变形率和旋率

1、第4章变形率和旋率第4章变形率和旋率有限变形：与t有关，t作为参变量。一一变形几何学现在把时间考虑进去，研究变形的速度问题。对时间求导数：两种描述法对时间求导数有区别，速度是求物质导数，固定间求偏导数一一变形运动学。§4.1物质变形梯度的物质导数Xk,对时Lagrange描述法：Xk=xk(Xk,t)(物质)变形梯度张量：F=等ik二IkXkxF=GradxX物质导数：F=4(F)Xk("|xk”表示保持Xk不变).t=邑(凶x,t)一史cXX-2-：x.xXtXt.v=GradvX§4.2速度梯度张量变形梯度张量的物质导数,V.v二x=GFxX(1)v7E乂：G

2、称为速度梯度张量x=gradvGki由（1）,可得：G=FFG=Vkek二e.速度梯度张量38第4章变形率和旋率G比F用处更大。§ 4.3 元dx的物质导数初始构形中的线元dX,现时构形中的线元dxdx=FdX求：dx对时间的物质导数：(dx)FdX产FdX=GFdX则(dx)g=Gdx反映了线元的变化速度。空间线元的物质导数等于速度梯度与空间线元的点积。§ 4.4 G的加法分解1.-F用极分解，-F存在而G用加法分解，丫G不一定存在G=D+Q分解对称部分和反对称部分1TQ=(GGT)21，、Qkl-(vk,l-vl,k)21 TD(GG)2c1,、Dkl=(vk,lvl,

3、k)2变形率张量：D整旋率张量：Q(物质旋率)(dx)=Ddx+Qdx1 .变形率张量D。二阶对称张量，有三个相互垂直的主方向na(«=1,2,3),主值DuD=D(二n二ndx=D(-n：ndxn:=D(-dx-.n;由上式看出，D为变形率张量，Dq(为n(x方向变形速率，0a为变形率标架。2 .旋率张量Q,反对称张量，只有三个独立的分量39第4章变形率和旋率写为*Qdx=dx=coMdx只要：。=。色，s2=C3,切3=口21,则上式成立。称为轴矢量，转动角速度。§ 4.5 形速度张量Euler描述法：(dl)2-(dL)2-(dL)2求物质导数:一(dl2-dL2)=

4、一(dl)2=(11kldxkdxl)dtdtdt=、kidxkdxikidxkdxi以=xk,KdXdxk=xk,KdXK=Vk,KdXK=Vk,lxl,KdXK=Vkdxd22(dl-dL)=(Vk,l“k)dxkdxldt1T则=2Dkldxkdx(D(GGT)2或写成=2dxDdx1,有了Euler变形速度-(Vk,l+Vl,k)称为Euler变形速度张重。D(刖面称为变形率张重)张量便可知(dl2-dL2)odt线元dl的伸长率：d9d(dl)2=2dl(dl)=2Dkldxkdxldtdt除以2(dl)2,则:dt(dl)ndxkdxlndl=Dkldldl"Z(其中nn

5、分别为dl在k和l方向的方向余弦)知道D后，任何dx的单位长度的变化率可用D表示出来。Lagrange描述法:d(dl)2=2dxDdxdt(*)=2dXFTDFdX(dx=FdX)40第4章变形率和旋率Larange变形速度张量为：E=FtDF另推：Green变形张量：Cdl2-dL2=CKLdXKdXL-、KLdXKdXL*)-(dl2-dL2)-CkldXKdXldt=dXCdX比较(*)与(*)式，Green变形张量的物质导数C=2E=2FtDF§4.6应变速度张量Lagrange描述法：1 _.、Green应变张重：E=(C-I)2求物质导数：e1Cc=ftDf2Lagra

6、nge应变速度张量：=Lagrange变形速度张量。另推：E=1C=1(FTF)-(FtFFtF)2221(FTGFFGF)21Ft(GtG)F2=FTDFEuler描述法：1-、Euler型应变弓重：e=(I-B)(Almansi应变张重)2(前面：B'称为Cauchy变形张量)1_1T_1B=(F)T(F)1,1求物质导致：e=_一(B),=-(F)F,F(F)22丁FF4=1,则FF'+FF=0则F'=F'G同样：FT-GTF。41第4章变形率和旋率则：eJGTB'B'G2又B,二2eI-1则：e（GTG）-（GTeeG）2=D-（GTee

7、G）Euler应变速度张量e与Euler变形速度张量不同。即使d=0,e也不一定为零。若D=0（即线元长度不变化）则G=-GT=Q（只有旋率张量）e=0（应变仍存在）e'=Qee不为零。§4.7各种旋率张量1.主旋率张量1T_、-+Q=2（G-G）物质旋率1，、'kl-'二一（Vk,i-'Vl,k）22.Lagrange旋率张量设0,e2,q固定在空间的标架一一绝对标架F的极分解：F=QUF二VQU的主方向M1,M2,M3也构成标架Lagrange标架，U是变化的，则对应的Lagrange标架也变化，该变化引起的旋转变化率称为Lagrange旋率。M=

8、QLe（QL是一个正交张量，只是标架转动）(丁e=(QL)TM)d'i'iitM=QLe=QL(QL)TMdtQL-QL(QL)T称为Lagrange旋率张量。可证qL是反对称张量.YQ1是正交张.量，即QL(QL)T=IQL(QL)TQL(QL)T=0QL+(QL)T=0二QL是反对称张量。3.Euler旋率张量V的三个主方向，m1m2m3构成Euler标架，m42第4章变形率和旋率m=QEi(QE正交张量)m=QEe=QE(QE)TmdtQe=QE(QE)T称为Euler旋率张量。4 .伸长率标架旋率(变形率)变形率：D也有三个方向n1n2%构成一个标架nn=QDedDn=

9、Qedtd_D_D_DTn=Qe=Q(Q)ndtQd=Qd(Qd)t称为伸长率标架旋率。5 .相对旋率张量：QrEuler标架相对于Lagrange标架的转动速度。M表示Lagrange标架，m表示Euler标架。Q:表示从Lagrange标架到Euler标架的转动(与极分解Q相同)m=QM:求相对运动，视M为不动的标架(实际上在动)工相对旋率：QR=QQTQ为正交张量，QR为反对称张量。6 4.8主旋率和相对旋率的关系Q二(G-GT)物质旋率2Qr=QQT(相对旋率);F=QU=VQF的极分解：F-QUF-QUQU又F二GF则G=FF二-(QUQU)F“43第4章变形率和旋率又UF,二UTF工二Q二QT则G=QQT+QUU,QT=QR+QUU，QT同理：GT=(