周期性对称性+幂函数图像与性质

1、授课类型T周期性与对称性C哥函数图像T哥函数性质教学内容周期性1、周期函数的定义一般地，对于函数yf(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x),那么函数yf(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若T是函数的周期，则kT(kz,k0)也是f(x)的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若f(xa)f(xb),则f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期；f(

2、xT)f(x二)，则f(x)周期为T；22山入Tf(x)的周期为Tf(x)的周期为一。2、常见周期函数的函数方程：(1)函数值之和定值型，即函数f(ax)f(bx)C(ab)对于定义域中任意x满足f(ax)f(bx)C(ab),则有fx(2b2a)f(x),故函数f(x)的周期是T2(ba)特例：fxafx,则fx是以T2a为周期的周期函数；(2)两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型f(x2a)(2b2a),所以函数f(x)的若f(ax)f(bx)C(ab,C可正可负)，则得f(x2a)周期是T2(ba)(3)分式型，即函数f(x)满足f(xa)1f(xb)(ab)1f(xb),进而得f(x

3、2b)由f(xa)1f-(b)(ab)得f(x2a)1f(xb)f(x2a)f(x2b)1,由前面的结论得f(x)的周期是T4(ba)(4)递推型：f(xa)f(x)f(xa)(或f(x)f(xa)f(x2a),则f(x)的周期T=6a(联系数列)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；yf(x)满足f(xa)g(f(x),(a0),其中g1(x)g(x),则yf(x)是以2a为周期的周期函数。3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数

4、有两条对称轴(或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心)，则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴xa、xb,即f(ax)f(ax),且f(bx)f(bx),那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2|ab结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点a,c、b,c(ab)成中心对称，即f(ax)f(ax)2c和f(bx)f(bx)2c(ab),那么f(x)是周期函数，其中一个周期T21abi结论3：一线一点对称型：如果函数f(x)的图像关于点a,c(a0)成中心对称，且关于直线xb(ab)成轴对称，那么f(x)是周期函数，其中一个

5、周期T41ab例1、定义域为R的函数fx满足f4xfx8,且yfx8为偶函数，则f(x)()(A)是周期为4的周期函数(B)是周期为8的周期函数(C)是周期为12的周期函数(D)不是周期函数例2、定义在R上的函数f(x),给出下列四个命题：(1)若f(x)是偶函数，则f(x3)的图象关于直线x3对称若f(x3)f(3x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称(3)若f(x3)=f(3x),且f(x4)f(4x),则f(x)的一个周期为2。(4)yf(x3)与yf(3x)的图象关于直线x3对称。其中正确命题的序号为。对称性一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念函数轴对称：如果一个函数

6、的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。二、抽象函数的对称性1、函数yf(x)图象本身的对称性(自对称问题)(1)轴对称yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)f(ax)f(bx)yf(x)的图象关于直线x(ax)(bx)旦对称.特别地，函数yf(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)f(x).(2)中心对称yf(x)的图象关于点

7、(a,b)对称f(ax)f(ax)2bf(x)f(2ax)2bf(x)f(2ax)2bf(ax)f(bx)2cyf(x)的图象关于点(abc)对称.2特别地，函数yf(x)的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是f(x)f(x)0.(3)对称性与周期性之间的联系若函数f(x)既关于直线xa对称，又关于直线xb对称(ab),则函数f(x)关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为ba|；且函数f(x)为周期函数，周期T21ba|；特别地：若yf(x)是偶函数，其图像又关于直线xa对称，则f(x)是周期为21a的周期函数；若函数f(x)既关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称(ab),则函数f(

8、x)关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为ba|；且函数f(x)为周期函数，周期T21ba|；若函数f(x)既关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称(ab),则函数f(x)关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为|ba|,相邻对称轴或中心的距离为21ba|;且函数f(x)为周期函数，周期T41b耳。特别地：若yf(x)是奇函数，其图像又关于直线xa对称，则f(x)是周期为4a|的周期函数。1 .已知函数f(x)定义域为R,且对于任意实数x满足f(x2)f(6x),当0x2时，f(x)x22x|x35,则f(1)f(3)2 .已知函数f(x)|x22axa|(xR),给出下列四个命题：

9、当且仅当a0时，f(x)是偶函数；函数f(x)一定存在零点；函数在区间(，a上单调递减；当0a1时，函数f(x)的最小值为aa2.那么所有真命题的序号是.哥函数的图像与性质【知识梳理】1哥函数的定义：形如yx（aR）的函数称为哥函数（为常数，2常用哥函数性质及其图像yx2yx3yx12yx21yx定义域值域奇偶性单调性定点3性质如下：（1）所有的哥函数在（0,+8）都有定义，并且图象都过点（1,1）；凸；当0Q).2-j1时，哥函数的图象下0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间0,）上是增函数.1时，哥函数的图象上凸;0时，哥函数的图象在区间(0,）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点

10、时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.【典型例题分析】【例1】有下列函数：y2x,yx,3,yx313x2,yx4,yx2x2,其中哪些为募函数?变式练习：塞函数y1kxa的图像经过点2,2k一.y21，则下列四个函数yy2,yy2,y1x中，是塞函数的是130【例2】求函数yx2x5x2的定义域。一2【例3】若fxxmZ的图像与坐标轴没有公共点，且关于y轴对称，求fx的表达式。2变式练习1：函数y(m2m1)xm是哥函数，求实数m的值。.2变式练习2:备函数fxl1x的大致图像是如图所示的()再变：在上题的基础上加上函数是奇函数，则m的取值为

11、2变式练习3：已知哥函数ym9m19xm的图像不过原点，则m的值为【例4】比较下列各组中两个数的大小：11(1)3,12与3.22(2)2a与aaa0变式练习1:比较下列各组中两个数的大小2222(1)1.831,93(2)(2.1)3(2.2)344(3)(1,1)31.131变式练习2：已知(a1)31(32a)3,求a的取值范围4变式练习4：已知a35412a5,求a的取值范围。【例5】作出函数y匚2的图像。X1变式练习1:作出函数fx的图像。【例6】利用函数的图像解不等式：.X2x133【例71已知函数f(x)2,求f(3)3.5Caxbx5-3,已知f(3)x1-对称2例8已知函数f

12、x(1)求gx的解析式，并求出gx的单调区间；1、一3(2)右ab0,c,求证：gagcab*4【课堂小练】一、选择题1、使x2>x3成立的x的取值范围是B、A、x<1且xwo2、若四个募函数y=xa,y=y=xd在同一坐标系中的图象如右图,AJC*J4、m,n为整数，则下列各式中正确的是manB1.55、y10.940.48y3y1y2B、y2y3则a、b、c、d的大小关系是d>c>b>aa>b>c>dd>c>a>ba>b>d>c3、在函数y=口，y=2x3,y=x2+x,y=1中，哥函数有xB、1个6、.若

13、集合M=y|y=2x,P=y|y="x1,mnp=7、y|y>1B、y|y>1C、y|y>0、y|y>0f(x)=22x-5X2x-1+1它的最小值是0.5B9168、如果a>1,bv1,那么函数f(x)=ax+b的图象在A第一、C第二、D第一、第一、三、四象限二、四象限二、填空题9、已知0<a<b<1,设aa,ab,ba,bb中的最大值是M最小值是myy1D、y110、已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(2)=10,则f(2)11、函数y=(x22x)29的图象与x轴交点的个数是12、函数y=(x-1)3+1的图象的中心对称点的坐标是三、解答题13、设x,y,z4y6z.（1）求证：1X1(2)比较3x,4y,6z的大小.2z;14、已知哥函数值，并写出相应的函数（X）=f（X）、2p232(peZ)在(o,+oo）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求15、已知哥函数2m3（mZ）的图象与x,y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值。【课后练习】一、基础巩固1.募函数y12,X1,4的值域为2.函数yx05的定义域为3 .两个不同的帚函数图像最多有4 .下列函数中，不是哥函数的是Ayx1ByX个交点，最少有（）1Cyx3D个交点。5.要作出函数yx112的图像，将函数yx