初中数学绝对值的化简和几何意义

1、IMSmTSeJI第一讲绝对值的化简和几何意义(1)非负性：|a|0(补充：a20).对应题型：绝对值的化简.(2)双解性：|a|b(b0),则ab.方法：判断“|”里面整体的正负性.a(a0)易错点：求一个多项式的相反数.(3)绝对值的代数意义：|a|0(a0)对应策略：求一个多项式的相反数即a(a0)求多项式中每个单项式的相反数.a(a>0)a(a0)ab的相反数是ab;(常用)|a|,c、或|a|a(a0)a(a0)abc的相反数是abc；变式结论：右|a|a,则a0;1.1a-b3的相反数a-b3.若|a|a,则a022模块一绝对值的基本概念零点：使绝对值为0的未知数值即为零点.

2、方法：寻找所有零点，并在数轴上表示；依据零点将数轴进行分段；分别根据每段未知数的范围去绝对值.易错点：分类不明确，不会去绝对值.化简：|x1|x2|.零点为1,2,故将数轴分为3个部分，即x1,1x2,x2.当x1时，原式2x3；当1x2时，原式(x1)(x2)1;当x2时，原式2x3.模块二零点分段法(目的：去无范围限定的绝对值题型)|x|的几何意义：数轴上表示数x的点与原点的距离；|xa|的几何思义：数轴上表小数x的点与数a的点之间的距离；|xa|xb|的几何思义：数轴上表小数x的点与数a、b两点的距离之和.举例：|x1|=|x(1)|表小x至|J1的距离.|x1|x2|表小x到1和x到2

3、的距离之和.|x1|x2|表小x到1和x到2的距离之差.基本结论：令aa2a?an?|xa1|xa2|xa3|+|xan|.方法：直接套用几何意义画数轴.当n为奇数时，当xa时取最小值；2当n为偶数时，当anxa时取最小22值.常见变形：|x1|2|x3|3|x4|在3x4时取得最小值.11一x1-x1-3|x2|2|x3|236在x2时取得最小值.|x1|x2|既有最小值也有最大值.模块三几何意义(3)已知(a模块一绝对值的基本概念例1(1)已知(x3)2|y2|=0,则*(2)若|xy3|与|xy1999|互为相反数，求人上的值是xy_2_-.一.b)|b51b5,且12ab1|0,那么a

4、b2一一1(1).(x3)2|y2|0,x3,y2.原式一.9(2)原式照.3(3)(ab)8或2;.a、b、c均为整数,|b51b5,.b50,ab0111又.|2ab1|0,.2ab10,解得a1,b，.ab-.339【教师备课提示】这道题主要讲解回顾绝对值的非负性和平方的非负性.(1)若|x|3,|y|2,且xy,求xy的值是(2)已知|a|5,|b|3,且|ab|ba,求ab的值是(3)若a,b,c为整数，且|a是.20162016b|ca|1,则|ca|ab|bc|的值(1)5或1;|ab|,|ac|均为非负整数,，只能有|ab|0,|ac|1或者|a当|ab|0,|a此时，|ab|

5、b当|ab|1,|a此时，|ab|bc|1时，ab,|bc|ca|011c|0时，ac,|bc|ca|110b|1,|ac|0.c|ac|1,2.c|ba|1,2.故总有|ab|bc|【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的双解性.(1)化简：_±_20042003120031110031002(2)若x2图5,则|x|2016|x1|x2|x3|x4|x5|(3) a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简:|a|1b|c|1ba|ca|1bc|(4)已知数a,b,c的大小关系如图所示，则下列各式:ba(c)0;(a)bc0;回1；bca0；|a|b|c|ab|cb|ac|2b.其中正确

6、的有透)解析(1)原式=，2003200420022003(2)由于2x3,故原式xx1III1002110031110022004x23x4x5x9.12004(3)原式3a3bc.(4).【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的化简，去绝对值.化简：(1)|x1|x2|模块二零点分段法(2) |x5|2x3|(3) |x1|x2|x3|(4)|x1|2|x1|:逊解析(1)零点为1,2,故将数轴分为3个部分，即x1,1x2,x2.当x1时，原式(x1)(x2)2x3;当1x2时，原式(x1)(x2)1;当x2时，原式(x1)(x2)2x3.2x3,x1即原式=1,1x2.2x3,x2(2)零

7、点为5,-,故将数轴分为3个部分，即x5,5x-,x-222当x5时，原式(x5)(2x3)x8;3当5x时，原式(x5)(2x3)3x2;2、“3一一，、当x时，原式(x5)(2x3)x8.2(3)零点为1,2,3.当x1时，原式(x1)(x2)(x3)3x6;当1x2时，原式(x1)(x2)(x3)x4;当2x3时，原式(x1)(x2)(x3)x;当x3时，原式(x1)(x2)(x3)3x6.(4)先找零点.由x10得x1；由|x1|20得x1或x3;由x10得x1.所以零点共有1,1,3三个，故将数轴分为4个部分.当x1时，原式|(x1)2|(x1)x1x12x2;当1x1时，原式|(x

8、1)2|(x1)x1x12x2;当1x3时，原式|(x1)2|(x1)3xx14;当x3时，原式|(x1)2|(x1)x3x12x2.【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值.昆勿】例5求y|x1|x5|的最大值和最小值.解析零点为5,1.当x5时，y(x1)(x5)6；当5x1时，y(x1)(x5)2x4,有6y6;当x1时，y(x1)(x5)6.故最大值为6,最小值为6.【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值的作用，求最值.模块三绝对值的几何意义规律探究和应用：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是;表示3和2两点之间的距离是;一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距

9、离等于如果表示数a和2的之间的距离是3,那么a.(2)若数轴上表示数a的点位于4与2之间，求|a4|a2|的值.(3)当a取何值时，|a5|a1|a4|的值最小，最小值是多少?(4)求|a1|a2|+|a100|的最小值，并求出此时a的取值范围.NOTEBOOK飞初解析(1)3;5;|mn|;5或1.(2) |a4|a2|6.(3) |a5|a1|a4|最小值为9,在a1时取得最小值.(4)当50a51时，原式有最小值，代数式的值为2500.4例7已知5Wxw7,求x取何值时|x1|x3|取最大值与最小值.9|x1|x3|表示x到点1和3的距离差，画出数轴，可得当x7时两者的距离差最小为名,即

10、(|x1|x3|)min鲤；999当5<x<3时，两者的距离差最大为4,即(|x1|x3|)max4.例8(1)求2|x1|x2|的最小值及此时x的取值.(2)求3|x1|2|x4|x2|的最小值及此时x的取值.(3)求|x1|2x3|3x4|的最小值及此时x的取值.111(4)求|x1|-x2|-x3|的最小值及此时x的取值.234(1)中位项为|x1|,故x1,最小值为1.(2)中位项为|x1|和|x2|,故1x2,最小值为13.(3)原式34.44一，一.2|x1|2|x|3|x|,中位项为x一,故x,取小值为一.23333111(4)原式|x21-|x6|-|x121234

11、1_一一行(6|x2|4|x6|3|x度|)习巩固括号里的中位项为|x6|,故x6,最小值为二.2【教师备课提示】例6一例8主要考查绝对值的几何意义，数形结合的思想.模块一绝对值的基本概念位演练1(1)已知|x(2)|y3|(2)|a1|b210,求(ab)2016(ab)201510(ab)2ab(3)已知|x11|(x22)2|x33|(x4111x1x2x2x3x3x4的值.x2015x2016:。解析(1) 1.(2) |a1|b2|0,a(3)由|a|0,a20可知，x1则，工(|x1x2x2x3x2015x2016演练2»)4)22.|x20152015|(x201620

12、16)=0,求1,b2,ab1,则原式0.1,x22|x20162016,小11122320152016201620152016(1)已知|x|4,|y|6,则|xy|的值为(2)已知|a|1,|b|2,|c|3,abc,则(abc)2(1)2或10.(2)由abc知只能有a1,b2,c3,故原式0或4.演练3a,'b；'C在数轴上的位置如图3-1所示,化简：|a|b|c|ba1|ca21|bc|.3-2所示，化简：|a|ab|ca|bc|.(2)已知a、b、c在数轴上的对应点如图(1)3a3bc1;(2)3a2c.0a图3-2模块二零点分段法化简：(1)|x5|2x3|(2)

13、|x1|3|(1)先找零点.x50,x5;2x3当x>,x50,2x3>0,23当5Wxx5>0,2x32当x5,x50,2x30,(2)先找零点.由x10得x1;E330,x3,零点可以将数轴分成三段.2|x5|2x3|3x2;0,|x5|12x3|8x;|x5|2x3|3x2.|x1|30得x4或x2.所以零点共有4,1,2三个，故将数轴分为4个部分.当x4时，原式|(x1)3|x4|x4;当4x1时，原式|(x1)3|x4|x4;当1x2时，原式|(x1)3|x2|2x;当x2时，原式|(x1)3|x2|x2.NOTEBOOK模块三绝对值的几何意义演练5»>|X2|III|x1996|的最小值.NOTEBOOK试求|x1|x1|x2|*|x1996|表示x到1,2,，1996的距离和.中间的两点代表的数是998、999,所以当998<x<999时，原式有最小值；我们可以取x998,原式997996|1012998996004.演练6»)求|x1|2|x2|3|x3|的最小