2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)

1、2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1 .如果复数；U （a R, i为虚数单位）的实部与虚部相等，则 a的值为（A . 1B . -1C. 3D . -3【答案】D【解析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解【详解】1 ai 1 ai 2 i 2 a 1 2a i2 i 2 i 2 i5'2 a 12a 由题意知：，解得a 3.55故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题 2 .若 A 0,1,2, B x|x 2a,a A,则 aU B（）A. 0,1,2B. 0,1,2,3C. 0,1,2,4D. 1

2、,2,4【答案】C【解析】先求出集合B ,再求并集即可.【详解】a由 A 0,1,2 ,得 B x|x 2 ,a A 1,2,4 .A B 0,1,2,4 .故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题II3 .向量a （2,t）, b （ 1,3）,若a, b的夹角为钝角，则t的范围是（）,2,2, 2 一A.t-B.tC. t 且 t 6 D . t 6333【答案】C【解析】若a, b的夹角为钝角，则a，b 0且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若a, b的夹角为钝角，则 则 0且不反向共线，a.b2 3t 0,得 t 2.向量a 2,t , b 1,3

3、共线时，2 3 t,得t 6.此时a ,2所以t 且t 6.3故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0,容易忽视反向共线时，属于易错题.4 .掷铁饼者 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦 的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 %米，肩宽约为 公米，“弓”所在圆的半径约为1.25米,你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）（参考数据：J2 1.414, J3 1.732 ）B. 1.768米D. 2.945米A. 1.012 米C. 2.043米【答案】B【解析】

4、由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间 距离即是这段弧所对弦长【详解】由题：“弓”所在弧长l 5,其所对圆心角 -8-,4 488524两手之间距离d 2 1.25 1.768.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目， 提取有效信息.5 .有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60 种B. 70 种C. 75 种D. 150 种【答案】C【解析】试题分析：因二15M5=.5,故应选C.【考点】排列数组合数公式及运用.6.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸

5、，可得这个几何体的表面积是()A. 16 72B . 12 272 2而 C. 18 272D. 16 2亚【答案】B【解析】如图所示，还原几何体，证明 CD CP，计算表面积得到答案.【详解】还原几何体，如图所示：连接 AC简单计算得到ACCD4,故 ACCD,PA平面ABCD ,故PA CD.故 CDPC2、S-，1表面积为：S -22'2 1 2'2 2312 2 .2 2,6故选：B本题考查了三视图，表面积的计算，还原几何体是解题的关键卜列函数中，最小正周期为,且图象关于直线一对称的函数是(3A.2sin2xb. y2sinC.2sind. y2sin2x【解析】首先选

6、项c中函数yx2sin 的周期为2 34,，故排除C,将X 一,代入 A,B,D3求得函数值，而函数y Asin(B在对称轴处取最值，即可求出结果._ x先选项C中函数y 2sin 2一的周期为T 34八，故排除C,将x 一,代入3B在对称轴处取最值.A,B,D求得函数值为0,2, J3,而函数y Asin( x故选：B .【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性，难度较易.8.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之植，日取其半，万世不竭”其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺）处可分别

7、填入的是（A. i 20i 2iB. i 20, SC. i 20D. i 20, SS 1 iS22i【解析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可，一会 1 1根据题意可知，第一天 S 一,所以满足S2由框图可知，计算第二十天的剩余时,Sc c 1 一金,不满足S S 7 ,故排除ABS,且i 21,所以循环条件应该是i 220.故选D.本题考查了程序框图的实际应用问题,把握好循环体与循环条件是解决此题的关键,于中档题.9.已知是第二象限角，且sin（3一,则tan2的值为（）523B . 一7C.247249tan根据诱导公式得sin ,进而由同角三角函数的关系及角

8、所在象限得利用正切的二倍角公式可得解【详解】由sin因为是第二象限角，所以costansincostan22tan1 tan23n1624故选C.本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题10 .己知函数f xxln xkx 1在区间1一，e e上恰有一个零点，则实数k的取值范围是（A. k|k1B.k|11 .一或k e e1C. k|11D.k|11【解析】构造函数ln x1一,利用导数得出其单调性，将零点问题，转化为函 x数的交点问题,即可得出答案解：令xlnxkxln x1 ln x 一 ；x 12-x1,1 时, ex <0,单调递减；当x1,e 时，gl

9、x >0调递增;1时，有g1在一，e上只有一个零点， eg x k只有一个解；，k 1或1 - k e 1. e【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数范围，属于中档题11 .在 ABC中，AB AC J3,且 ABC所在平面内存在一点 P使得PB2 PC2 3PA2 3,则 ABC面积的最大值为（）A 2后B 5后C 叵D 3底A, B,C三点的坐标，利用a的范围，再由三角形的面【答案】B【解析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出 两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出积公式以及二次函数的性质，即可得出ABC面积的最大值BC的中点为坐标原点,BC所在直线为

10、x轴，建立直角坐标系B a,0 , C a,0a 0 ,则 A 0,，3a2P x,yPB2PC2 3PA2 2y 3 a2即 x2y2 2a21即点P既在0,0为圆心,3a2为半径的圆上，又在为圆心，1为半3 a232,一、22 a ,由两边平方化简可得a22316则 ABC的面积为S由a2232一,可得a162316S取得最大值，且为5、2316故选:B.【点睛】本题主要考查了两点间距离公式的应用以及由圆与圆的位置关系求参数范围，属于中档题.二、填空题12 .已知抛物线x2 4y焦点为F ,经过F的直线交抛物线于 A(xi, y1), B(x2,y2),点A, B在抛物线准线上白射影分别为

11、A, Bi,以下四个结论： X1X24,AB yi y2 1 , AiFBi ,AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为 22.其中正确的个数为()A. 1B . 2C. 3D . 4【解析】设直线 AB为y kx 1与抛物线联立，由韦达定理可判断，由抛物线定义可判断，由fA fb0可判断，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断物线x2 4y焦点为F(0,1),易知直线 AB的斜率存在,设直线AB为y kx 1.y kx 12由 2, ，得 x 4kx 4 0.x 4y则 x x2 4k,x1x24 ,正确;|AB|AF| |BF|yi i y2 i yiFA(xi, 2),FB (x2, 2),

12、 FAFBy2 2,不正确;x1x2 4 0, TaFB , AFBi ",正确；AB的中点到抛物线的准线的距离d 1(|AAd| BB1 |)1(y1y2 2) -(kx11 kx21 2) 1(4k24) 2 .2222当k 0时取得最小值2.正确.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想， 转化与化归的能力，属于中档题.13 . (x + y)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为. 【答案】405【解析】先求出(2x y)5的展开式的通项，再求出 丁4,丁3即得解.【详解】r_ r 5 r rr 5r_r 5r r设(2x y)5的展开式的通

13、项为Tr 1 C5(2x) ( y) ( 1) 2 Csx y ,令 r=3,则 T44C53x2y3= 40x2y3,令 r=2,则 T3 8C；x3y2=80x3y2,所以展开式中含 x3y3的项为x ( 40x2y3) y (80x3y2) 40x3y3.所以x3y3的系数为40.故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14 .在锐角三角形 ABC中，a , b, c分别为角A、B、C所对的边，且J3a 2csin A , c J7,且 ABC的面积为基，a b的值为.【答案】5【解析】由正弦定理边化角可得C 一,由面积公式和余弦

14、定理列方程可得a b.由,3a2csinA,结合正弦定理可得0, sin C,3 sin A 2sin CsinA, s sin A在锐角三角形ABC中，可得C所以 ABC的面积S 1absinC 逆ab 3/3 ,解得ab 6. 242由余弦定理可得 c2 a2 b2 2abcosC (a b)2 3ab (a b)2 18 7,解得a b 5.故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力， 属于基础题.15 .如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上 .(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次

15、移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f (n),则f(n) .【答案】2 n-1;【解析】【详解】设h (n)是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数n=1 时，h (1) =1 ;n=2时，小盘一 2柱，大盘一 3柱，小柱从2柱一 3柱，完成，即 h (2) =3=2 2-1 ; n=3时，小盘一 3柱，中盘一 2柱，小柱从3柱一 2柱，用h (2)种方法把中、小两 盘移到2柱，大盘3柱；再用h (2)种方法把中、小两盘从 2柱3柱，完成, h (3) =h (2) X h (2) +1=3 X2+1=7=2

16、3-1 ,h (4) =h (3) X h (3) +1=7 X 2+1=15=2 4-1 ,以此类推,h (n) =h (n-1 ) x h (n-1 ) +1=2 n-1 ,故答案为：2 n -1 .16 . 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是A(0,0, J5),b（73,0,0）, c（o,i,0）, d（J3,i,J5）,则该四面体的外接球的体积为 -9【答案】 一2【解析】将四面体补充为长宽高分别为J3,1, J5的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为 J3,

17、1,J5,长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长349方体的体对角线 73 1 5 3 ,所以球半径为-,体积为4 r3 .232【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题117 .设数列 an 满足 an1 -an 2,ai 43（1）求证:数列an 3是等比数列；（2）求数列an的前n项和Tn .n丁 c 3/1【答案】证明见解析;(2) Tn3n - 123an 1 3 1 一【解析】（1）计算得到r o，得到证明an 33n 11，_, t _（2）计算an31,利用分组求和法计算得到答案3(1) a

18、n 12,a1一 ，1故an 3是首项为1,公比为一的等比数列3n 1n 1-1,_1(2) an3- 故 an333一1故 Tn 3n （3【点睛】III3n本题考查了等比数列的证明,3n分组求和法，意在考查学生对于数列方法,公式的综合应用.18 .某市对全市高二学生的期末数学测试成绩统计显示，全市 10000名学生的数学成2绩服从正态分布 N 100,15 .现从甲校高二年级数学成绩在100分以上（含100分）的共200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷进行分析（试卷编号为001 ,002 ,，200 ）,成绩统计如下：试卷编Pn11%现n7n8n9n10试卷得分1091181121

19、14126128127124126120试卷编Pn11皿ni3n14n15n16ni7n18n19n20试卷得分135138135137135139142144148150注：表中试卷编n11 029 靠山1。.（1）写出表中试卷得分为144分的试卷编号（写出具体数据即可）；（2）该市又用系统抽样的方法从乙校中抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图，在这40份试卷中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取 3人，这3人中数学成绩在全市排名前15名的人数记为 X ,求随机变量X的分布列和期望附：若X、N , 2 ,则PXP 2 X 295.5%, P68

20、.3%,3 X 399.7%【答案】(1) 180 ; (2)详见解析.【解析】(1)根据等距抽样的定义直接得到答案；(2)根据正态分布得到全市排名前15名的成绩全部在146分以上，(含146分)，根据茎叶图，得出的取值及其相应概率，即可得出随机变量X的分布列和期望.(1)因为200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷，所以相邻两份试卷编号相差为1 ,所以试卷得分为144分的试卷编号180.15(2) : 0.0015 ,根据正态分布可知：P 74 X 14699.7%,100001 99.7% . P X 146 0.0015 ,即全市排名前15名的成绩全部在146分以上,2(

21、含146分)根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上含146分的有3人，而成绩在140分以上含140分的有8人,的取值为0, 1, 2, 3区C；28，C； C315C328c5 C21556'C； C32156因此E【点睛】2815152 -285613 -56的分布列为0123P52815281556156本题主要考查了系统抽样，正态分布，分布列以及期望，属于中档题 19 .如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为2的正方形，侧面 PAB 底面ABCD, E为PC上的点，且 BE 平面APC(1)求证：平面 PAD 平面PBC ;(2)当三棱锥P ABC体积最大时，求

22、二面角 B AC P的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) Y3.3【解析】(1)通过侧面PAB 底面ABCD,可以证明出BC，面PAB,这样可以证 明出AP BC,再利用BE 平面APC ,可以证明出 AP BE ,这样利用线面垂直的判定定理可以证明出 AP 面PBC,最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面(2)利用三棱锥体积公式可得1 1VP ABCVC APB 二二 PA3 2PAD 平面 PBC ;- 1PB BC PA PB,3利用基本不等式可以求出三棱锥P ABC体积最大值，此时可以求出 PA, PB的长度，以点O为坐标原点，以OPOB和OF分别作为X轴，y轴和z轴，建立空间直角

23、坐标系O xyz .求出相应点的坐标，求出面PAC的一个法向量，面ABC的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角B AC P的余弦值.【详解】(1)证明：.侧面PAB 底面ABCD ,侧面PAB 底面ABCD AB ,四边形ABCD为正方形，BC AB, 口面ABCD, BC，面 PAB ,又AP 面PAB ,AP BC,BE 平面 APC , AP 面 PAC ,AP BE ,BCBE B, BC,BE 平面 PBC ,AP 面 PBC ,AP 面 PAD，平面PAD 平面PBC .1 1(2) VP ABC VC APB PA PB BC3 2令PAx, PBy,由(1)

24、知，pa pb,1PA PB, 3PB的最大值.求三棱锥P ABC体积的最大值，只需求 PA2二 x而 VP ABC13xy当且仅当xPB衣时,VP ABC的最大值为一.3如图所示，分别取线段 AB , CD中点O , F ,DB以点O为坐标原点，以 OP , OB和OF分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐由已知 A(0, 1,0), C(0,1,2),P(1,0,0),所以 AP (1,1,0), a，(0,2,2),令n (x, y, z)为面PAC的一个法向量,x y 0则有，2y 2z 0(1, 1,1)易知m (1,0,0)为面ABC的一个法向量,面角B AC P的平面角为，为锐

25、角【点睛】基本不等式的应用，以及利用空本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、间向量的数量积求二面角余弦值的问题.20 .已知点A, B的坐标分别为2,0 , 2,0 ,三角形ABM的两条边AM，BM所在直线的斜率之积是3.4(I)求点M的轨迹方程：(II)设直线AM方程为x my 2 m 0,直线l方程为x 2,直线AM交l于P点, 点P , Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D .若 APD面积为2娓,求m的 值.【答案】(1) 土 y- 1(x2) (2) m 433【解析】(1)本题可以先将点 M的坐标设出，然后写出直线 AM的斜率与直线 BM的斜 率，最后根据 AM、BM

26、所在直线的斜率之积是4即可列出算式并通过计算得出结果；(2)首先可以联立直线AM的方程与直线l的方程，得出点P、Q两点的坐标,然后联立MQ的方程，最后求出所以直线AM的斜率kAM由题目可知y yx 2 x 2y x 2 ,直线 BM 的斜率 kBM y- x 2 ,x 2x 2,化简得点M的轨迹方程 -y- 1 x 2 ;443(2)直线AM的方程为xmy 2 m 0 ,与直线l的方程x 2联立,直线AM的方程与点 M的轨迹方程得出 M点坐标并写出直线D点坐标并根据三角形面积公式计算出m的值.【详解】(1)设点M的坐标为x, y ,因为点A、B的坐标分别为2,0_ 4_4可得点P 2,一，故Q

27、 2,解得2my 2与土41联立，消去x,整理得-2,23m 4 y 12my0,0,或y12m3 m2 4,根据题目可知点 M2-6m 8 12m3m24,3m22,4,可得直线 mMQ的方程为12m23m令y 0,解得6m23m24 一一，故D26m2 4 .2，03m2 2所以AD6m2 43m2""212m23m2 2APD的面积为12m23 m2 224|m 2 Z3m2 26m2 83m2 4AM、BM所在直线的斜率之积是4”列出等式以及使用m表不出M、Q、D三点的坐标,然后根据三角形面积公式得出算式,即可顺利解决问题,计算量较大，是难题.x 221 .己知函数

28、f x e axaxln x3ax ex, a R.又因为 APD的面积为2拆,故-24rm3m226整理得3m2 276 m 2 0,解得m 2 ,所以m3本题考查轨迹方程以及直线相交的综合应用问题，处理问题的关键是能够通过“(1)求函数f x的零点个数;(2)若f x g x对任意x0,恒成立，求a的取值范围.(1)见解析；(2) a(1)分离参数，利用导数得出xe 一.三 的单调性，结合图象，即可得出函数 xf x的零点个数;(2)构造函数 h(t) t alnt e3e,分类讨论a的值，利用导数得出其单调性以及最值，即可得出 a的取值范围【详解】解：（1）由题意，可知f 01,，x 0

29、不是f x的零点当x 0时，令f xx 2e ax 0 ,整理得,x. e令 t x , x 0.则 t x xt x 0 x2 或 x0;tx 00x2函数t x在g,0上单调递增，在0,2上单调递减，在 2,+oc上单调递增即在x，函数结合图形可知：当0时,ax2 0无解，此时2e2处取得极小值t 24,t 0； x 0, t x大致图象如下图所示:f x没有零点,当2a且，即40时,2ax0有1个解,此时f x有1个零点,当2 旦时,42ax0有2个解，此时当2 之时,42ax0有3个解，此时综上所述，当a 0时,2e- -一一a 0时，有1个手点;42e当aW时，有2个零点;42当a

30、上时，有3个零点.4(2) f xx 3 2g x e ex ax x In x x 0 在 x 0,上恒成立xe 3一 e ax In x 1 xxxe 3, e , 八e a In 10 在 x 0,xx上恒成立x令t 土，tx(x 1)ex2xt 0 x 1； t 0xe0 x 1,即函数t 在区间0,1上单倜递减，在区间 x1，+ OU上单调递增，则te3a令 h(t) t aln t e a , t e, h (t) 1 -当a e时，h(t,则函数h(t)在区间e,)上单调递增即 h(t),h(e)3e a In e e a0恒成立当 a e时，h (t) 0 t a ； h (t

31、) 0则函数h(t)在区间e, a上单调递减，在区间(a,)上单调递增h(t)，h( a) aln( a) e3 2a 0在区间e,)上恒成立令 d(a) aln( a) e3 2a , d (a) ln( a) 1 0d(a)在区间(，e)上单调递增1 1 ,33333I d e e Ine e 2e 0一 .33aln( a) e 2a 0 ,解得 a e , e综上，ae3,【点睛】本题主要考查了利用导数求函数零点的个数以及研究不等式的恒成立问题，属于中档题.22 .在直角坐标系中，以原点 。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin22a cos (a 0),直线l的参数方程为x 2旦2，._ (t为参数).y 4刍2(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)己知点P 2, 4