双曲线感悟重点

1、双曲线知识点双曲线的定义：1.第一定义：到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于定长（<|FiF2|）的点的轨迹（|PF1-|PF2|=2a<F1F2（a为常数）这两个定点叫双曲线的焦点.要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a<|FiF2|.当|MF|MF|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF|-|MF|=2a时，曲线仅表示焦点Fi所对应的一支；当2a=|FiF2|时，轨迹是一直线上以Fi、F2为端点向外的两条射线；当2a>|FiF2|时，动点轨迹不存在.（图1）（图2）2.第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e（e&

2、gt;1）时，这个动点的轨迹是双曲线.这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线图818双曲线的标准方程:224=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)；a2;渐近线方程：*-冬=0y=±axa2b2b可见，如果已知渐近线方程也就是已知了ab的比值，反过来ab比值相等的双曲线必然共渐近线。这样的渐近线有无数条，因此共渐近线的双曲线有无数条。共渐近线双曲线方程的设法：已知渐近线设双曲线：若渐近线方程为y=_bx=x一)=0aab22二双曲线可设为J=九，九#0变化方法把渐近线的两边平方然后等1改a2b2b222与0=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上);ab

3、共焦点问题的设法理解22221 .与双曲线与-与=1共焦点的双曲线系方程是二J=1abakb-k解释：所谓共焦点其实就是焦距相等半焦距相等，即c相等，由双曲线的知识可知a2+b2=c2因此要使c不变，就是a2+b2的和不变，所以一个加数增加多少另一个加数必然减小多少，2 2kb2-k所以与、乡=1共焦点的双曲线设成a2b2a渐近线的理解渐近线的思考：渐近线就是图像无限靠近的线，思考无限靠近的含义注意与渐近线平行的线如果一边与双曲线不相交则必然和另一边相交，和渐近线不平行的线倾斜度大的线不会和双曲线渐近只会渐远。由此渐近线得名。共渐近线的双曲线有无数个的解释初中学过反比例函数也是双曲线，其渐近线

4、是两个坐标轴，我们那时学过了无数个双曲线方程，它们都是共渐近线的，因此共渐近线的双曲线有无数个。下面看一下渐近线方程的求法就进一步明白共渐近线问题221 .若双曲线方程为占-4=1(aa0,b>0)ab22二渐近线方程：3-与=0之y=±-xaba222.若双曲线方程为4-=1(a>0,b>0)a2b2成等入。其实这样设就是保证ab比值相等，将设好的双曲线变形你会发现22XL_yL.=所以设置成等于入，其实是保证ab比值不变也就是共渐近线的充要条ab件。已知双曲线求渐近线22若双曲线与5一4=1有公共渐近线ab22则双曲线的方程可设为-冬=九(九A0,焦点在X轴上，

5、九<0,ab焦点在y轴上)不用解释了，这样仍是为了保证ab比值不变。这就是保证共渐近线的充要条件0的思考。22Av2+Bv2=1(AB<0)或者x+乂=1xyAB双曲线渐近线方程的记忆让双曲线方程等于其实是由渐近线平方变化发现的这一规律双曲线方程的形式：对于坐标轴为对称轴的双曲线方程可设成(AB<0)点直线与双曲线的关系(区域规划)1点与双曲线：2点P(x0,y0)在双曲线2-2=1(aa0,ba0)的内部u§-"°>1abab理解：在双曲线内任意取一点，代入即可记忆2222点P(x0,y0)在双曲线2-4=1(a>0,b>0)

6、的外部u§-普<1abab理解；在双曲线外部任取一点，代入即可记忆，其实有更好记的方法因为渐近线就在外部渐近线是让方程等于0得到的，所以小于1的结论很好记b2=1(a>0,b>0)上u0a这个不用解释了2直线与双曲线：(代数法)设直线l:y=kx+m,双曲线(b2-a2k2)x2-2a2mkxa2m2X2a22y2=1(a>0,b>0)联立解得b21)m=0时，-b<k直线与双曲线交于两点(左支一个点右支aa一个点)；k±b,kwb,或k不存在时直线与双曲线没有aa交点；解释：这种联立求解的方法是消去y,这样只要x有两个根就说明有两个交点

7、，更重要的是m=0说明过原点，只需要斜率和渐近线的斜率比较就知道有几个交点，做题时间一定会用到这个不等式的过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线l:y=kx+m过定点P(x0,y0),双曲线22勺=1(a0,b0)ab1) .当点P(x0,y0)在双曲线内部时：-b<k<,直线与双曲线两支各有一个交点；aak=_b,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于a一点；k或k<-b或k不存在时直线与双曲线的一支有两个aa交点；2) .当点P(x0,y0)在双曲线上时：k=±b或卜=粤，直线与双曲线只交于点P(x°,y°);aay。-b<卜<

8、;。直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个aa点)；心峥(y0#0)或，k粤(y°#0)或k<-*ay°aay°a或k不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当y°。0时，k=±bkfft,直线与双曲线只交于点P(x0,y0);akb或k：二时直线与双曲线的一支有两个交点；aa-b：二k：二b直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一aa个点)3) .当点P(x0,y0)在双曲线外部时：当P(0,0)时,-b<k:二b,直线与双曲线两支各有一个交点；aak2b或kwb或k不存在，直线与双曲线没有交点；aa当点m00时，k=±

9、Jmb-时，过点P(x0,y0)的直线与双曲线相切k=.b时，直线与双曲线只交于一点；a几何法：直线与渐近线的位置关系2例：过点P(0,3)的直线l和双曲线C:x2-上=1,仅有一个公共点,4求直线l的方程。2)m。0时，k存在时，若b2-a2k2=0k=_b,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a若b2a2k2#0,=(2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2 >0时，m2+b2-a2k2>0,直线与双曲线相交于两 <0时，m2+b2-a2k2<0,直线与双曲线相离，没有交点；212 =0时m2+b2-

10、a2k2=0,k2=2直线与双曲线a有一个交点；若k不存在，-a<mca时，直线与双曲线没有交点；m>域m<一直线与双曲线相交于两点；双曲线标准方程(焦点在x轴)22=1(a>0,b>0)ab标准方程(焦点在y轴)224-7=1(a>0,b>0)a2b2双曲线的性质:定义第一定义：平面内与两个定点E,F2的距离的差的绝对值是常数(小于FF2|)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M|MFi_MF2=2a)2a：FE第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e,当e>1时,动点的轨迹是双曲线。定点F叫

11、做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e(e>1)叫做双曲线的离心率。对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点0(0,0)隹占坐八、八、1，标Fi(-c,0)F2(c,0)FK0,y)F2(0,c)焦点在实*由上，c=Va2+b2;焦距：F1F2=2c坐占2顶标(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)离心率cccc.e=-(e>1),c=a+b,e越大则双曲线开口的开阔度越大a准线方程2x土c一ay一鼠一一一、2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的跑离：c顶点到准线的距离一，2顶点A(A2)到准线I1(12)的距离为a-c一一f»、”一、，

12、2顶点A(A2)到准线12(11)的距离为+a范围焦点到准线的距离八.r一八一一、一2.2焦点F1(F2)到准线l1(I2)的距离为c_L2_cc2焦点E(F2)到准线I2(i1)的距离为a_+cc渐近线方程,b(虚)y士一x(7)a实.b/虚、x=±y()a实共渐近线的双曲线系方程22二-乌=k(k¥0)a2b222、_0=k(k¥0)a2b2直线和双曲线的位置22双曲线。4=1匕直线y=kx+b的位置关系：ab222x_y_1利用a2b2转化为F二次方程用判别式确定。y=kx+b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长|AB|=j1+k2J(x

13、+x2)2-4x1x2通径：AB=Iy2-y1过双曲线上一点的切线警写=1或利用导数a2b2弊_券=1或利用导数a2b2弦长公式：理解：Jk2+1实际上是倾斜角余弦的倒数,因为Jk"二所以若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B,且x，x2分别为A、B的横坐标，则AB=&x-X2)2+(yy2)2AB=Jk2+1|xi-X2=4k2+1J(xi+X2f-4x1X2=VT+k2-,若y1，y2分别|a|为a、b的纵坐标，则ab=J/+1一y2|=+；J(y1+y2f_4yly2。解释:通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长2b2|AB|=。a若

14、弦AB所在直线方程设为x=ky+b,则AB=，1+k2回-y2。特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，22例：直线y=x+1与双曲线上匕=1相交于A,B两点、则AB=23焦半径等轴双曲线共腕双曲线待研究焦半径公式:22双曲线2r=1(a>0,b>0)上有一动点M(x0,y0)ab当M(x0,y0)在左支上时|MF11H-ex-a,|MF21=ex+a当M(x0,y0)在右支上时|MF1|=ex0+a,|MF2|=e%-a注：焦半径公式是关于小的一次函数，具有单调性，当M(xo,y。)在左支端点时|MF1|=ca,|MF2|=c+a,当M(x0,y0)在左支端点时|MF1|=c+a,|MF2|=ca九、等轴双曲线：22二_=1(a>0,b>0)当a=b时称双曲线为等轴双曲线；a2b2则：1.a=b；2 .离心率e=丘;3 .两渐近线互相垂直，分别为y=±x；4 .等轴双曲线的方程x2-y2=k九#0;5 .等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。十、共腕双曲线：1. 定