关体力偶的一项：JCxJa»dV(52)是唯一的包含虚转角69的一项，但是，与6并不是独立的，因为一下关系：(53)的存在。因此，通过使用(53)和枳分项(52)可以发现：G网=:Gq涉限】=7(GkCUk),j一产业皿之后在使用散度定理，这样体力偶的虚功(52)变为：jcpgdv可yGkG/jdv+J；4£%抗1邯VV/sL(55)注意到这里交换了卜标k与i的顺序。(55)意味着体力偶转变为等效的体积力六必Cg和边界上面的表面力自证9秋。这表明在连续介质理论中，体力偶和体力是不能严格区分的，因此，在体力偶理论中，

18、我们只用考虑体枳力。结果，平衡方程变为：b汨+耳=0(56)4川+%£jk+G=。7)其中做了以下替换：F+lvxCFinV(58a)2tn,+Cxn>t'MonS(58b)2则虚功原理简化为：J/p%dv+J/应jdV=讯dSVVs+Ji】r购ds+J耳SuRV(59)sv接卜.来再在边界条件上研窕偶应力的特点，如前所述，边界上指定的边界条件可以是几何(本质)边界条件看和例，或者是应力(自然)边界条件q和成。这样在边界上总共就有6个值。但是这和边界上可以给定的几何边界条件是于盾的,特别是当边界表面分量W给定的时候，与扭转相关的转角法向分量：3=31m=611nkA(6

19、0)其中3'皿=ay4(61)就不能够独立地给出。然而，转角你与弯曲相关的切向分量，即:*=牡iijA(62)却可能额外地给出，这样几何(本质)边界条件就只能给定5个。接下来，令m(m)和m(2乙代表表面作用力矩向品的法向和切向分最，其中，法向分最illral=11414=(63)导致微元纤维扭转，切向分量这便是连续介质力学中偶应力张最的基本特点，偶应力张量的分量可以写为矩阵形式：(0小“3、闷=-均0科3(70)【一4a31一心°；这样不难发现，偶应力张量其实可以一导致微元纤维弯曲°从运动学的角度来看，由于3(皿)不是一个独立的广义是有毒，那么它的显性广义力必向展

20、的形式加以考虑。与张量人相对应的偶应力向最定义为：(71)然为零。因此，对于表面力矩向量的法向分量加？必须使得：m皿,=叫叫=41nli】j=OonS(65)进一步地，(55)中表面力矩的虚功变为：1乂=产必也可以写为：inn/gdS=J叫"'婀dSss=j叫g网gdS(66)s这表明偶应力理论中的材料并不能够支持独立的表面力矩的法向分量(或者是扭转)n】g),这样应力边界条件也变为5个。从以上的讨论可以看到，物体的表面上不能够施加法向的扭矩13回。卜面将会进一步得到偶应力张量的一些特征。分量形式为：4=也?人外；小(73a-c)可以看到，表面力矩向量可以表示为：m?=/=3

21、)其向量形式为：mg=nxpt(75)这表明表面力矩向最是和表面相切的。在发现了偶应力张最出的反对称特点后，再来看应力张量程的结构。使用等式(72),可以把平衡方程(57)表首先，注意到虚功原理对于任意一个体枳为示为:Vd,边界为Sa的有限体枳都成立，因此有：J吟也dV+/配jdV=Jt/5uxdS+JVaVaSaSa(76)这表明切+4k是对称的，因此它的反对称4-JF/uxdV(67)Va对于该任意体积的表面的任意一点，其法向部分消失了，而4=-此=-?4厂%)(77)单位矢量为ni,则有:1】/皿=/叫=0illV(68)rtlTn是对称和任意的，而巧：是反对称的,因此：即使用偶应力向量

22、可以得到英爱张量的反对称部分。因此，角动量平衡方程的唯一作用是得到应力张最的反对称部分。如果考虑应力张量的反对称部分时应的向量Si,可以更清楚的看到这个关系，其中：inV(69)、=(78)4或者是：/及=。%（79）换为分量表示为：注=*；4=0%;S2=-cta12（80a-c）使用方程（7用，程8）可以得到注=一;£.讣=；&址/4,j（81a）或者写为向量形式：S=Vx|i（81b）这表明偶应力向吊串的旋度的一般就是应力张量反对称部分对应的向量。这里还可以看到：S=0（82）回到虚功原理的讨论。注意到反对称的，故：需要进一步阐述。事实上，其实的边界上一般没有力矩作用，

23、这意味着边界上自然边界条件处处为零（m9）=0）然而，偶应力盯在物体内部却会产生,在任意体积（包括了微元体枳）的表面上却可能存在着非零的成6）。本质（几何）边界条件，即3的切向分最，通常在真实的边界卜.不能给定，但是再次提醒非零的偶应力即在物体内部却可以产生，目前讨论的偶应力连续介质力学理论还没有涉及到材料的性质。卜.面的讨论己经表明，独立应力分量实际的数目有9个，包括和四，这样，线动量平衡方程简化为（*一"X）+耳=0（87）>J因此，一共有9个应力分量和3个线动量平衡方程。6个附加的方程需要从本构关系中国得到。(83)5,小变形尺寸相关的偶应力叫dS(84)这表明平均曲率张

24、量句的反对称部分J偶应力张景内的反对称部分是能量对偶关系。进一步，虚功原理（59）变为：J吟也dV+J员附jdv二VV+/“同陶dS+JFQqdV-有趣的是，使用这些张量对应的向量形式,可以发现：弹性理论卜.面将推导弹性材料的小变形的尺寸相关的偶应力理论。在弹性体中存在储存弹性能密度函数（storedelasticenergydensityfunction），对任意一个在平衡位置附近的虚变形都有：JW=4加幻+%尔J=炉-2/4困=-25pqp也=-2/4困（85）它表明平均曲率向量的两倍的相反数-2恒与偶应力向量角在能量是对偶关系。因此，虚功原理可以写为：（/）与2幺困）dV=J54dS+J

25、叫m购因此,W是对称应变张量为和平均曲率向最小的正定函数。因此：W=W(%k)=W&叫)<5W=o5-24西dS(89)（9。）V+fF/u】dVs(86)其中buij和的所行分量都相互独立。从方程（89）可以得到：V现在具体解释一些边界条件的一些意义。自然（应力）或者是本质（几何）边界条件1（”）和此在经典的柯西应力理论中已经有阐述。另一方面，偶应力的两个新的边界条件aw(91)、cW2/4=t西(92)这就是用应变能表示的本构关系。然而，可以看到：1J+L4(93)注意到:%二?限1+心）（94）可以得到:1dW/,M、ll=（105）T2d叫则弹性体总的势能函数变为:口（1

26、=卜VdV-,耳1押察线）（95）-f叫加-J例dS（106）ss这表明，该势函数在位移场满足平衡方程的因此，时候取得最小值。3V1放决变形的动力学和变分（106）揭示了储存势二=:产（今A+4线）（96旎密度函数w的重要特征。在材料微元体MH”中有两组关于线动量和角动量的平衡方程它表明：（56）,（57）。几何边界条件便是之前讨论cW_1cWdW2g(97)这样就有,"cWcW>+1为%/(98)1dW(99)如果w的结构可以使得aw=aw组女p(100)过的边界位移和边界转角。正如第四节所展示的那样，连续介质力学支持几何边界此andco明,它们对应的能最时偶最是应力边界条件

27、t（7andm（"）i。这样来看，在尺寸相关的偶应力连续力学理论中，不可能存在其他形式的边界条件。因此，在方程（106）41总势能nAV的变分中，储存能最密度函数W最多以（89）的形式存在。这就意味着储存能量密度函数W最多是以平均曲率向量小形式的变形的二阶导数的函数，而不是应变梯度的函数。换句话说，连续介质力学储存能量（应变势能）密度函数不可能与变形的三阶或者更高阶次的导数相关。那么（98）可以写为6.线弹性情况下尺寸相关的saw(T=yde.1)(101)还可以看到:因此，对应力张策的反对称部分行:小变形偶应力弹性理论。6.1.应变能与本构关系对于线弹性材料，其储存变形势能密度为二

28、次正定形式：W化><）=：心41d+4e产k。07）张量4中耳，Jk为弹性常数，它们保证w是正定的。因此可以得到，张量4k1，B”是正定的，事实上，张量41d与其对应的柯西弹性力学中的弹性常数张最向对应，这些弹性常数有下面的对称关系：生d=Ahj=41kl(1。8)耳小耳、(109)%=4a10)这表明对于最一般的情况，4kl，4，的个数分别为21,6和18.因此，最一般的线弹性各向异性材料需要45个独上的弹性系数来描述。这样，偶应力向量以及应力张量的对称部分可以写为：以=_；耳Kj_；CRie1gQ11)da=+。业仆Q12)而且，我们发现4j=_B皿%_5c116kmQ13)这

29、个张量的反对称部分为：AA1°1°入=-o产+1a&一%+jCfaqKnM(114)因此，对于应力有：%=Aki%+-+：C1alicQ15)可以看懂，应变梯度在应力张量的反对称部分的确存在。但是，应变梯度不能作为最基本的变形度量，因为在储存变形势能密度函数(107)中它并不直接出现。对于各项同性材料，其对称性要求：，=金6+“叫+"心应(116)耳=16吟Q17)0=0Q18)系数入和与柯西弹性力学中的各项同性材料的lame常数意义相同。对于偶应力在各项同性材料中只有一个额外的材料常数中这样，各项同性的线弹性材料的应变能密度变为：W(e,K)=+初/&#

30、163;(119)应变能的正定性要求材料常数满足以V要求：>0/>0,7>0(120)这样，本构关系可以写为：3加7/>0,/>0,7>0(120)/ij=kkj+2/勺(122)可以发现，对于各项同性材料有：2=74.Q23)使用卜面的关系：11、0=小卜一叫袅Q24)可以得到：/4=277(V2ux-ukQ)(125a)写成向量形式为：*=2v-!)(125b)而且，4=2(旬11k国)(126)因此：簿(127)或者是:4%=2火2叼(128)还可以得到吟=-叭=2加2,(129)通过交换卜标：4=2疗用(130)记得轴向向量Si与对应，如(78)所示

31、，从(81a)和(121),Si可以用曲率向量表示：S1=-4%k9j(131)因此，本构关系的向量形式为：S=-4t/Vxk(132a)也可以写为：S=-27/VxVx69=(132b)或者是S=_xVxVxu(132c)这表明对于各项同性材料，与应力张量德尔反对称部分相对应的向后S,与位移向量的旋度的旋度成正比。使用方程(T22)和(129),可以把总的应力张量写为：4=今呼母+2仆+24叼(133)同时注意到人=-8吗=4(呦j一心(134)它在实际运用中比出更有用。有趣的是，比值-=r(135)阐明了材料的特征长A度i,这在柯西弹性理论中是没有的，但是对于变形偶应力弹性理论却是最基本的

32、。I就是弹性材料中的«，于是对于线弹性本构的小变形的要求是：同口1(136a)与口(136b)I6.2.位移公式应力张量(115)可以用位移表示为+(一+'"("j)'*-1)(137)把它带到线动量平衡方程(56)中得到R,：%(-2,j)+Ji&小44一：C皿+A询一寸寸、)一白B"皿-与)+月=0(137)1O对于各项同性材料，应力张量变为=为匕4+川1】3+1%)一3%-%)(139a)这样，线动量平衡方程变为：(4型+W91JW+(/-疗)”+耳=0(140a)其向量形式为：(/取+)Vu)+(/_)，+F=0(140b

33、)这个关系也可以写为：(/H-2/z)V(V*u)+(/z-77V2)VxVxu+F=0(141)6.2.边界问题解的唯一性把虚功原理(86)中的虚变形用真实变形替换，得到J(昌2必片)dV=Jt；%dsVs(145)+J“n&dS+JF*dV由于两组解的体枳力和边界条件都相同，那么两组解的差对应的必然为零解，则Q52)带入本构关系(111)和(112)得到一24公=5十4大勺+24北0k=2W(e,K)因此，(145)可以写为2wdV=JtMdS+JidndS(146)由于两组解的差值*j应的应变能密度非负,这就要求V+JF；u】dV(147)这个关系使用体积力和表面力表示了应变能。

34、边界条件可以分解为向量和g,C.嗷元线段的转动d.微元发我的扭扫和叫的组合，正如第四节讨论的那样，假设对于给定的边界条件，为于相同的体枳力情况，存在两组不同的解2W'='eg+玲卢'1+261(与inV(155)然而，张量4kl,4是正定的，而Cgk又(,(2)(2)式2)(2)1它们都满足平衡方程：使得w非负，因此在差解的应变中，曲率张量不存在。因此得到以下关系：4j=0«i=0。jF也产。(54+耳=0(148)(149)其中叽；B产;a)：%.这就要求位移U最多为刚体位移。然血，如果在边界上指定r位移，那么刚体位移也被阻止了，这样，没一点处的位移都为零，因此有(150a)(157a)(157b)(150b)(157c)口取1和2.接下来记两组解的差值为u'=u'2>-U*11(151a)Q51b)K=0一1(151c)5=°；_靖Q5d)(157d)Q57e)所以，边界问题的解是唯一的。但是，如果整个边界条件上都是应力边界条件而没行位移边界条件，那么位移就不是唯一的，这样解差存在一个不定的刚体位移。Zi(玲反对称部分(22),二下朱.7.总结本文简单回顾偶应力理论的发展，并详细介绍一种偶应力理论：尺度相关协调连续偶