双曲线的定义及标准方程

1、双曲线的定义及标准方程【题1】动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2,则点P的轨迹是（）.A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线1.D解析：依题意|PM|PN|=2=|MN|,所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线.【题2】已知两定点Fi（-5,0）,F2（5,0）,动点P满足|PFi|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹分别是（）.A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条射线D.双曲线的一支和一条直线2.C解析：当a=3时，|PFi|PF2|=6v|FiF2|,所以P点轨迹是双曲线的一支；当a=5时，|PFi|-|PF2|=10=|Fi

2、F2|,所以匕点轨迹是以F2为起点的一条射线.x2y2【题3】已知方程、一匚k=1表示双曲线，则k的取值范围是().A.1<k<1B,k>0C.k>0,D.k>1或kv132A解析：方程弃7丁=1表示双曲线，则(1+k)(1-k)>0,1+k1-k.(k+1)(k-1)<0,ivkv1.b【题4】过点（i,i）且a=w的双曲线的标准方程是（）.x2y2A.彳y2=iB.x2=122c.x2-y-=i2D.Ay*或yr*1,b一d解析：由于a=y2,.b2=2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2.此时双曲线方程为y-y2=1.1专一夫=1,将点（1

3、,1）代入，得a2a2同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为x2=1.2【题5】已知定点Fi（-2,0）,F2（2,0）在满足下列条件的平面内，动点是（）.P的轨迹为双曲线的A. |PFi|-|PF2|=3B. |PFi|PF2|=4C. |PFi|-|PF2|=5D.|PFi|x2y2【题8】双曲线萌一9=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（）.A.22或2B.7C.22D.2答案：A解析：a2=25,所以a=5,2a=10,由双曲线的定义知双曲线上的点到两焦点距离差的绝对值为10,故到另一焦点的距离为22或2.2_y_x【题9】若方程4m+1=1表示双曲线，则实数m的取值

4、范围是（）A.1<m<3B.m>1C.m>3D.m<11.B【题10】双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是啊0）,那么实数k的值为（）A.25B.25C.1D.12.C支yx2£【题11】椭圆34+n2=1和双曲线n216=1有相同的焦点，则实数n的值是（）A.±5B.±3C.5D.93.B|PF2|2=±4答案：A解析：根据双曲线定义知P到Fi,F2的距离之差的绝对值要小于|FiF2|.【题6】k>1,则关于x,y的方程（1k）x2+y2=k21所表示的曲线是（）.A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点

5、在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线22答案：C解析：原方程可化为=1,k211k1.k>1,.-.k2-1>0,1+k>0.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.5【题7】设椭圆C1的离心率为石，焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两焦点的距离差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为（）.B.D.I1322x1322a26,“a13答案：A解析：在椭圆C1中，由c5得,椭圆C1的焦点F1（5,0）,F2（5,0）,-,c5.a1322曲线C2是以F1,F2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C2的标准方程为3当=1.4232【题12】若点M在双曲线篇=1

6、上，双曲线的焦点为Fi,F2,且|MFi|=3|MF2|,则MF2|等于(A.2C.8D.124.B【题13】已知双曲线的一个焦点坐标为（啊0）,且经过点（一5,2）,则双曲线的标准方程为(x2A飞y2=1B.g-x2=12磅-y2=15.A【题14】已知动圆迹方程为M过定点B（-4,0）,且和定圆（x4）2+y2=16相切，则动圆圆心M的轨(x2y2Aq一行1(x>0)b"=1(x<0)一金.C.4-12=1y2x2、6.C【题15】已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mxy+n=0与nxN两点，MN的中点的横坐标为一3,则此双曲线方程为+my2=mn所表示的曲线可

7、能是4.Cx2y2:二1x2y2Y=1【题16】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F（巾，0）,直线y=x1与其相交于M,.5x2y2DW5=15.D【题17平面内有两个定点Fi(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PFi|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是()八y2"八A.691(x<-4)x2v2B.xT=1(x<-3)916cx2C.16y2g1(x>4)16=1(x>3)解析根据双曲线的定义可得.答案【题18已知双曲线的a=5c=7,则该双曲线的标准方程为).A.x2252422b.25-24=1-x2y2_C.2?24=1或x22524x2yy

8、2N_D.2?24=0或2524=0解析因为b2=c2a2=4925=24,且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程x2tx2y2八y2为-=1或=一25242524=1.答案C【题19】已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在X轴上的双曲线，则k的取值范围为().A.1<k<1B.k>1C.k<1D.k>1或k<11+k>0,一解析由题息得解得1-k>0,k>1,即一1<k<1.k<1,答案A【题20】已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3),离心率为陋的双曲线的标准B.md.£T=i8

9、8c2a2Ib2.2解析由离心率为率,e2=-2=2=1+-2=2,即a=b,aaa，双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2y2=Xf0）,又点P（1,3）在双曲线上，则入=1-9=8,y2x2所求双曲线的标准方程为、一力=1.故选D.88答案D【题21】双曲线的两焦点坐标是F1（3,0）,F2（-3,0）,2b=4,则双曲线的标准方程是（）x24y2YA.5-4=1B.5-4=1C.3-2=1D.9-16=122，c，、xy_一.解析：焦点在x轴上，c=3,b=2,所以a2=5,所以方程为g4=1.故选A.答案：A【题22已知F1（-5,0）,F2（5,0）为定点,动点P满足|P

10、F1|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为（）A,双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线解析：,|FrF2|=10,|PF1|PF2|=2a,【题24】已知Fi（-8,3）,F2（2,3）,动点P满足|PFi|PF2|=10,则P点的轨迹是（）A,双曲线B,双曲线的一支C.直线D.一条射线【解析】Fi,F2是两定点，|FiF2|=10,所以满足条件|PFi|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.【答案】Dx2y2【题25】已知方程巧一曰=1表示双曲线，则k的取值范围是（B.k>0A.-1<k<1C.k>

11、0D,k>1或k<-1【解析】方程表示双曲线，则（1+均与（1刈同号，即（1+k）（1k）>0,得-Kk<1.【答案】A【题26】已知F1（-3,0）,F2（3,0）,满足条件|PF1|PF2|=2m1的动点P的轨迹1是双曲线的一支.下列数据：2;一1;4;一3;2,则m可以是（）A.B.C.D.由双曲线定义得|2m-1|<6,2m1"57厂1一、，一/mv/且mw.故选A.【答案】A【题27】设0C（4,兀）则关于x、y的方程sincos0=1所表示的曲线是（）A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆

12、答案C解析方程即是比1,因长(率句，sin0>0,cos伉0,且一cos0>sin0,故方程表示焦点在y轴上的椭圆，故答案为C.22x2y2【题28k>9是方程9卜+k4=1表小双曲线的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B，、一y2x2解析k>9时，方程为/;一17=1表木焦点在y轴上的双曲线，万程表小双曲线时,k4k9(k-9)(k-4)<0,，k<4或k>9,故选B.【题29】已知方程ax2-ay2=b,且a、b异号，则方程表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.

13、焦点在y轴上的双曲线答案D解析方程变形为£=1,由a、b异号知b<0,故方程表示焦点在y轴上的双曲线,bbaaa故答案为D.x2U【题30】以椭圆3+4=1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是()x2x2A.3y2=1b.y2一丁1y2x2D.3L答案B解析由题意知双曲线的焦点在y轴上,且a=1,c=2,b2=3,双曲线方程为y2-x2=1.【题31】已知双曲线中心在原点，一个焦点为Fi(-V5,0),点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是()/v2A.4-y2=1B.x2-：=1D.x2-y232答案B解析由条件知P（

14、1;5,4）在双曲线孑一=1上，/普=1,c.ca2=1-又a2+b2=5,.,故选B.b2=4x2【题32】已知双曲线与椭圆9+:=1共焦点，它们的离心率之和为145,双曲线的方程应是(X2A.行一x2y2匕一注1x2y2c.一七十丁1cX2D-7+J121答案解析1的焦点为（0,±4）离心率_4一5'.双曲线的焦点为、一，14410（°,±4）离心率为y-4=石=2,.双曲线方程为:22yx4工=1412【题33】设椭圆C1的离心率为府，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为（）

15、B*1x2y2叼42=1x2y2口仔一冒1答案A解析由已知得椭圆中a=13,c=5,曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a=4,c=5,故双曲线中b=3,双曲线方程为x2泰43=1.【题34动圆与圆x2+y2=1和x2+y28x+12=0都相外切，则动圆圆心的轨迹为（）A,双曲线的一支B.圆C.抛物线D.双曲线答案A解析设动圆半径为r,圆心为O,x2+y2=1的圆心为O,圆x2+y28x+12=0的圆心为。2,由题意得|OOi|=r+1,|OO2|=r+2,|OO2|-|OOi|=r+2-r-1=1<|OiO2|=4,由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支.【题35】已知双曲线

16、916=1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为（）A.3B,5C.6D.9解析由双曲线的定义知|PF1|PF2|=6,观察选项知D正确.答案D【题36】已知双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上，两焦点关c5于原点对称，a=3,则双曲线的方程为（）x2A64=1x2y2B屈-36=1X.空置.C.3664-1D.6436一一1c5解析令x=0,y=10,双曲线的焦点坐标F1（0,10）,F2（0,10）,.-.c=10,又a=3.a=6,b2=c2a2=100-36=64,故双曲线方程为3664=1，故选D.答案D【题37】双曲线C的实轴长和

17、虚轴长之和等于其焦距的42倍，且一个顶点的坐标为（0,2）,则双曲线C的方程为（）x2y2y2x2A.4-4=1B.4-4=1y2x2之yC.48=1D.84=1解析依题意a+b=42c,a=2,又a2+b2=c2,解得b=2,又焦点在y轴上，双土x2/曲线方程为4-4=1.答案B【题38】双曲线与椭圆16+64=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x,则双曲线方程为（）A,x2-y2=96B,y2-x2=100C,x2-y2=80D.y2-x2=24解析由题意知，c=6416=45，a=b,2a2=c2=48,a2=24,故所求双曲线方程为y2x2=24.答案D【题39】已知双曲线的a=5,

18、c=7,则该双曲线的标准方程为A-JlA2524122B-25-24=1x2y2CT-C.2524rx2y2D.云24解析：因为b2=c2a2=4925=24,且焦点位置不确定，所以双曲线的标准方程为x225y224y2x2=1或工一一=12524答案：C【题40】已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为()A.(-1,1)B.(1,+8)D.(8,1)U(1,)解析:由题意得k>1,解得即1<k<1,k<1,答案：A【题41P为双曲线9-16=1上一'点，Fi,F2分别为双曲线的左、右焦点，且|PFi|=7,则|PF2|等于()A.13或1B.1C.13D.15解析：由双曲线方程得a=3,b=4,c=5,显然双曲线右支上的点P,产到Fi的距离最小为a+c=8,因此P在双曲线左支上，则|PF2|=|PFi|+2a行=13.答案：C【题42】已知点之差为1八x29G7=Fi(4,0)和F2(4,0),曲线C上的动点P到6,则曲线C