中级微观经济学20__成本最小化综述

1、关键词：成本函数生产函数要素需求函数供给函数第第20-2220-22章的思路章的思路（间接的思考方法， 先研究既定产量下的成本最小化成本最小化问题（第20、21章）；然后，再研究最有利可图的产量水平（第22章） ）生产函数 成本函数（成本曲线）利润最大化成本最小化有条件的要素需求函数 供给函数（供给曲线）第第1919章的思路章的思路（直接分析利润最大化）（直接分析利润最大化）第第20章章第第21章章第第22章章12121122,max(,).xxpfxxw xw x1211(*,*)0.fxxpwx1222(*,*)0.fxxpwx对于C-D函数baxxxxf2121),(利润最大化问题是：2

2、2112121,maxxwxwxpxxxba一阶条件是：0a1211wxxpba0b2121wxxpba一阶条件是：0a1211wxxpba0b2121wxxpba:,2121上式可以写作并代入第二个方程两边乘以将第一个方程两边乘以baxxyxx11axwyp22axwyp求解，得到要素需求函数要素需求函数：11wapyx 22bwpyx 将求解得到要素需求函数代入生产函数：11wapyx 22bwpyx baxxy21bawpbywpayy)()(21可以得到柯布-道格拉斯厂商的供给函数供给函数为：ba1b2ba11)()(wpbwpayamin,x xw xw x1201 12 2 s.t

3、. f xxy(,).12 *1211122212c(w ,w ,y)= w x (w ,w ,y)+w x (w ,w ,y).w xw x1 12 2100 .xwwxcw21212 .w xw xc1 12 2 c w1x1+w2x2c” w1x1+w2x2c c”x1x2c w1x1+w2x2c” w1x1+w2x2c c”x1x2斜率斜率 = -w1/w2.x1x2所有产出为所有产出为y 的投入要素的集合。的投入要素的集合。哪一个最便宜？哪一个最便宜？f(x1,x2) yx1x2f(x1,x2) y所有产出为所有产出为y 的投入要素的集合。的投入要素的集合。哪一个最便宜？哪一个最便宜

4、？x1x2f(x1,x2) y所有产出为所有产出为y 的投入要素的集合。的投入要素的集合。哪一个最便宜？哪一个最便宜？x1x2f(x1,x2) y所有产出为所有产出为y 的投入要素的集合。的投入要素的集合。哪一个最便宜？哪一个最便宜？x1x2f(x1,x2) yx1*x2*所有产出为所有产出为y 的投入要素的集合。的投入要素的集合。哪一个最便宜？哪一个最便宜？x1x2f(x1,x2) yx1*x2*在一个成本最小化的内点解上：在一个成本最小化的内点解上：(a) f xxy(,)*12 x1x2f(x1,x2) yx1*x2*在一个成本最小化的内点解上：在一个成本最小化的内点解上：(a) 且且(

5、b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率等成本线的斜率等于等产量线的斜率f xxy(,)*12 x1x2f(x1,x2) yx1*x2*在一个成本最小化的内点解上：在一个成本最小化的内点解上：(a) 且且(b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率等成本线的斜率等于等产量线的斜率即即f xxy(,)*12 *111222(,)wMPx xTRSwMP 在在，2211212121221212112121221121221121/),(/),(:,0),(0),(0),(:,),(L:),(.,minxxxfxxxfwwyxxfxxxfwxxxfwxxyxxfxwxwyxxftsxwxwxx就可以得到二

6、个方程并用第一个方程除以第整理得到一阶条件求导对建立拉格朗日函数yf xxxx (,)./1211 322 3生产给定产量成本最小化的投入要素组合生产给定产量成本最小化的投入要素组合 (x1*,x2*) 满足满足(a)(b) yxx ()()*/*/11 322 3 wwyxyxxxxxxx121212 322 311 321 3211 32 32 /( / )()()(/ )()().*/*/*/*/*yxx ()()*/*/11 322 3wwxx12212 *.(a)(b)yxx ()()*/*/11 322 3wwxx12212 *.(a)(b)由由(b)可得可得, xwwx21212

7、*. yxx ()()*/*/11 322 3wwxx12212 *.(a)(b)由由(b)可得可得, 代入代入(a)得：得：xwwx21212*. yxwwxwwx ().*/*/*11 31212 3122 3122yxx ()()*/*/11 322 3wwxx12212 *.(a)(b)由由(b)可得可得, 代入代入(a)得：得：xwwx21212*. yxwwxwwx ().*/*/*11 31212 3122 3122xwwy1212 32*/ 所以所以 是厂商对于投入要素是厂商对于投入要素1的的条件需求函数。条件需求函数。xwwx21212* xwwy1212 32*/ 是是厂商

8、对于投入要素厂商对于投入要素2的条件需求函数。的条件需求函数。由于由于且且xwwwwywwy212212 3121 3222*/ 则则所以问题所以问题 “在投入要素价格为在投入要素价格为 w1 、 w2时，时，生产既定产量生产既定产量y的成本最小的要素组合是什么的成本最小的要素组合是什么?” 的答案为：的答案为： xwwyxwwywwywwy112212212 3121 322*/(, ),(, ),. w1 、 w2不变不变要素的条件需求曲线（Conditional Input Demand Curves） y y yx2x1w1 、 w2不变不变xy1*() xy2*() xy1*() x

9、y1*() xy2*() xy2*() y y y y yxy2*() xy1*() x2*x1*yyx2x1y要素的条件需求曲线w1 、 w2不变不变xy1*() xy2*() xy1*() xy1*() xy2*() xy2*() y y y y y y yxy2*() xy2*() xy1*() xy1*() x2*x1*yyx2x1yy要素的条件需求曲线w1 、 w2不变不变xy1*() xy2*() xy1*() xy1*() xy2*() xy2*() y y y y y y y y yxy2*() xy2*() xy2*() xy1*() xy1*() xy1*() x2*x1*

10、yyx2x1yy要素的条件需求曲线w1 、 w2不变不变xy1*() xy2*() xy1*() xy1*() xy2*() xy2*() y y y y y y y y yxy2*() xy2*() xy2*() xy1*() xy1*() xy1*() x2*x1*yy产出扩展线产出扩展线x2x1yy要素的条件需求曲线w1 、 w2不变不变xy1*() xy2*() xy1*() xy1*() xy2*() xy2*() y y y y y y y y yxy2*() xy2*() xy2*() xy1*() xy1*() xy1*() 投入投入 2的条件需求的条件需求 投入投入1的的条件

11、需求条件需求x2*x1*yy产出扩展线产出扩展线x2x1yy要素的条件需求曲线生产函数为：生产函数为：成本最小化的要素组合为成本最小化的要素组合为 xwwyxwwywwywwy112212212 3121 322*/(, ),(, ),. 3/223/1121xx)x,x( fy c wwyw xwwyw xwwy(, )(, )(, )*121 1122 212 厂商的总成本函数为：厂商的总成本函数为：c wwyw xwwyw xwwywwwywwwy(, )(, )(, )*/121 1122 2121212 32121 322 厂商的总成本函数为：厂商的总成本函数为：c wwyw xww

12、yw xwwywwwywwwywwywwy(, )(, )(, )*/121 1122 2121212 32121 32 311 322 31 311 322 322122 厂商的总成本函数为：厂商的总成本函数为：c wwyw xwwyw xwwywwwywwwywwywwyw wy(, )(, )(, ).*/121 1122 2121212 32121 32 311 322 31 311 322 31221 32212234 厂商的总成本函数为：厂商的总成本函数为：byxbxxwayxaxxwxxyxxxbxwxaxwxxyxxxwxwyxxtsxwxwxxbababababababa21

13、2221112121212211121222112221121:,:,)(L:.,min111就可以得到第二个方程乘以第一个方程乘以得到一阶条件求导对建立拉格朗日函数byxbxxwayxaxxwxxyxxxbxwxaxwxxyxxxwxwyxxtsxwxwxxbababababababa212221112121212211121222112221121:,:,)(L:.,min111就可以得到第二个方程乘以第一个方程乘以得到一阶条件求导对建立拉格朗日函数2211wbyxwayxbababbaabaabaababaabaababbababbabbabbababababaywwbabaxwxwyw

14、wcywwbaywwxywwbaywwxwbyxwayxywwbaywbywaywbyxwayx12122112112121212121122111121212211)()(),()(),()(),(:,)()()(:,成本函数解出要素需求函数建立联立方程组与解出得到代入第三个一阶条件将yxx min,.412x1x2min4x1,x2 y4x1 = x2x1x24x1 = x2min4x1,x2 yx1x24x1 = x2min4x1,x2 y哪一点是成本最小的投入组合哪一点是成本最小的投入组合?x1x2 x1*= y/4x2* = y4x1 = x2min4x1,x2 y哪一点是成本最小的

15、投入组合哪一点是成本最小的投入组合?yxx min,412厂商的生产函数为：厂商的生产函数为：要素的条件需求函数为：要素的条件需求函数为：xwwyy1124*(, ) xwwyy212*(, ). ；yxx min,412厂商的生产函数为：厂商的生产函数为：要素的条件需求函数为：要素的条件需求函数为：xwwyy1124*(, ) xwwyy212*(, ). ；厂商的总成本函数为：厂商的总成本函数为：c wwyw xwwyw xwwy(, )(, )(, )*121 1122 212 yxx min,412厂商的生产函数为：厂商的生产函数为：要素的条件需求函数为要素的条件需求函数为xwwyy1

16、124*(, ) xwwyy212*(, ). ；厂商的总成本函数为厂商的总成本函数为c wwyw xwwyw xwwywyw ywwy(, )(, )(, ).*121 1122 212121244 ywwywywywwcywywyxxxxf212121212121,min,min),(,),(,中较小的一个：和最小成本是时，因此，当产量为价格较低的生产要素。厂商显然会使用由于要素是完全替代的在完全替代的情况下AC wwyc wwyy(, )(, ).1212 y$/产量产量规模报酬不变规模报酬递减规模报酬递增AC(y)y$y2yc(y)c(2y)Slope = c(2y)/2y = AC(

17、2y).Slope = c(y)/y = AC(y).递减递减r.t.s技术的厂商的成本递增。技术的厂商的成本递增。y$c(y)y2yc(y)c(2y)Slope = c(2y)/2y = AC(2y).Slope = c(y)/y = AC(y).递减递减r.t.s技术的厂商的成本递增。技术的厂商的成本递增。y$y2yc(y)c(2y)Slope = c(2y)/2y = AC(2y).Slope = c(y)/y = AC(y).递增递增r.t.s技术的厂商的成本递减。技术的厂商的成本递减。y$c(y)y2yc(y)c(2y)Slope = c(2y)/2y = AC(2y).Slope

18、= c(y)/y = AC(y).递增递增r.t.s技术的厂商的成本递减。技术的厂商的成本递减。y$c(y)y2yc(y) c(2y)=2c(y)Slope = c(2y)/2y = 2c(y)/2y = c(y)/y所以所以 AC(y) = AC(2y).不变不变r.t.s技术的厂商的成本不变。技术的厂商的成本不变。min,x xw xw x1201 12 2 s.t.f xxy(,).12 minxw xw x101 12 2 f xxy(,).12 s.t.x1x2 y y y考虑三种产出水平考虑三种产出水平x1x2 y y y在长期，当厂商可以自由选择在长期，当厂商可以自由选择x1 和

19、和x2时，成本最小化的投入时，成本最小化的投入组合为组合为x1x2 y y y x1 x1 x1 x2 x2 x2长期产量扩展曲线长期产量扩展曲线x1x2 y y y x1 x1 x1 x2 x2 x2长期成本为：长期成本为：2211 22112211)()()(xwxwycxwxwycxwxwyc 长期产量长期产量扩展曲线扩展曲线x1x2 y y y x1 x1 x1 x2 x2 x2短期产量扩展线短期产量扩展线长期成本为：长期成本为：2211 22112211)()()(xwxwycxwxwycxwxwyc x1x2 y y y x1 x1 x1 x2 x2 x2短期产量扩展线短期产量扩展线长期成本为：长期成本为：2211 22112211