初中数学竞赛专题梅涅劳斯定理与塞瓦定理有答案

1、梅涅劳斯定理与塞瓦定理板块一梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理：如果一条直线与4ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么”.BD£E=1.这条直线叫ABC的梅氏线，4ABC叫梅氏三角形.证法一：如左图，过C作CG/DF.DBFBECFG,DCFGAEAF.AFBDCEAFFBFG.=1.FBDCEAFBFGAF证法二：如中图，过A作AGIIBD交DF的延长线于G.AFAGBDBDCEDCFBBD'DCDC'EAAGAFBDCEAGBDDCd二式相乘即得：二=1.FBDCEABDDCAG证法三：如右图，分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于小、出、出

2、.贝U有AH1/BH2/CH3,AFBDCEAH1BH2CH3所以=123=1.FBDCEABH2CH3AH1梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是4ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点,如果空，BD,CE=1,则F、d、E三点共线.FBDCEA【例1】夯实基础【解析】习题1.直线FEC是4ABD的梅氏线,建匹生=1.而EDBCFADC1AEED也=1,即些FAED2AFBF在ABC中，D是BC的中点，经过点FAEAF.求证：二.FCEBD的直线交AB于点E,交CA的延长线于点直线截4ABC三边于E、F三点，应用梅氏定理，知CDDBBE£上=1,又因为EAFCBEBD=BC

3、,所以EAEAEB习题2.如图，在ABC中,ZACB=90)AC=BC.AM为BC边上的中线,如图，在4ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F,交AD于点E,求证：AE:ED=2AF:FB.AEEBCD_LAM于点D,CD的延长线交AB于点E.求生【解析】C由题设，在RtAAMC中，CD_LAM,AC=2CM,由射影定理ADDMADAMAC2,=-24DMAMCM对ABM和截线EDC,由梅涅劳斯定理,AEBCEBCMMD=1,即DAAE21,，一，一=1.EB14所以些=2.EB【例2】如图，在AABC中，D为AC中点，BE=EF=FC,求证:BM:MN:ND=5:3:2.【解析】

4、直线AE是BCD的梅氏线,.BMDACE,-=1.MDACEB.BM12BM1-一，一=1,.=一MD21MD1直线AF是ABCD的梅氏线,BNDACFNDACFBBN11=1ND22BNNDBM:MN:ND=5:3:2.习题3.如图，在ABC中，D为BC的中点，AE:EF:FD=4:3:1.求AG:GH:AB.A【解析】 HFC是4ABD的梅氏线，.AHBCDF, =1.HBDCFA D为BC的中点，AE:EF:FD=4:3:1.BC2DF1DC1'FA7'.AH21.AH7=1,=一HB17HB2GEC是4ABD的梅氏线，.AGBCDE,二1,GBDCEA.AG21AG1，

5、一，-=1,.=.GB11GB2AG:GH:HB=3:4:2.AG:GH:AB=3:4:9.【例3】过4ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F,交CB的延长线于点D.BECF彳求证：十=1EAFA'【解析】作直线AG交BC于M,MG:GA=1:2,BM=MC.AEBDMGAEBD1,=1.EBDMGAEBDM2.EBBD一一=.AE2DM同理，CF=4FA2DM而BDDC=BDBD2BM=2(BDBM)=2DMBECFBDDC2DM+=+=1.EAFA2DM2DM2DM【例4】【解析】习题4.【解析】【备选】【解析】AD2如图，点D、E分别在ABC的边AC、AB上，AE=EB,

6、2,BD与CE交DC3JF,SaABC=40.求SaEFD对AECA和截线BFD,由梅氏定理得:所以*=3.所以s/二进而Saefd=SaabdSabefEFCDABEF.,=1,即FCDABEFC-Sabec=一Saabc，21c11=.Saabc=-40=11.5840如图，在ABC中，三个三角形面积分别为5,8,10.四边形AEFD的面积为x,求x的值.对4ECA和截线BFD,由梅氏定理得：CD-AB，变=1,即"竺1=1,解得DABEFC5x152x=22.如图，ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为6个小三角形,其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC的面积.对

7、4ABD和截线COF,由梅氏定理得:AFBCDOFBCDOA4BC1即£EC=1,所以3CD2【例5】如图，在ABC中，/A的外角平分线与边BC3一BC一=，所以=3.所以SAABC=3Saabd=3X105=315.CD2BDBC的延长线交于点P,NB的平分线与边CA交于点Q,/C的平分线与边AB交于点R,求证：P、Q、R三点共线.【解析】AP是ZBAC的外角平分线，则BPAB小=PCCABQ是ZABC的平分线，则出=股QAABCR是NACB的平分线，则空=CARBBC父父得BPCQARABBCCA=1PCQARBCAABBC因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，则根据梅涅

8、劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线.习题5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点.【解析】如图,AB、AC、BC于D、E、F.过C作BE的平行线，贝U/BCP=/CBE=/EBD=/CPB,所以4BPC是等腰三角形.则PB=CB.则有:CEPBCB同理EAADBABAACBFBA所以DBCE一,<CBFCACADBFCBAC所以EADBFCBACBD、E、F共线.板块二塞瓦定理及其逆定理知识导航D、E、塞瓦定理：如果ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点BDCEAFF,如图，那么=1.通常称点P为4ABC的塞瓦点.DCEAFB证

9、明:.直线FPC、EPB分别是ABD、4ACD的梅氏线,BCDPAF=1DBCE,APCDPAFB'BCEAPD两式相乘即可得：电CE,空=1.DCEAFB塞瓦定理的逆定理：如果点D、E、F分别在4ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并且些CEDCEAAFFB=1,那么AD、BE、CF相交于一点若AD与BE相交于一点P时,证明:（或平行）如图,由塞瓦定理得:BDCE又已知BDCEDCAFEAFBDCEAFB=1，ALiFBAFFBAFFBF'与F重合CF'与CF重合AD、BE、CF相交于一点.若AD与BE所在直线不相交,则AD/BE如图.BDDCEAEABDCE,

10、又已知,ACCEAFACEAFB=1，DCEA即CE=-AF一二1，FBFBBE/FC，ADACAF/BEIIFC.说明：三线平行的情况在实际题目中很少见.探索提升【例6】（1）设AX,BY,CZ是ABC的三条中线，求证:（2）若AX,BY,CZ为ABC的三条内角平分线.求证：AX,BY,CZ三线共点.A【解析】(1)由条件知，BX=XC,YC=YA,ZA=ZB.BXCY，丝=1XCYAZB根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX,BY,CZ共点.这个点称为这个三角形的重心.(2)由三角形内角平分线定理得:BX_ABXC-ACCYBCYA-BAAZZBACBC三式分别相乘，得:BXCYAZABBC

11、AC_XCYAZB-ACABBC一根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX,BY,CZ共点,这个点称为这个三角形的内心.习题6.若AX,BY,CZ分别为锐角4ABC的三条高线，求证：AX,BY,CZ三线共点.【解析】由ABXsCBZ得：BX=空；由BYAs4CZA得：空=空；BZBCAYAB由axcsbyc可得：运=股.所以BX工,迄=空,任里=1.CXACBZAYCXBCABAC根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX,BY,CZ共点.对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点.我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心.【例7】如图，M为4ABC内的一点，BM与

12、AC交于点E,CM与AB交于点F,若AM通过BC的中点D,求证：EFIIBC.【解析】对ABC和点M应用塞瓦定理可得:AFBDFBDCCEC=1.又因为EABD=DC,所以AFCE、=1.进而FBEAAFAEFBEC,所以EFN.求证：直线MN习题7.如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M,两条对角线交于必平分梯形的两底.AB/CD.MDCMDA-BC.MDBC,二1DACMMDAQ，型=1（由塞瓦定理得）DAQBCMAQQB=1,AQ=QBDPPCAQQBDP=PC.【备选】如图，E、F分别为4ABC的AC、BE、CF交于点P,AP的延长线交BF=3FA,板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合AB边上的点，且AE=3EC,BC于点D.求AP:PD的值.P【解析】P为ABC的塞瓦点.AFBDCE1BD1,二1FBDCEA3DC3.BD9BD9=一，一=一.DC1BC10EPB为4ACD的梅氏线，.APDBCE_AP91PDBCEA-