双曲线的定义与标准方程

1、【课题】7.7.1双曲线的定义与标准方程【教学目标】知识目标：使学生从发现、发展的角度理解和掌握双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念；了解双曲线的标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定双曲线的标准方程.能力目标：在概念形成的过程中，培养学生发现能力及分析、归纳的逻辑思维能力；了解借助几何画板探究动点轨迹的操作方法.【教学重点】掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程；能根据条件，用待定系数法和定义法确定双曲线的标准方程.【教学难点】双曲线的标准方程的推导.用待定系数法求解双曲线的标准方程.【教学设计】通过生活中的实物引入课题，并通过动手实验让学生亲自体验并总结出双曲线的定义，让学生带着兴趣学习

2、，提高教学效果.引导学生根据双曲线定义恰当的选择坐标系，推导双曲线的标准方程，感知数学的数形结合思想，提高学生的推理论证能力；通过合作练习，发挥学生的主体作用，并根据学生的年龄特点和学生对知识的掌握程度，力求做到因材施教，在问题的思考、交流、解决过程中培养和发展学生的思维能力.【教学备品】教学课件、实验用品（图钉、无弹性的细线、素描纸、侧面带孔的空心圆管）【课时安排】1课时.（45分钟）【教学过程】教学过程教师学生教学意图时问*揭示课题7.7.1双曲线的定义与标准方程*创设情景兴趣导入介绍了解从实际事例使教学过程教师向学生向教学意图时问观察图片：观察辛，瓶和先寿电厂冷却一IL塔的图片.:廓近似

3、什么曲线？2cm和i6cm)一端固定在一起，播放课件说明解释引导分析归纳观看课件思考作图分析求解思考学生自然的走向知识点引导学生动手作图通过分析让学生体会双曲线上的点M满足的条件，引出定义i0提出问题：动手实验:首先将两根艺们的1田绳(到切面的轻长度为2另一端按同一方向穿过空心小圆管侧面的/两端分别固定在素描纸上的两个定点卜孔，用图钉将绳子Fi、F2处.将笔插在空心小圆管上，拉紧绳子，移动笔尖，画出一只曲线.再将绳子两端交换固定，重复作图，画出另一支曲线.我们将这种曲线称为双曲线.)思考(1)如果把笔尖看成点M,那么|MFi|与|MF2|的差的绝对值是常数吗？(2)|MFi|MF2|与|FiF

4、2|的大小关系？归纳双曲线上的点M满足OV|MFi|-|MF2|<|FiF2|*动脑思考探索新知带领平面内到两个定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于IF1F2I且不等于0)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点Fi、F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离|FiF2|叫做焦距.标准方程推导建系：取过焦点Fi、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.设点，列条件：设M(x,v)是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0),那么点M到Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数2a,则有|MFi|-|MF2|=±2a.列式:由两点间的距离公式可

5、得|MFi|=.(x+c)2+y2,|MF2|=:(xc)2+y2,所以V(x+c)2+y2M(xc)2+y2=土2a,化简:化简得(c2a2)x2a2y2=a2(c2a2).由双曲线的定义可知2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0,设c2a2=b2(b>0),则有b2x2-a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得v2彳-陵i(a>0,b>0)(1)教师学生向教学意图学生总结归纳思考双曲线的定义说明理解充分讲解双曲引导推导线的学生标准推导方程双曲的推线的导过标准程四方程步骤数形结合教师学生教学行为行为强调记忆反之，我们可以证明，以方程(1)的解为坐标的

6、点都在双曲线上.我们把这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是Fi(c,0),F2(c,0).其中c2=a2+b2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程:若双曲线的两个焦点所在的直线为y轴，焦点是Fi(0,总结引导理解焦点轴上的双曲线的标准方概念辨析:y2a2x2,、w=1(a>0,b>0)b(2)(1)双曲线的标准方程中，a>0,b>0,但a不一定大于b;(2)双曲线的标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.强调理解通过概念辨析使学生

7、深c),F2(0,c),只要将方程(1)中的x,y互换，就可以得到它的方程为刻理(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2.解定20教学过程教师学生向教学意图时问*巩固知识典型例题例1已知双曲线的标准方程为三一2=1,求它的焦点坐标.1015解由双曲线的标准方程为二一4=1,可知a2=10,b2=15,1015则c2=a2+b2=25,c=5.又因为双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为(一5,0)和(5,0).例2已知两点F1(5,0),F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是8的动点轨迹方程，并用几何画板回出动点轨迹.解由定义可知，所求动点

8、的轨迹是双曲线，因为c=5,a=4,所以b2=c2a2=25-16=9,因此所求方程是22-y-=1.169注：作图步骤参阅教材.说明引领讲解分析观察思考主动求解理解通过例题进一步掌握双曲线的标程利用定义法求出双曲线的标程30*理论升华整体建构引导说明归纳引导归纳总结思考总结总结思考引导学生总结双曲线的定义与标程35定义|MF1|-|MF2|=2a0<2a<|F1F2|图形1q/V17方程匕上1a2b21(a>0,b>0)y2x2七一：=1a2b2(a>0,b>0)焦点(土c,0)(0,土c)教学过程教师向学生向教学意图时问a、b、c的关系c2=a2+b2*运用知识强化练习教材练习7.7.11.求卜列双曲线的焦点坐标：x2y2/、y2x21 515-1'(24602 .写出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) a=6,b=3,焦点在x轴上；(2) b=2击，焦点F1(0,5)、F2(0,5).3 .已知双曲线上有一点到两焦点(0,3)、(0,3)的距离差是2,求双曲线的标准方程.提问巡视指导思考动手求解交流及时了解学生知识掌握的情况40*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是