材料力学电势0302

1、第二章第二章 电势电势 (Electric Potential)(Electric Potential)电势电势电势能电势能内容内容：2.1 2.1 静电场的环路定理静电场的环路定理(Circuital Theorem of Electrostatic Field)0Ll dE在静电场中，场强沿任意闭合路径的线在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零积分等于零 证明证明 依据：点电荷场强场强叠加原理依据：点电荷场强场强叠加原理对于点电荷对于点电荷q的电场的电场l dqL Lr cosdlrql dELL 204014000 rr)r(qdrrqL 204对于电荷系的电场对于电荷系的电场 i

2、LiLiiLSdESdEl dE)(0根据场强叠加原理和上述结果根据场强叠加原理和上述结果, ,有有该定理反映了静电场的另一个基本该定理反映了静电场的另一个基本性质性质保守性保守性. .Notes:保守场保守场( (or有势场有势场) )环路定理只对静电场成立环路定理只对静电场成立, ,对运动对运动电荷的电场和感应电场都不成立电荷的电场和感应电场都不成立. .2.2 2.2 电势电势(Electric Potential)1.1.定义定义UUUl dEBABA场强的线积分值等于电势（标量）的减小量场强的线积分值等于电势（标量）的减小量. .选择选择电势零点电势零点 各点电势值各点电势值选择选择

3、 U Uc c=0=0则有则有CACAAl dEUUUe.g.SISI单位：单位：V(V(伏特伏特) ) or J/C( J/C(焦耳焦耳/ /库仑库仑) )U U的取值依赖于其零点的选择的取值依赖于其零点的选择. .+ +qP PrP P 0rNotes:点电荷点电荷q在任意一点在任意一点P产生的电势产生的电势e.g.i)i)选选 U U =0=0PPPrdEl dEU则则drrqEdrrr204rq04ii)ii)选选 U UP P =0=0则则PPPl dEUPPl dEl dE00044rqrq沿电场线方向沿电场线方向U U值减小值减小EA AB B0BABABAEdll dEUU通常

4、通常, ,若电荷分布在有限区域内若电荷分布在有限区域内, ,则选则选U U =0; =0; 反之反之, ,则选则选U UP P =0. =0. 2.2.电势叠加原理电势叠加原理iUU 来历来历 ：Nqq12qiqP P电势定义场强叠加原理电势定义场强叠加原理 例例2-12-1均匀带电圆盘轴线上一点的电势均匀带电圆盘轴线上一点的电势. .（R R、 、U U =0=0）盘上盘上rr+dr电荷元在电荷元在P P点产生的电势点产生的电势: :04dQdU2202xrrdr22042xrrdr于是于是RxrrdrdUU02202)(2220 xxRX XO OxP Prdr3.3.电势的计算电势的计算

5、( (（1)1)公式、（公式、（2)2)叠加）叠加） 例例2-22-2 均匀带电球面内外的电势均匀带电球面内外的电势. .（R R、Q Q、 U U =0=0）O OP P P PrPl dEURPEdrrdERdrrQ204RQ04对球面外一点对球面外一点P P ：球对称球对称与球心等距与球心等距的各点的各点, ,电势相同电势相同. .对球面内一点对球面内一点P P：Pl dEUrEdrrdrrQ204rQ04综之综之)(4)(4)(00RrrQRrRQrU球面内各点电势相等球面内各点电势相等, ,其值等于球面上的其值等于球面上的电势电势; ; 球面上及球面外各点的电势球面上及球面外各点的电

6、势, ,等于等于Q Q集集中在球心时产生的电势中在球心时产生的电势. .某点处场强值为零某点处场强值为零, ,并不意味着该点并不意味着该点处电势值也为零处电势值也为零( (e.g. 球面内各点球面内各点) ); ;某点处场强值间断某点处场强值间断, ,并不意味着该点并不意味着该点处电势值也间断处电势值也间断( (e.g. 球面上各点球面上各点) ). .Note: 例例2-32-3 无限长均匀带电直线周围的电势无限长均匀带电直线周围的电势r0rP PP P0 0设线电荷密度设线电荷密度 , ,U(r0)=0轴对称轴对称与直线等距的与直线等距的各点各点, ,电势相同电势相同. .0)(PPl d

7、ErU0rrEdr002rrdrrrr00ln2这里若选这里若选U U =0=0，则空间各点的电势值，则空间各点的电势值为无限大，无意义为无限大，无意义对空间一点对空间一点P,P,有有Note: 例例2-42-4 无限大均匀带电平面附近的电势无限大均匀带电平面附近的电势xX XP P O O设面电荷密度为设面电荷密度为 平面处平面处U=0U=0对称性对称性平面两侧电势平面两侧电势分布对称分布对称, ,且与且与平面平面等距等距的各点的各点, ,电势相同电势相同. .OPOPl dEl dEUxi xi002)(2对空间任意一点，对空间任意一点，有有xxU02)(对空间一点对空间一点P(P(x0)

8、 )，有有1.1.定义定义在静电场中，由电势相等的点所组成的曲在静电场中，由电势相等的点所组成的曲面，称为等势面面，称为等势面 2.3 2.3 等势面等势面(Equipotential Surface)e.g. 无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面人心脏的等电势人心脏的等电势线，类似于电偶线，类似于电偶极子。极子。2.2.特点特点等势面垂直于电场线等势面垂直于电场线对两个相邻等势面而言，面距较小处，对两个相邻等势面而言，面距较小处，场强较大场强较大 E EA A E EB Bd dB BEA AB BU U1 1U U2 2d dA A2.5 2.5 电势能电势能(Electric Poten

9、tial Energy)1.1.静电场力是保守力静电场力是保守力* *2.42.4场强与电势的关系场强与电势的关系(Relation Between and )EUbababal dEql dFA)(baUUq电子在电场力作用下通过电子在电场力作用下通过1v1v电势差所电势差所获得的动能：获得的动能：1.6021.602 1010-19 -19 J1ev J1ev ( (一种能量单位一种能量单位) )e.g.2.2.电势能电势能定义定义：babaWWA电场力做功等于电势能的减少电场力做功等于电势能的减少. .则有则有 CAAl dEqW选择选择 0 cW取取电势电势零点为零点为W的零点的零点q

10、UW 电荷电荷q在电场中的电势能在电场中的电势能对于对于+q，UW 对于对于 q，UW电荷在静电场中的电势能电荷在静电场中的电势能, ,为为该电该电荷及场源电荷所共有荷及场源电荷所共有. .Notes: 例例2-52-5 均匀电场中偶极子的电势能均匀电场中偶极子的电势能解：解：)()(babaUUqqUUqWbabal dEql dEqlEqEp+ +q- -qablE 讨论讨论 maxWWEp则，若minWWEp则，若从从到到, , 电场力做正功电场力做正功. .)()2(2EqlEqlEqlEp其引起转动的方向为从其引起转动的方向为从转向转向. .偶极子在均匀电场中所受合力为零偶极子在均匀

11、电场中所受合力为零, ,但合力矩不为零：但合力矩不为零： 例例2-62-6 电子的质量为电子的质量为m，电荷为，电荷为e，两个相，两个相距距r1的电子，由静止开始在电场力的电子，由静止开始在电场力作用下运动至相距作用下运动至相距r2，此时每个电，此时每个电子的速率子的速率v=?=?解：解： 以两个电子为系统以两个电子为系统, ,则有则有Ek+Ep=const., ,即即220210221244mvrere210124)(rmrrrev于是于是Chap.1 SUMMARY电荷的性质电荷的性质两个基本的实验定律两个基本的实验定律库仑定律库仑定律020214rrqqF( 0=8.85 10-12 C

12、2/N m2)电力叠加原理电力叠加原理iFF电场强度电场强度定义定义0/qFE场强叠加原理场强叠加原理iEE电场线电场线电通量电通量SeSdE高斯定律高斯定律0iiSqSdE内场强的计算方法场强的计算方法高对称电荷分布：高对称电荷分布：高斯定理高斯定理一般电荷分布：一般电荷分布：点电荷场强点电荷场强场强叠加原理场强叠加原理均匀带电直线段均匀带电直线段均匀带电圆环均匀带电圆环均匀带电圆盘均匀带电圆盘e.g.无限长均匀带电直线：无限长均匀带电直线：002rrE无限大均匀带电平面：无限大均匀带电平面：002nE均匀带电球面：均匀带电球面：)(4)(0020RrrrQRrEe.g.静电场的环路定理静电

13、场的环路定理0LldE电势电势电势差电势差BABAl dEUU选择选择0CU则有则有CAAl dEU电势电势电势叠加原理电势叠加原理iUU电势的计算方法电势的计算方法已知场强，作积分已知场强，作积分已知各部分电荷产生的电势已知各部分电荷产生的电势, ,作叠加作叠加. .典型的电势典型的电势点电荷点电荷选选U U =0=0，则有则有rqU04均匀带电球面均匀带电球面选选U U =0=0，则有则有)(4)(4)(00RrrQRrRQrU等势面等势面场强与电势的关系场强与电势的关系UE电势能电势能电场力是保守力电场力是保守力电场力的功：电场力的功：)(babaUUqA电势能：电势能：qUW Chap

14、.1-2 EXERCISES 高斯定律的适用范围是高斯定律的适用范围是(A)(A)任何静电场任何静电场(B)(B)任何电场任何电场(C)(C)具有球对称、轴对称和平面对称的静具有球对称、轴对称和平面对称的静电场电场. .(D)(D)虽然不具有上述对称性但可以找到合虽然不具有上述对称性但可以找到合适高斯面的静电场适高斯面的静电场 答案：答案：(B)(B) 由高斯定律和环路定理说明静电场的基本由高斯定律和环路定理说明静电场的基本性质性质答：答：高斯定律表明：静电场是有源场高斯定律表明：静电场是有源场环路定理表明：静电场是保守场环路定理表明：静电场是保守场 在边长为在边长为a的正方形平面的中垂线上的

15、正方形平面的中垂线上, ,距离距离平面平面a/2处处, ,有一电量为有一电量为q的正点电荷的正点电荷, ,则通则通过该平面的电场强度通量过该平面的电场强度通量 e e= = . .解：解：aaa/2q如图，可设想如图，可设想q在一立方在一立方体中心，所以体中心，所以06/61qSdESeErO ORE 1/r图示为一轴对称性静电场的图示为一轴对称性静电场的Er关系曲线，请指出该电场关系曲线，请指出该电场是由哪种带电体产生的：是由哪种带电体产生的：(A)(A)无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线(B)(B)无限长均匀带电圆柱体无限长均匀带电圆柱体(C)(C)无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱

16、面(D)(D)有限长均匀带电圆柱面有限长均匀带电圆柱面 答案：答案：(C)(C)理由：理由： 无限长均匀带电圆柱面的电场为无限长均匀带电圆柱面的电场为)(2)(00RrrRrE如图如图, ,圆环半径圆环半径R=5.0cm, ,环的最环的最高点系一绝缘轻绳高点系一绝缘轻绳, ,绳的另一端绳的另一端系一质量为系一质量为m=1.0g的小球的小球. .当圆当圆环和小球分别带有环和小球分别带有Q=9.0 10-8C的正电荷且环上电荷均匀分布时的正电荷且环上电荷均匀分布时，小球的平衡位置恰好在圆环的，小球的平衡位置恰好在圆环的轴线上求绳长轴线上求绳长L.L.解：解：小球所在处的场强大小为小球所在处的场强大

17、小为302044LQxLxLQE小球受力如图小球受力如图L Lx x小球所受电场力大小小球所受电场力大小: :3024LxQQEF平衡时电场力与重力的合力应沿着绳长方平衡时电场力与重力的合力应沿着绳长方向向, ,故有故有xRFmg于是于是mmgRQL072. 0)4(3/ 102 半径为半径为R的带有一缺口的细圆环的带有一缺口的细圆环, ,缺口长缺口长度为度为d(dR), ,环上均匀带正电环上均匀带正电, ,总电量为总电量为q. .则圆心处的场强大小则圆心处的场强大小E=E= , ,场场强方向为强方向为 . .解：解： 缺口处可视为带有等量异号电荷的一小缺口处可视为带有等量异号电荷的一小段圆弧

18、段圆弧, ,其电量为其电量为RqdddRqq22空间电荷分布一个完整的均匀带正电空间电荷分布一个完整的均匀带正电的圆环一小段带负电的圆弧的圆环一小段带负电的圆弧. . 在圆心处在圆心处, ,可将可将圆弧电荷视为点电荷圆弧电荷视为点电荷. .场强方向：场强方向：指向缺口指向缺口204RqE3028Rqd因此圆心处的场强大小为因此圆心处的场强大小为o oX XY Y 如图如图, ,带电圆环半径为带电圆环半径为R,R,电电荷线密度为荷线密度为 = = 0 0coscos , ,式中式中 0 0为一常数为一常数. .试求环心试求环心o o点处点处的电场强度的电场强度. .解：解： 由由coscos 的

19、性质知，的性质知，o o点处合场强方向指向点处合场强方向指向X X轴负向，且位于各象限的电荷对轴负向，且位于各象限的电荷对o o点处点处合场强的贡献相同合场强的贡献相同环上环上 d d 电荷元的贡献：电荷元的贡献：RdRRddEx0202004coscos4)cos(d d 于是于是xxdEER004因此，因此，o o点处的场强为点处的场强为iRiEEx0042/0200cos)4(4dR设电荷体密度沿设电荷体密度沿X轴方向按余弦规律轴方向按余弦规律 = 0cosx分布在整个空间分布在整个空间, ,式中式中 为电荷体为电荷体密度密度, , 0 0为其幅值为其幅值. .试求空间的场强分布试求空间

20、的场强分布. .解：解： 该电荷分布可视为由一系列垂直于该电荷分布可视为由一系列垂直于X轴的轴的无限大均匀带电薄板构成无限大均匀带电薄板构成, ,各薄板上的电各薄板上的电荷密度由薄板位置决定荷密度由薄板位置决定. .空间场强分布的特点空间场强分布的特点: : 场强方向平行场强方向平行于于X轴轴; ;在在垂直于垂直于X轴的平面上轴的平面上, ,各点各点场场强相同强相同; ;YOZYOZ平面上各点的场强为零平面上各点的场强为零, ,空空间场强相对于间场强相对于YOZYOZ平面对称分布平面对称分布. .高斯面高斯面S S：底面积为：底面积为A A的的闭合圆柱面闭合圆柱面, ,其轴线平其轴线平行于行于

21、X轴轴, ,一端在一端在YOZYOZ平平面内面内. .A Ax xX XY YZ ZS SO O则有则有右底左底侧SdESdESdESdESAEdSExx右底xxxdxAAdxq000000cos1内xAsin00于是由高斯定律得于是由高斯定律得xExsin00由电场分布的对称性知，这个结果也适用由电场分布的对称性知，这个结果也适用于于x 0的区域，因此的区域，因此ixiEEx)sin(00 思考思考 若若 = 0sinx, ,结果结果? ?ixE)cos(00Answer:当带电量为当带电量为q的粒子在场强分布为的粒子在场强分布为 的静的静电场中从电场中从a a点到点到b b点作有限位移时点作有限位移时, ,电场力电场力对该粒子所做功的计算式为对该粒子所做功的计算式为A=A= . .E解：解：babal dEql dFA某电场的电力线分布情某电场的电力线分布情况如图所示况如图所示, ,一负电荷从一负电荷从M点移到点移到N点点, ,则下列说则下列说法中哪一个是正确的法中哪一个是正确的? ?(A)(A)电场强度电场强度EM EN(B)(B)电势电势UM UN(