电磁学(大学物理下)

1、电电磁磁学学静电场静电场稳恒磁场稳恒磁场变化的电变化的电场与磁场场与磁场真空中的静电场真空中的静电场静电场中的导体与静电场中的导体与电介质电介质真空中的稳恒磁场真空中的稳恒磁场稳恒磁场中的磁介质稳恒磁场中的磁介质电磁感应电磁感应麦克斯韦方程组与麦克斯韦方程组与电磁波电磁波 第一讲第一讲 静电场静电场 电场强度电场强度 一、电荷：宏观物体或微观粒子处于带电状态，我一、电荷：宏观物体或微观粒子处于带电状态，我们就称其带有电荷，电荷实际上是物体状态的一种们就称其带有电荷，电荷实际上是物体状态的一种属性。属性。电荷的种类：正电荷、负电荷。电荷的种类：正电荷、负电荷。 同号电荷相斥、异号电荷相吸，这种静

2、止电同号电荷相斥、异号电荷相吸，这种静止电荷间的相互作用力，称为静电力。荷间的相互作用力，称为静电力。 物质是由原子组成的，原子本来是电中性的，物质是由原子组成的，原子本来是电中性的，得到电子或者失去电子后就会呈现出带负电或者得到电子或者失去电子后就会呈现出带负电或者带正电，此时我们就说物体带有电荷。带正电，此时我们就说物体带有电荷。电荷守恒定律电荷守恒定律： 对于一个孤立系统，无论在其中对于一个孤立系统，无论在其中发生任何物理过程，系统内的正负电荷的代数和发生任何物理过程，系统内的正负电荷的代数和始终保持不变。始终保持不变。带电体所带电荷的多少，称为电量。单位为库仑，带电体所带电荷的多少，称

3、为电量。单位为库仑，符号：符号：C。实验表明：任何带电体所带电量均为基。实验表明：任何带电体所带电量均为基本电量本电量 的整数倍，这被称为电荷的整数倍，这被称为电荷的量子化。的量子化。 Ce191060.1Neq 电荷的电量与其运动状态无关，即在不同的惯性电荷的电量与其运动状态无关，即在不同的惯性系观察，同一带电粒子的电量不变，这被称为电系观察，同一带电粒子的电量不变，这被称为电荷的相对论不变性。荷的相对论不变性。二、库仑定律：二、库仑定律： 那末，如何来求带电体之间的静电力呢？那末，如何来求带电体之间的静电力呢？ 一般来说，带电体间的相互作用力，不仅与一般来说，带电体间的相互作用力，不仅与它

4、们的电量以及它们之间的距离有关，还与带电它们的电量以及它们之间的距离有关，还与带电体的形状和大小有关。体的形状和大小有关。1、点电荷：当带电体之间的距离远大于带电体、点电荷：当带电体之间的距离远大于带电体本身的尺度时，带电体的形状和大小对问题的本身的尺度时，带电体的形状和大小对问题的研究影响很小，此时可忽略带电体的形状和大研究影响很小，此时可忽略带电体的形状和大小，而将其视为一个带电的点，称为点电荷。小，而将其视为一个带电的点，称为点电荷。 点电荷显然是一个理想模型。点电荷显然是一个理想模型。2、库仑定律、库仑定律122122112rerqqkF 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力，与真空

5、中两个静止的点电荷之间的相互作用力，与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线方向。方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线方向。2q1q12r12re2122112rqqkF讨论讨论122122112rerqqkF(a)q1和和q2同号，则同号，则q1 q20, 和和 同向同向21F12re12F12re00001212qqqq斥力斥力(b)q1和和q2异性，则异性，则q1 q20R对称性分析对称性分析dEdERdEdEESdrREEEEEEE高斯面高斯面均匀带电球面均匀带电球面024qrEdSEEdSS

6、dESSSe204rqE)(Rr rRSdEEEEEEEEE高斯面高斯面042rEdSEEdSSdESSSe0E)(Rr E21rrRORr 204rqERr 0Er例例2. 均匀带电球体的电场。均匀带电球体的电场。已知已知q,RRqErEEEEESd高斯面高斯面ESdr024qrEdSEEdSSdESSSe204rqE)(Rr SdEr0332)3/4()3/4(4RrqrEdSEEdSSdESSSe304RqrE)(Rr 均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电场强度分布曲线OrER304RqrErRR1R2q1q2IIIIII课堂练习课堂练习. 如图所示的均匀同心带电球面，两球面如图所

7、示的均匀同心带电球面，两球面的半径分别为的半径分别为R1和和R2，所带电量分别为，所带电量分别为q1和和q2，求区域求区域I、II和和III的场强分布。的场强分布。0IE1Rr 2014rqEII21RrR20214rqqEIII2Rr R2R1IIIIII例例. 如图所示如图所示,一均匀带电球壳，内外半径分别为一均匀带电球壳，内外半径分别为R1和和R2，带电量为，带电量为q1，球壳外有一半径为，球壳外有一半径为R3的同心均匀带的同心均匀带电球面，带电量电球面，带电量q2，求区域，求区域I、II、III和和IV的场强分布。的场强分布。R3IVr例例6. 如图所示如图所示,一半径为一半径为R的带

8、电球体，其电荷体的带电球体，其电荷体密度分布为密度分布为 ,若在球体内挖去一个半径为若在球体内挖去一个半径为r的小的小球体，求两球心球体，求两球心O和和O处的场强。两球心间的距离处的场强。两球心间的距离为为d。 ORO，drROO，rd032)3/4(4rdEOROdO，rd032)3/4(4ddEO)0)(RrRrAr，（，R例例5. 如图所示一半径为如图所示一半径为R的带电球体，其电荷体密的带电球体，其电荷体密度分布为：度分布为： 求球体内外的场强分布求球体内外的场强分布ERrd rr024qrEdSEEdSSdESSSerdrrAqR024)(Rr Rrd rr024qrEdSEEdSS

9、dESSSerdrrAqr024)(Rr 第二种情形：电场呈现轴对称分布第二种情形：电场呈现轴对称分布例例1、如图所示，一无限长直均匀带电线，单位长、如图所示，一无限长直均匀带电线，单位长度的电量为度的电量为 ，求其空间电场分布。，求其空间电场分布。 dEdEr SdEh高斯面高斯面rhEEdSSdESdESdESdEse2侧面上底侧面下底02hrhE02rE E例例2. 无限长均匀带电圆柱面的电场。无限长均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为 rESd seSdESdESdESdE上底侧面下底 0iq0 Er RrlE200例例3：求无限长均匀带电圆柱体

10、的场强分布，已知求无限长均匀带电圆柱体的场强分布，已知圆柱体的半径为圆柱体的半径为R，单位长度的电量为，单位长度的电量为 。 ErESd seSdESdESdESdE上底侧面下底 22)/(rRlqi202RrEr RrlE200例例4. 如图所示的无限长均匀同心带电圆柱面，内如图所示的无限长均匀同心带电圆柱面，内外圆柱面的半径分别为外圆柱面的半径分别为R1和和R2，沿轴线方向单位，沿轴线方向单位长度的带电量分别为长度的带电量分别为 1和和 2，求区域，求区域I、II和和III的的场强分布。场强分布。IIIIIIR1R2 1 20IE1Rr rEII01221RrRrEIII02122Rr 第

11、三种情形：电场呈现面对称分布（镜像对称）第三种情形：电场呈现面对称分布（镜像对称）例例1. 均匀带电无限大平面的电场，已知电荷面密度为均匀带电无限大平面的电场，已知电荷面密度为 dEdEEE S高高斯斯面面SESES 02110SES 012 02 E 12SSSeSdESdESdESdE侧 EESS例例 两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为 ，计算场强分布。计算场强分布。0022EEEII E E E EE EIIIIII0EEEEIIII IIIIII0IIE00222EEEIIII A B例、例、 A、B为真空中两个无限大的带电平面，两平为真空

12、中两个无限大的带电平面，两平面间的电场强度大小为面间的电场强度大小为E0，两平面外侧的电场强，两平面外侧的电场强度大小为度大小为E0/3，则两平面上的电荷面密度为多少？，则两平面上的电荷面密度为多少？ABE0/3E0/3E000022EBA3/22000EBA例：EqF 如图如图 在真空中有在真空中有A、B两平行板，相对两平行板，相对距离为距离为d，板面积为，板面积为S，其带电量分别为，其带电量分别为q和和-q，试计算它们之间的相互作用力。，试计算它们之间的相互作用力。 AB+ - 02SqEFx例例2. 如图所示，一厚度为如图所示，一厚度为d均匀无限大带均匀无限大带电平板，电平板，已知其电荷

13、体密度为已知其电荷体密度为 ，求板内求板内外的场强分布外的场强分布。EEd xSSEExxdESES210021xSES21200 xE 12SSSeSdESdESdESdE侧 SSEExxOSdESES02110 dSES01202dE 12SSSeSdESdESdESdE侧 第三讲第三讲 电场力的功电场力的功 电势电势一电场力做功的特点：一电场力做功的特点： 我们首先来研究在点电荷我们首先来研究在点电荷q的电场中沿任意路的电场中沿任意路径移动试验点电荷径移动试验点电荷q0时，电场力做功的情况。时，电场力做功的情况。qq0abrdrr l dEq0bbrrFq0 adlEql dEql dF

14、dAcos00drdl cos所以所以EdrqdA0arqdrq0P PQ QbarrEdrqA0barrbaorrqqdrrqq)11(440020因此，在点电荷因此，在点电荷q的电场中移动试验点电荷的电场中移动试验点电荷q0时，时，电场力做功只与始末位置有关，与移动的路径电场力做功只与始末位置有关，与移动的路径无关。无关。我们可将此结论推广到多个电荷共同形成的电场中我们可将此结论推广到多个电荷共同形成的电场中banabl dEEEqA)(210 bababanl dEql dEql dEq02010iibiainrrqqAAA)11(40021仍然只与始末位置有关，与路径无关仍然只与始末位

15、置有关，与路径无关结论结论 试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所做试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功都只与始末位置有关，而与移动的路径无关。的功都只与始末位置有关，而与移动的路径无关。这说明：静电场力属于保守力，静电场是保守力场。这说明：静电场力属于保守力，静电场是保守力场。即沿任一闭和路径移动电荷一周电场力所作的功为零。即沿任一闭和路径移动电荷一周电场力所作的功为零。 acbadbl dEql dEq000二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理abcdq0沿闭合路径沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功一周电场力所作的功 acbbdal dEql dEql dEqA000

16、q0q0上式表明：在静电场中，电场强度的环流恒为零。上式表明：在静电场中，电场强度的环流恒为零。这个规律称为静电场的环流定律（环路定律）。这个规律称为静电场的环流定律（环路定律）。abcdaldEq00所以：所以：00 qabcdaldE0即：即：场强场强E沿闭合路径的积分我们称之为场强沿闭合路径的积分我们称之为场强E的环流。的环流。三、电势能：三、电势能： 既然静电场是保守力场，我们就可以引入与既然静电场是保守力场，我们就可以引入与该场相对应的势能，即认为处于静电场中的电荷该场相对应的势能，即认为处于静电场中的电荷具有势能，就好像是处于重力场中的物体具有重具有势能，就好像是处于重力场中的物体

17、具有重力势能一样，我们将此势能称为电势能，用力势能一样，我们将此势能称为电势能，用W表表示。与其它势能一样，电势能也属于电荷与电场示。与其它势能一样，电势能也属于电荷与电场共同所有。共同所有。 当电荷在电场中移动时，电场力做的功应等当电荷在电场中移动时，电场力做的功应等于电荷电势能增量的负值，即：于电荷电势能增量的负值，即：baabbaabWWWWl dEqA)(0与其它的形式的势能一样，电势能也是一个相对与其它的形式的势能一样，电势能也是一个相对量，只有选定一个电势能为零的参考点，才能确量，只有选定一个电势能为零的参考点，才能确定电荷在电场中其它位置的电势能的大小。通常定电荷在电场中其它位置

18、的电势能的大小。通常电势能的零点位置可以任意选取，如果我们选电电势能的零点位置可以任意选取，如果我们选电荷在荷在b点的电势能为零，即点的电势能为零，即Wb0，则电荷在，则电荷在a点点的电势能就可表示为：的电势能就可表示为：baabaldEqAW0也就是说，如果选取电场中某点也就是说，如果选取电场中某点P0为电势能零点，为电势能零点，则电场中其它任意一点的电势能为：则电场中其它任意一点的电势能为：00PaaldEqW当产生电场的电荷分布在有限大小的区域时，我们当产生电场的电荷分布在有限大小的区域时，我们通常可以选取无穷远处为电势能零点，则电荷通常可以选取无穷远处为电势能零点，则电荷q0在在a点的

19、电势能为：点的电势能为：aaldEqW0即：当取无穷远处的电势能为零时，电荷即：当取无穷远处的电势能为零时，电荷q0在电场在电场中任意一点中任意一点a的电势能在数值上等于将的电势能在数值上等于将q0从从a点移到点移到无穷远处时电场力所作的功。无穷远处时电场力所作的功。四、电势四、电势 电势差电势差q0q1q2q3q4.33221100qWqWqWqW发现电荷电势能与发现电荷电势能与电荷电量的比值与电荷电荷电量的比值与电荷本身无关，仅与电场的本身无关，仅与电场的性质和性质和P P点的位置有关，点的位置有关，四、电势四、电势 电势差电势差 我们发现比值我们发现比值w0/q0与电荷本身无关，仅与电与

20、电荷本身无关，仅与电场的性质和场的性质和P点的位置有关，因此，此比值与场强点的位置有关，因此，此比值与场强相似，也是一个描述电场性质的物理量，称为电相似，也是一个描述电场性质的物理量，称为电势，即：势，即： 电势是标量，单位为伏特，符号为电势是标量，单位为伏特，符号为V。它从能量的。它从能量的角度来描述电场的性质。角度来描述电场的性质。0qWUaa aaaaldEqldEqqWU000单位正电荷在该点单位正电荷在该点所具有的电势能所具有的电势能单位正电荷从该点移到无穷单位正电荷从该点移到无穷远处时电场力所作的功远处时电场力所作的功注意：此式是在取无穷远处的电势能为零的情况下导出注意：此式是在取

21、无穷远处的电势能为零的情况下导出的，因此，也必须取无穷远处的电势为零。当然，此时的，因此，也必须取无穷远处的电势为零。当然，此时产生电场的电荷也须局限在有限的区域内。产生电场的电荷也须局限在有限的区域内。 若取无穷远处的电势能为零，电场中任意点若取无穷远处的电势能为零，电场中任意点a的电势的电势可表示为可表示为 ：即电场中任意两点即电场中任意两点a、b的电势差等于将单位的电势差等于将单位正电荷从正电荷从a点移到点移到b时，电场力所做的功。时，电场力所做的功。abbaabl dEl dEUUU bal dE此时电场中任意两点此时电场中任意两点 的电势差（电压）可表示为：的电势差（电压）可表示为：

22、将电荷将电荷q从从ab电场力的功可表示为：电场力的功可表示为：abAbal dEq)(baUUq注意注意1、电势是相对量，电势零点的选择原则上可以是任、电势是相对量，电势零点的选择原则上可以是任意的。如果产生电场的电荷分布在有限的区域内，意的。如果产生电场的电荷分布在有限的区域内，我们通常选取无穷远处的电势为零；如果产生电场我们通常选取无穷远处的电势为零；如果产生电场的电荷不是分布在有限的区域，不能取无穷远处的的电荷不是分布在有限的区域，不能取无穷远处的电势为零。电势为零。2、两点间的电势差与电势零点选择无关。、两点间的电势差与电势零点选择无关。1 1、点电荷电场中的电势点电荷电场中的电势r

23、qP 0r如图如图 P点的场强为点的场强为 0204rrqE PrPrqdrrql dEU02044由电势定义得由电势定义得讨论讨论 对称性对称性大小大小以以q为球心的同一球面上的点电势相等为球心的同一球面上的点电势相等最小UrUrUq00最大UrUrUq00五、电势的计算五、电势的计算iirq04根据电场叠加原理场中任一点的场强为：根据电场叠加原理场中任一点的场强为：2、电势叠加原理、电势叠加原理若电场由若电场由q1 、q2 qn的点电荷系产生：的点电荷系产生：电势电势nE.EEE 21PPnl dEEEl dEU)(21niinUUUU121.即：空间某点的电势等于各点电荷在该点产生的电势

24、的代数和即：空间某点的电势等于各点电荷在该点产生的电势的代数和 PPnPl dE.l dEl dE211r 1q 2qnq 2rnrrdqdUU043、电荷连续分布带电体的电势、电荷连续分布带电体的电势由电势叠加原理由电势叠加原理dqP r电势叠加原理同样适用于由多个带电体组成的系统，电势叠加原理同样适用于由多个带电体组成的系统，即对于多个带电体组成的系统，空间任意一点的电势等于即对于多个带电体组成的系统，空间任意一点的电势等于每个带电体在该点产生的电势的代数和。对于由带电体和每个带电体在该点产生的电势的代数和。对于由带电体和点电荷组成的系统也是如此。点电荷组成的系统也是如此。P2U3U321

25、UUUUP1U123 根据已知的场强分布，按定义计算根据已知的场强分布，按定义计算 由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算下面来看几个例题下面来看几个例题PPldEU电势计算的两种电势计算的两种方法方法： ),(yxP r1r2r例例1 、求电偶极子电场中任一点求电偶极子电场中任一点P的电势的电势lOq q XY210122010214)(44rrrrqrqrqUUUP由叠加原理由叠加原理lr cos12lrr 221rrr 20cos4rlqU222yxr 22cosyxx 其中其中23220)(41yxpxU O例、如图所示，例、如图所示，已知边长为已

26、知边长为a的正方形顶点上的正方形顶点上有四个电量均为有四个电量均为q的点电荷，求：的点电荷，求：正方形中心正方形中心O O点的电势点的电势U Uo o。将试验电荷将试验电荷q q0 0从无穷远处移到正方形中从无穷远处移到正方形中心心O O点时，电场力所作的功。点时，电场力所作的功。qqqqa)2/2(440aqUO)2/2(44)(000aqqUUqAO课堂练习：如图所示，边长为课堂练习：如图所示，边长为a的等边三角形的等边三角形的三个顶点上分别放置三个正的点电荷，电的三个顶点上分别放置三个正的点电荷，电量分别为量分别为q、2q和和3q，若将另一个正点电荷，若将另一个正点电荷Q从无穷远处移到三

27、角形的中心从无穷远处移到三角形的中心O点处，电场力点处，电场力所作的为多少？所作的为多少？q2q3qO)3/3(460aqUO)3/3(46)(0aQqUUQAO例、如图所示，将一试验电荷例、如图所示，将一试验电荷q在点电荷在点电荷Q产生的产生的电场中从电场中从a点沿着半径为点沿着半径为R的的3/4圆弧轨道移动到圆弧轨道移动到b点点的过程中电场力所作的功为的过程中电场力所作的功为_；从；从b点移点移到无穷远处电场力所作的功为到无穷远处电场力所作的功为_。 QqabR 0)(baabUUqAbaUU RQqUUqAbab04)(例、如图所示，在点电荷例、如图所示，在点电荷q的电场中，若取图中的电

28、场中，若取图中的的N点处为电势零点，则点处为电势零点，则M点的电势为多少？点的电势为多少？qNMaaaqaqUUNM00424令令UN=0, 即可得到即可得到UM。x例例2 求一均匀带电圆环轴线上任一点求一均匀带电圆环轴线上任一点 P处的电势。处的电势。已知：已知： q 、R 、 x。yzxpRdqrx22022044)2/(xRqxRdlRqUp例、如图所示，一半径为例、如图所示，一半径为R的均匀带电圆环，的均匀带电圆环，带电量为带电量为Q，水平放置，在圆环轴线上方离圆，水平放置，在圆环轴线上方离圆心为心为R处，有一质量为处，有一质量为m、带电量为、带电量为q的小球，的小球，当小球由静止下落

29、到圆环的圆心位置当小球由静止下落到圆环的圆心位置O时，它时，它的速度为多少？的速度为多少？RQOqmR0214420220mRqRRqqmgRx例例3 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势。求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势。 已知：已知：q、 R、 x 求：求：UpRrPdrxRpxrrdrU022042 求均匀带电半圆环圆心求均匀带电半圆环圆心O O处的电势，已知处的电势，已知 半圆环的半圆环的半径为半径为R 、电荷的线密度为、电荷的线密度为 。课堂练习：课堂练习：RdRO004RRdUOO课堂练习课堂练习求均匀带电细杆延长线上一点求均匀带电细杆延长线上一点P P的电势。已知的电势。已知 q ,

30、L,aaPLXxdxLPxaLdxLqU00)(4)/(课堂练习课堂练习求均匀带电细杆中垂线上一点求均匀带电细杆中垂线上一点P P的电势。已知细杆的的电势。已知细杆的的电量为的电量为q ,长度为长度为L, P点与细杆的距离为点与细杆的距离为a。aPLXOxdx2/2/2/1220)(4)/(LLPaxdxLqUx q-qyPQBC如图所示，取无穷远处的电势为零，求、两点的电势。如图所示，取无穷远处的电势为零，求、两点的电势。LPxLdxLqU00)2(4)/(LPxLdxLqU00)3(4)/(PPPUUU0QQQUUURq例例. 求均匀带电球面电场中的空间电势分布。求均匀带电球面电场中的空间

31、电势分布。已知已知R、 q0+ErrR204rqERr rRRrEdrEdrEdrURRRqdrrqEdr02044Rr rqdrrqEdrUrr02044rRqrR204rqERr rRRrEdrEdrEdrURRrdrrqdrRqr203044Rr rqdrrqEdrUrr02044课堂练习课堂练习： 如图所示的均匀同心带电球面，两球面如图所示的均匀同心带电球面，两球面的半径分别为的半径分别为R1和和R2，所带电量分别为，所带电量分别为q1和和q2，求，求区域区域I、II和和III的电势分布和两球面间的电势差。的电势分布和两球面间的电势差。R1R2q1q2IIIIII20210144RqR

32、qUI2020144RqrqUIIrqqUIII0214q1R1R2q2IIIIII课堂练习：如图所示求区域、和的电势分布课堂练习：如图所示求区域、和的电势分布例例 两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为为 ，距离为，距离为d，计算两带电平面间的电势差计算两带电平面间的电势差 E E E E E EIIIIIIdEdU0- + 2axUa-aO求两平面之间的区域的电势分布。（取点的电势为零）求两平面之间的区域的电势分布。（取点的电势为零）xPxUUPO0令令Uo=0 xUP0 例、如图所示，一无限长直均匀带电线，单位长例、如图所示，一无限长直均匀带电线，

33、单位长度的电量为度的电量为 ，求其电场的空间电势分布。，求其电场的空间电势分布。rQP1mdrrEdrUrrQ02不收敛！不收敛！rrdrrEdrUUrrrrQPln2ln22000令令UP=0rrUQln2ln2001 rrUQln20E例例. 求无限长均匀带电圆柱面的空间电势分布求无限长均匀带电圆柱面的空间电势分布 沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为 drrEdrEdrEdrUrRRRrQ02Rr 不收敛！不收敛！RrdrrEdrEdrEdrUUrrrRrRRrPQln2ln22000令令UP=0RrUQln2ln2001 rRUQln20课堂练习：课堂练习： 如图所示的

34、无限长均匀同心带电圆柱如图所示的无限长均匀同心带电圆柱面，内外圆柱面的半径分别为面，内外圆柱面的半径分别为R1和和R2，沿轴线方，沿轴线方向单位长度的带电量分别为向单位长度的带电量分别为 和和- ，求两圆柱面间，求两圆柱面间的电势差的电势差。IIIIIIR1R2 - 1200ln2221212121RRdrrdrEl dEURRRRRRRR六六 场强与电势的关系场强与电势的关系一、一、 等势面等势面等势面等势面 ： 电场中电势相等的点所构成的曲面。电场中电势相等的点所构成的曲面。下面我们来看几种典型的等势面。下面我们来看几种典型的等势面。+正点电荷的等势面正点电荷的等势面-负点电荷的等势面负点

35、电荷的等势面+电偶极子的等势面电偶极子的等势面 等势面的性质等势面的性质等势面与电力线处处正交，等势面与电力线处处正交， 电力线指向电势降落电力线指向电势降落的方向，即沿着场强的方向电势降落。因此，在等的方向，即沿着场强的方向电势降落。因此，在等势面上移动电荷时，电场力不作功，电荷的电势能势面上移动电荷时，电场力不作功，电荷的电势能不变。不变。（2）规定：电场中任意两相邻等势面间的电势差）规定：电场中任意两相邻等势面间的电势差必须相等，由于场强大的地方产生相同的电势差所必须相等，由于场强大的地方产生相同的电势差所需的距离小，而场强小的地方产生相同的电势差所需的距离小，而场强小的地方产生相同的电

36、势差所需的距离大，这样就会形成场强大的地方等势面密需的距离大，这样就会形成场强大的地方等势面密集，而场强小的地方等势面稀疏。集，而场强小的地方等势面稀疏。二、场强与电势梯度的关系二、场强与电势梯度的关系qdUdUUUqldEq)(dUldE现在我们将一正电荷现在我们将一正电荷q从从 a到到 b，由于两等势面靠的由于两等势面靠的很近，因此，可近似认为从很近，因此，可近似认为从a到到b的过程中，场强不的过程中，场强不变，这样电场力所作的功变，这样电场力所作的功:Eabl dn UdUUlE如图所示，在电场取两个靠的如图所示，在电场取两个靠的很近的等势面，电势分别为很近的等势面，电势分别为U和和U+

37、dU，场强方向和等势面的，场强方向和等势面的法线方向如图所示。法线方向如图所示。即：即：qq因：因：)()(kdzjdyidxkEjEiEl dEzyxdzEdyEdxEzyxdzzUdyyUdxxUdU又因电势是空间坐标的函数，因此，对电势的微分又因电势是空间坐标的函数，因此，对电势的微分可表示为：可表示为：dUl dE将上述两式代入：将上述两式代入：可得：可得：dzEdyEdxEdzzUdyyUdxxUzyx)(由于由于dx、dy、dz为任意，故两边它们的系数应分为任意，故两边它们的系数应分别相等，即：别相等，即：xUExyUEyzUEz这样，场强这样，场强E就可表示为：就可表示为：)(k

38、zUjyUixUEEabl dn UdUUn从图中可以看出，在两等势面之间从图中可以看出，在两等势面之间，由，由a点出发沿不同的方向电势变化点出发沿不同的方向电势变化率显然不同。其中沿着与等势面正率显然不同。其中沿着与等势面正交的方向交的方向 ，电势的变化率最大，电势的变化率最大，即沿着此方向电势变化得最快。我即沿着此方向电势变化得最快。我们通常就将沿着与等势面正交且指们通常就将沿着与等势面正交且指向电势升高的方向的电势变化率定向电势升高的方向的电势变化率定义为电势梯度，即沿着电势变化最义为电势梯度，即沿着电势变化最快的方向的电势变化率。快的方向的电势变化率。dnUndndUgradU“梯度梯

39、度”是指一个物理量的空是指一个物理量的空间变化率，电势梯度当然就间变化率，电势梯度当然就是指电势的空间变化率。是指电势的空间变化率。注意：电势梯度是矢量。注意：电势梯度是矢量。kzUjyUixUU)(kzUjyUixU在数学上，我们将在数学上，我们将称为电势称为电势U的梯度，用的梯度，用gradU或或 U表示，即：表示，即：kzUjyUixUUgradU这样就有：这样就有：UgradUkzUjyUixUE)(即电场任意一点的场强等于该点电势梯度的负值。即电场任意一点的场强等于该点电势梯度的负值。总结：总结：物理意义：电势梯度是一个物理意义：电势梯度是一个矢量矢量，它的，它的大小大小为电为电势沿

40、等势面法线方向的变化率，它的势沿等势面法线方向的变化率，它的方向方向沿等势沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。面法线方向且指向电势增大的方向。 电场中任意一点的电场强度等于该点电势梯电场中任意一点的电场强度等于该点电势梯度的负值。度的负值。Rdq例例1利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。细圆环轴线上一点的场强。yzxxpr22022044)2/(xRqxRdlRqUpxUExyUEyzUEz2/3220)(4xRqxxUEx例题、利用场强与电势梯度的关系，计算均匀例题、利用场强与电势梯度的关系，计算均匀带电圆盘中心轴线上的场强

41、。带电圆盘中心轴线上的场强。xPxoRrdr2422200220 xxRxrrdrURpxUEx1 2220 xRxxUEx例例3、在、在XY平面上，各点的电势满足平面上，各点的电势满足下面的式子：下面的式子：2/12222)(yxbyxaxU式中的式中的x、y为任一点的坐标，为任一点的坐标，a、b为为常数。求任一点电场强度的常数。求任一点电场强度的Ex和和Ey分量。分量。xUExyUEyzUEz2/322222222)()(2yxbxyxaxyxaxUEx2/322222)()(2yxbyyxaxyyUEy课堂练习课堂练习 利用场强与电势梯度的关系求均匀带电细杆中垂线利用场强与电势梯度的关系

42、求均匀带电细杆中垂线上上P P点的电场强度。已知细杆的的电量为点的电场强度。已知细杆的的电量为q ,长度为长度为L。yPLXOxdxyyLyLqyxdxLqULLP4/2/ln2)(4)/(2202/2/2/1220yUEy第四讲第四讲 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质一、导体的静电平衡一、导体的静电平衡: 在金属导体中，由带正电的离子规则排在金属导体中，由带正电的离子规则排列形成晶体点阵，大量的电子可以在点阵中列形成晶体点阵，大量的电子可以在点阵中自由的运动，因此，这些电子被称为自由电自由的运动，因此，这些电子被称为自由电子。当导体不带电，不受外电场作用时，金子。当导体不带电，不

43、受外电场作用时，金属导体中的电子做无规则的热运动，没有宏属导体中的电子做无规则的热运动，没有宏观的定向运动，导体内正、负电荷分布均匀，观的定向运动，导体内正、负电荷分布均匀，因此，整个导体呈现出电中性。因此，整个导体呈现出电中性。无外电场时无外电场时导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外体的静电感应过程体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导导导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感

44、应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程+加上外电场后加上外电场后E外外+导体的静电感应过程导体的静电感应过程+加上外电场后加上外电场后E外外+导体达到静电平衡导体达到静电平衡E外外E感感0 感外内EEE感应电荷感应电荷感应电荷感应电荷E=0E=0静电平衡状态是指导体内部和表

45、面都没有电静电平衡状态是指导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态。荷定向移动的状态。导体处于静电平衡的条件是：导体处于静电平衡的条件是： （1 1）导体内部电场强度处处为零。）导体内部电场强度处处为零。 导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。 E=0E=0处于静电平衡导体具有以下性质：处于静电平衡导体具有以下性质：（1 1）这个导体是一个等势体，表面是等势面。）这个导体是一个等势体，表面是等势面。（2 2）导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净）导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体表面。电荷只分布在导体表面。高斯面高斯面F F000cos S

46、SESdE 0 E表面附近作圆柱形高斯面表面附近作圆柱形高斯面3、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面垂直、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面垂直，大小与该处导体表面电荷面密度，大小与该处导体表面电荷面密度 e成正比。成正比。E S (4) 导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。 对于静电场中的孤立导体，导体表面的电荷面对于静电场中的孤立导体，导体表面的电荷面密度的大小与该处密度的大小与该处表面的曲率表面的曲率有关。有关。电荷面密度大电荷面密度大电荷面密度较小电荷

47、面密度较小电荷面密度最小电荷面密度最小曲率较大，表面曲率较大，表面尖而凸出部分尖而凸出部分，电荷面密度较大，电荷面密度较大曲率较小，表面曲率较小，表面比较平坦部分比较平坦部分，电荷面密度较小，电荷面密度较小曲率为负，表面曲率为负，表面凹进去的部分凹进去的部分，电荷面密度最小，电荷面密度最小尖端放电尖端放电 尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离而使空气被击穿，导致而使空气被击穿，导致“尖端放电尖端放电”。形成形成“电风电风”二、导体壳和静电屏蔽二、导体壳和静电屏蔽1 1、空腔内无带电体的情况：、空腔内无带电体的情况：处于静电平衡的条件是：处于静电平衡的条件

48、是：（1 1）导体内部电场强度处处为零。）导体内部电场强度处处为零。导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。（2）导体空腔（包括空心部分）为一个等势体，外）导体空腔（包括空心部分）为一个等势体，外表面为一等势面。表面为一等势面。达到静电平衡时同样具有下面的性质：达到静电平衡时同样具有下面的性质：（1）空腔腔体以及内表面均没有净电荷，电荷分布）空腔腔体以及内表面均没有净电荷，电荷分布在空腔的外表面。导体空腔外表面的在空腔的外表面。导体空腔外表面的电荷面密度的电荷面密度的大小与该处大小与该处表面的曲率表面的曲率有关。有关。 腔体内的带电体将在空腔内外表面感应出等

49、量异号腔体内的带电体将在空腔内外表面感应出等量异号的电荷。的电荷。2、空腔内有带电体、空腔内有带电体q 3、静电屏蔽、静电屏蔽（1）封闭导体壳（不论接地与否）内部不受）封闭导体壳（不论接地与否）内部不受外电场的影响；外电场的影响；E(外电场）外电场）被保护设备被保护设备E （2）接地封闭导体壳（或金属丝网）外部不受壳）接地封闭导体壳（或金属丝网）外部不受壳内带电体的影响。内带电体的影响。被被保保护护设设备备例、有一块大金属平板，面积为，带电量为，例、有一块大金属平板，面积为，带电量为，今在其近旁平行放置第二块大金属平板，此板原来今在其近旁平行放置第二块大金属平板，此板原来不带电。求（）静电平衡

50、后，金属板上的电荷分不带电。求（）静电平衡后，金属板上的电荷分布和周围空间的电场分布；（）如果将第二块金布和周围空间的电场分布；（）如果将第二块金属板接地，最后情况如何？（忽略金属板的边缘效属板接地，最后情况如何？（忽略金属板的边缘效应）应） 1 2 3 4EIEIIEIIIIIIIIISS 2 3 1 4 1 2 3 4E1E2E3E4PSQ221 1 2 3 4SQ23SQ24 1 2 3 4 1 2 3 401SQ2SQ304 例例.已知：导体板已知：导体板A，面积为，面积为S、带电量、带电量QA，在其旁边，在其旁边 放入导体板放入导体板B，面积也为，面积也为S、带电量为、带电量为QB。

51、求：求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布上的电荷分布及空间的电场分布(2)将将B B板接地，求电荷分布板接地，求电荷分布AB1 3 2 4 AB1 2 3 4 a点点b点点1Ea2E3E4E0222204030201 b1E2E3E4E0222204030201 AQSS21BQSS43A板板B板板SS 2 3 1 4SQQBA241SQQBA232AB1 3 2 4 解方程得解方程得:电荷分布电荷分布场强分布场强分布两板之间两板之间板左侧板左侧A板右侧板右侧BEEESQQEBA0012SQQEBA003022SQQEBA02 AB1 2 3 1 3 2 AB(2)将将B板接地，求电荷

52、及场强分布板接地，求电荷及场强分布1Ea2E3Eb1E2E3EA板板AQSS2104 接地时接地时电荷分布电荷分布01 SQA320222030201 a点点0222030201 b点点 场场强强分分布布1 3 2 ABSQEA00 E01 SQA32电荷分布电荷分布两板之间两板之间两板之外两板之外E例、一金属球例、一金属球A，半径为，半径为R1，它的外面套有一个同心的金属球壳，它的外面套有一个同心的金属球壳B，内外，内外半径为分别为半径为分别为R2、R3。二者带电后的电势分别为。二者带电后的电势分别为UA和和UB，求此系统的电，求此系统的电荷以及电场分布。如果用导线将金属球体荷以及电场分布。

53、如果用导线将金属球体A与球壳与球壳B连接起来，结果又如连接起来，结果又如何？何？R1q1R2R3q2q3UAUBR1q1R2R3q2q3UAUB例、如图所示，在一个接地的导体球附近有例、如图所示，在一个接地的导体球附近有一个电量为一个电量为q的点电荷，已知球的半径为的点电荷，已知球的半径为R，点电荷到球心的距离为点电荷到球心的距离为L，求导体表面的感，求导体表面的感应电荷的总电量。应电荷的总电量。LqROAB例例2.已知已知R1 R2 R3 q Qq Oq1R2R3RQq 求求 场强分布和场强分布和A A、B B的电势的电势 如用导线连接如用导线连接A、B，再作计算，再作计算解解:由高斯定理得

54、由高斯定理得电荷分布电荷分布qq Qq 场场强强分分布布204rqQ 204rq E01Rr 32RrR 21RrR 3Rr A A球的电势球的电势 AOBqq 1R2R3RQq 场场强强分分布布204rqQ E0204rq 1Rr 32RrR 21RrR 3Rr 121323RRRRRRAEdrEdrEdrrdEu3021041114RQq)RR(q 球壳外表面带电球壳外表面带电用导线连接用导线连接A、B，再作计算，再作计算AO1R2R3RQq Bqq 3Rr 333004RRoRqQEdrEdru 3Rr 204rqQE rrQqEdru04 Qq 0 E连接连接A、B，中和中和q)q(

55、qq 例题、一个半径为例题、一个半径为R1的金属球的金属球A带电带电q，在它外面有一个同心金属球壳在它外面有一个同心金属球壳B，内外半，内外半径分别为径分别为R2和和R3，球壳带电，球壳带电Q，如图所，如图所示，示，（1）若将球壳）若将球壳B通过导线与地面相连，通过导线与地面相连，然后再断开，求球壳然后再断开，求球壳B上的电荷分布和电上的电荷分布和电势、球体势、球体A的电势以及的电势以及P点的电势；点的电势；（2）再使球壳）再使球壳A通过导线接地，求通过导线接地，求A、B上的电荷分布和电势。上的电荷分布和电势。qqqQr1R2R3R04443000RQrqrqUBPqqqQr1R2R3R044

56、4302010RqqRqRqUAR2例例3.半径分别为半径分别为R1 、R2 的两个同心导体球壳，互相绝的两个同心导体球壳，互相绝缘，现将缘，现将q的电量给予内球。的电量给予内球。 （1）求外球的电势；）求外球的电势； （2）外球接地后再重新绝缘，）外球接地后再重新绝缘，求外球的电量和电势。（求外球的电量和电势。（3）再将内球接地，求内球的）再将内球接地，求内球的电量和外球的电势。电量和外球的电势。R1O+q四、电介质的极化：四、电介质的极化： 电介质：通常是指不导电的绝缘介质（电阻率电介质：通常是指不导电的绝缘介质（电阻率超过超过108 .m的的物质）物质）。电介质内基本没有自由。电介质内基

57、本没有自由电荷，但是，电介质内部的正、负电荷仍可在外电电荷，但是，电介质内部的正、负电荷仍可在外电场的作用下作微观的相对移动，从而使电介质内部场的作用下作微观的相对移动，从而使电介质内部或者表面出现带电现象。或者表面出现带电现象。 电介质的极化：在外电场的作用下，电介质出电介质的极化：在外电场的作用下，电介质出现带电的现象称为电介质的极化。极化所出现的电现带电的现象称为电介质的极化。极化所出现的电荷称为极化电荷。荷称为极化电荷。 ep有极分子：分子正负电荷中心不重合。有极分子：分子正负电荷中心不重合。无极分子：分子正负电荷中心重合；无极分子：分子正负电荷中心重合；电介质电介质CH+H+H+H+

58、正负电荷正负电荷中心重合中心重合甲烷分子甲烷分子4CH+正电荷中心正电荷中心负电荷负电荷中心中心H+HO水分子水分子OH2分子电偶极矩分子电偶极矩ep0 ep五、电介质的极化机制五、电介质的极化机制f 1. 无极分子的无极分子的位移极化位移极化0 epe无外电场时无外电场时ep fl外外E加上外电场后加上外电场后0ep+外外E极化电荷极化电荷极化电荷极化电荷f外外EpMe 2. 有极分子的转向极化有极分子的转向极化f+外外E+无外电场时无外电场时电矩取向不同电矩取向不同两端面出现两端面出现极化电荷层极化电荷层转向转向外电场外电场ep外外Eep加上外场加上外场电介质对电容器中电场的影响电介质对电

59、容器中电场的影响电介质电介质: : 绝缘体绝缘体( (放在电场中的放在电场中的) )电介质电介质电场电场 r实验实验rUU0rEE0 r 电介质的相对电容率（相对介电常数）电介质的相对电容率（相对介电常数）0UU结论结论: : 介质充满电容器时介质充满电容器时, ,电势差减小！电势差减小！+ +Q- -Q+-0CCr介质中电场减弱介质中电场减弱1r+ + + + + + + + + + +r- - - - - - - - - - -四四 极化强度极化强度VpP SlSlVpP lS：极化电荷面密度：极化电荷面密度 p：分子电偶极矩分子电偶极矩：电极化强度电极化强度PP - - - - - +

60、+ + + + V 无电介质时无电介质时000E 加入电介质后加入电介质后0ErEE001rr0000EEE r+-+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -00适用于各向同性的均匀适用于各向同性的均匀电介质充满整个电场空电介质充满整个电场空间，或未充满整个电场间，或未充满整个电场空间但电介质表面是等空间但电介质表面是等势面的情形。势面的情形。+q0+q0-qr高斯面高斯面S四四. .有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移矢量电位移矢量 无电介质时无电介质时SSES0001d 加入电介质后加入电介质后SSES)(1d00 r+-+- - - -