华师大_数学文化与数学史_复习

1、hecwreO为什么数学教师需要学习数学史？I介绍达芬奇(L.DaVinci,1452-1519),伯里加尔(H.PMgM,181X9X).梅文鼎(1633-1721)证吸勾股定理的方法.达芬奇证明方法：*例1勾股文取SmiikuhViiMllA*1519|伯里加尔的证明方法:«I有鼓文理梅文鼎的证明方法:2.谈谈你对数学史的教育价值的认识。历史上数学家所遇到的困难，正是学生也会遇到的学习障碍，因而数学史是教学的指南。激发学生的学习兴趣；启发学生的人格成长；预见学生的认知发展；丰富教师的课堂教学；促进学生的数学理解。一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题对学生来讲，通过对数学史的学

2、习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高，它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考，促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度，有利于辩证唯物主义世界观的形成，有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。Lecture

3、1美索不达米亚数学3.研究古巴比伦时期的泥版BM15285.设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题?14MeHpfffflmiarlMaTMeiM把寸：Johw叮4.美国哥伦比亚大学收藏的Plimpton322号巴比伦泥版的内容是什么?1.4MesopotamianMathematics：Geometry(c/ft)-(炉+/”SgFa.炉qp序号1.59.0.15L592.4911.%56.58,14.50.56.73.12J1,20,252L55,7.41.15.33.45L16.411.50.4931,53.10.29,32,52.163.31.495.9.14L4«,54.1

4、.401.51.3751.47.6.41.405.19X.161,43,11.56.28.26.40341159,171.41.33.59,3.4513.1920.4981.38.33.36.369J(8.I)12.4991.J5.10.2.28.27.24.26.401.22.412.16.110133.4545.01.15.01!1.29.2!.54.2.1527.5948,49121,20,3,457JX12,414,49131,25,48.51,35,6.4029.3153.49141.”.B.46.405653(1.46)151.4AAesopofamianMathematics：G

5、eometry序号Pqa=Zb=2叫151191201692273367345633246014MM)664945412709B5001KS415465729769319360481725229)270035418IS79996012499124816007691040496164K08161II4560751225167924002929138161240289142717712700322915556001065.古代巴比伦人是如何求平方根近似值的?6.数学泥版Str.362(约前2000年)：“十兄弟分银1：mana,每个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，己知老八分得6gin(1mana=60

6、gin)。问：各兄弟比相邻的弟弟多得几何？”泥版上给出的解法是：“取十兄弟所得平均数10斤，倍之，得20斤；减去老八所得的两倍即12斤,得8斤。于是，公差为8/5斤。”请写出祭司所用的一般公式.1.3MesopotamianMathematics：Algebra十兄弟分银12/3mana,每个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，已知老八分得6gin(Imana=60gin)。向：各兄弟比相邻的弟弟多得几何9解法：取十兄弟所得平均数10斤，倍之，得20斤；减去老八所得的两倍即12斤，得8斤。于是，公差为8/5斤。数学泥版5k362(约前2000年)7.古巴比伦时期数学泥版YBC4675上载有如卜几何问题

7、已知梯形上底为工卜底为17,两艘分别为310和290,面积为3600.用平行于上、下底边的直线将梯形分成面积相等的两部分，向中分线多长？”确的公式.如图，设梯形上、下底分别为q和与，中分线为d，则泥版上给出的解法是这个公式是否正确？若正确,给出你的证明：若不正确.试推导正S.试推导勾股数的一般公式mInstructionalDesign12801房屋72fi02描4Q411204老鼠34319607麦穗2401容积168D7总数196077+49+343+2301+16807S/t=n+叫+4+og"T*】)=7(1+7+49+343+2301)=7x2801=19607ME，日近珏

8、粒蛇莱因得纸草书i阻心施Pqa=pr-(fb=2Pgc=/4q?Lecturer古埃及数学9.Rhind纸草书问题79是-。等比数妇求和问题，介绍H中出近的草上河数划求和方公10.埃及几何学中的玲宝”是什么？正四棱台体积公式:11.帑体文纸草并BM10520（公元前3Ut纪）I二疔数列求和公式1+3+6+21)，丁+2(I+2+3+司)你觉得古人是如何发现这个公式的？月（月+1）ji+21+3+6+“-+-i】+2+3+*+h|2.5EgyptianMathematics;Algebra俗体文纸草书BM10520（前3世纪）13-=-1i31+341+2=3'1+3+65"2

9、+3-3,U3+6+1O_61+2+3十43Lecture3中国古代数ix九字尊术正负术日.”同名相除.异省相益；正无人负Z.负无人正之。其异名相除，同名机靛.止无人正之.负无人负之请用今天的符号话G对这段话作出解弹，这段话的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是负数，零减负数的差是正数。以上文字里的“无入”通常被数学历史家认为是零的概念。13.用出入相补原理证明勾股定理.11什幺是刍童？欣写出，九簟算术中的刍童体积公式.15介绍西汉时期的小口高公式工南宋教学冢杨辉是山口舌壬心表高父两表间距日局二表局十一一影长之差杨辉推导日高公式：卡门根据二面的原

10、理我们可得：（其申日为两个杆亍的距离）股所示，图中两个黄色的面出是相等的田_。5._$J="d=H=0+""0c-fl刘徽和赵爽的证明1411-III三2(c-a)(c-A»)a=j2(c-a)(c-/>)+(c-/>)h=J2(c-c)(c-h)+(c-(7)c=J2(c(c-a)+(c-b16.在直角三角形中，勾、股、弦分别为。、b、c,已知勾弦差（c-a和股弦差2）,试用刘徽的方法来证明下面一组公式：a=,2(c-qXc-b)+(c-/>).b-2(c-a/c-h)4-(c-/7).c=h)+(c-d)+(c-b)3.4Ancie

11、ntChineseMathematics：Geometry已知fl,c-b$求a,b,c九章算术勾股章：“今有户不知高、广，竽不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、表各几何"17.刘徽是如何证明勾股容方公式的?3.4AncientChineseMathematics：Geometry3.4AncientChineseMathematics：GeometryIK.试述刘徽和祖阳的球体枳工作.为了证明公式已芽=土刀,不正确，刘徽在立方体内作两个相互垂直的内切10圆柱，并把公共部分立体称作“华合方盖”。如下图两个圆柱面的公共部分金合方盖正好把半径为R的球体包含在内。刘

12、徽想若用一个与底面平行的平面去裁它们,那么球的截面肯定是图.，而至合方盖的截面刚好是一个正方形0如右图I正方形与其内切圆的面积之比都是：4:不71由“截面原理何得：“q=1义嚓今万上于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体积。，刘徽：提出从立方体割出华合方盖之后所余的“外IT着手。但是外根的复杂难倒了刘微。一祖电:对边长为D的正方体及其内牟合方盖的分之fg行考察如右图并将其分解为一个内棋祖电公理：用平行于底面的平面去截两个等高的立体,如果所得的两个截面面积处处相条则这两个立体的楸就相等。一%慎=%与=5及=嚷=*=嚷=狎嗯=京3n勺=19.简要介绍刘徽的割圆术.要求写出相关公式）3.4An

13、cientChineseMathematics：Geometry刘做：“割之弥细,所失弥少.割之又割.以至于不可割,则与于合体,而无所失矣”3.4AncientChineseMathematics：Geometry园内接正多边形边长递推公式3=，2-j4-(a.)(&=1尺)S=S陶+(S|92-S.)+($384-$92)+(S76s-Sjm)+=s师+(s燧一S»)+；(S|92-S96)+(S192-S96)+44=s师+(1+：+染+)(S燧-S*)=S%+(S192-S»)+*192-$.)641105=314+-x6253625»l°

14、0w3146253927=3.14161250Lecture4古希腊数学20描述希皮亚斯（Hipfiiu4公兀前5世纪）的割圆曲线，并用利用它来三等分用.5.4Three(rtometricProblems希皮亚斯（Hippias）是活跃于公元前5世纪后半叶的辩士。有惊人的记忆力、渊博的学识和精湛的手工技术，苏格拉底称他“英俊、博学.白大、肤浅”.著述颇丰，涉及数学和演肝术，均失传.发明割圆曲线解决三等分角难题.21.用欧几里得的方注证明勾股定理匚ABF二AADC正方形CF-2ABF矩形AL=2AADC,正方形CF=矩形AL二正方形CK=矩形BLj二正方形CF+正方形CK=正方形AE得证22用

15、欧几里得的方法证明命题崇政无限重。答：假设素数个数有限，则必有一个最大的设最大的素数是P令n=2*3*5*7*P+1,即把所有的素数相乘并加上1,显然n>P若因为P是最大素数，所以n是合数，则n能被2,3,；P中至少一个素数整除，但用这些数去除n,都有余数1,即都不能整除这就有两种可能(1)n是素数(2)n是合数，但他只能被大于P的素数整除这两种情况都和P是最大素数矛盾。所以假设错误，所以素数是无限23.用欧凡里得的方法推导等比数列求和公式口a2a3._an1aia2ana2-aia3-a2._an1-包aia2anan1-aia2-ai二二q-iai-a2+anai24用几何方法证明正

16、方形对角线口边长为不可公度量.正方形对角线与边长不可公度!设拒”/佃,)二1=口邛=>fif为儡数1设仪=2/n4H=2夕=#'2/n#为偶数=>(%用"矛盾！25.如图所示，AU8C是球Q被纸面所裁容的大回，和CD是其相”.乖k的西条直径0是球0的外切圆柱以一砧为柏的相应截面.阿培米德通过力学方法发现二球0的体枳等F宜将为CDH垂直纸面的太陶为底.以S为顶点的同锥口的体制的T倍.试介绍阿基米儒的方法.D证明:如图，作辅助线，其中T为期上任意一点用一个过T平行于圆柱僖面的截面去截图形则有：MNPQRS分别是圆柱EG：球。和图椎AEF的国诚面直径产暹长CA到Hs.t

17、AE=AC则我们有二AHACACiAC1XfZiMT'否JFacat7rjr-pi:rt'tt：hYT_圜柱£3的截面.（RF+P）"圆锥HM截面一球。截面L川7（图解AEF截面球口截面）-T图柱EC的截面将CH看成以A为支点的杠杆，则由杠杆定律可得；重心故在H处的，图椎AEF截面十片。祺面）关于支点A与重心诂在T处的圆柱E6截面相平衡再由T的任意性可博,所有这样的截面都有此结果，因此将所有的力矩相加湾：重心放在H处的（圆推AEF+不。）关于支点A与放在原处不动的圆柱相平衡文因为图柱的重心在球心Q何以有下面的结果：涓百小囿锥.空彳-球O）=A0-0fjAG正

18、口兄巳=24而图林斤仃=疆链4g#A0圆铤/JF+悌0当袜0=4圈集，时,又图彼工£声=8圈雄MD*2p秣0=4阊雒hED=4JR?=4才R1：证毕3326利用托勒密定理推导两角和的正弦公式托勒密定理AB,CD+AD-BC=ACBD27.用几何方法证明海伦三角形面枳公式.BH=AFCH=sOCLOLBLIBCBDa+b+c-2-Lecture5中世纪东方数学ABC=CHOD>ABCy=CH2OD2“OFXLB=BC:BL=AF:FO=BII:OD=CB:BH=BL:OD=BKKD=CH:HB=BD:DK=CH2:CHHB=BDDC:CDDK=RD-DC:OD2=CH2OD2=C

19、HHBBDDC=>(aABC=s(s-a)(s-h)(s-c)28 .叙述中国剩余定理。设(叫，吗)=1(<i<j<n),M=mxm1-mn,则同余组x三7;(mod7/7,)(/=1,2,1-n)的解为*三>号.(modM)叫其中满足也也三l(mod叫)(/=12旧，.mt、/29 .什么是天元术和？天元术举例测海镜卷7第2题:或向丙出南门，直行一百三十五步而立。甲出东门，直行一十六步见之。问径儿里？八(%)so.什么是大衍求一术?大衍求一术ax=1(modb)大衍求一术云：置奇右上，定居右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下，心=&

20、quot;4+。3G（夕5）须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率。31.南宋数学家杨辉是如何构造四阶幻方的？1395114106215117316128449516147112156103112813南宋杨辉四四图的构造S2.中世纪印度数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta.598)70给出如下四边形面积公式A='($一.)(5_J)(s-d)其中、乩C、1为四边形边长。这个公式是否正确？若不正确.试推导相应的正确公式U婆罗摩笈多(Brahmagupta959*670)公式要罗摩笈多公式的墨葡里易电的形式，是国内接四边形面积计算。若医内接四边形的四边K为a,。,c,d,则其面

21、巩为；其中财羊周长：S=a+D+C+3/2,(s_O)(6_b)(s_c)(s_d)证明圆檎四边形的面积二AADB的面积+zlBDC的面积=i/2pqsinA+i/2rssmc对AADB和BDC利用余弦律珥，找f侑：代入COSC=-COMG蝠由于用C是互让龟),并整理，揖:犯这个等式代入面积的公式中，得：士是a-。的形式，因此可以4成(a+t>)(a-D)的形式：引入，两边开平方，得:证毕。一般情况唠宜本左对一戢四边形的面积，扩展的委罗摩发多公式用到了四选形的对角和：其中斑四边形一对角和的一半，(选取另一对角也不会影响答案，团其和壬I一半是可-d而C8(TTB)-COS0,所以COS(i

22、r-9)=COS00)因为国内按四边形的有角和为口.8二口?而cosn/2也所以项被Eos昉零,结出公式的基本形式相关定理信品盛-杏论公式给出二角形的面枳。它呈谬号鹿笈多公式期。=0的持殊皆形.婆罗厚笈务公式的基本阳君和扩充形式，就像由皿£定理扩充至空调一般33.中世纪阿拉f白数学家阿布韦发(AbuWMa,940-998)是如何推导两用和与差的与正弦公式的？和角公式sin(a+/?)»Jsin?a-sin2asin:/?+JsiZ-二sin,asiif夕sin(a+)=sinacos“+cosasinft差角公式sin(a-/7)=Jsin二a-sin2asin2fl-si

23、n:yJ-sin2asin2psin(a-P)=sinaCOSP-cosorsinflAB34.中世纪阿拉伯数学家阿尔海赛姆GbnaLHa汕am,965JO4O）是如何推导白然数二次事利公式的？1+2+3+4+”M1+2+3+41+2+3421+2321I222=(+l)£r-刃=/(+l)(2+l)r=lA=1r=lr=lr-1r-135.中世纪阿拉伯数学家阿尔岸拉吉(ALKaraji,953-1029)是如何推导白然数三次鼻和公式的?,=;小+|)Lecture6中世纪的欧洲数学36 .斐波纳契计算之书中有如下问题：“棋盘(64格)上的数列满足：任意,项等它前面所仃各项和的两倍。

24、己知门项为1.求棋盘上数列各项之和J试用今天的方法求解。a=2(aa?.an)=2(s)-an)=2Sn_2asn3an=2Sn36-Snj)=2SnSn=3snJ.sn=s13n,=3n，an-sn-snJ-3-3,4=3n37 .证明奥波纳契命堰：若心人仄/为止整数，且金由学廿W,。由学正11|(1中汇)(1+/，)二+V2=p十/其中1人1.p、q均为正整86且pHw,qH串口命题1若£t:bd:cr则(，+b')(c:+J;)=(t/e+bd)'+adbe)"=(acb(/)'+(ad+be)"期.代约瑟夫问题中，若设排成倜的人数为仃.许且队1号外始按地时计方向点数，每点到第2弓被扔进入海，旧最£利卜的一个人位第*1试蛤1UI”)与时的设关索式.并计算/。00)和*"500),123456789101112131415"16,、113135713579111315J5)IJ(n)=12(n-2k)(k-log2n)J(100)=1362=73J(500)=12(n-28)=12442=48939*14世纪法