例3下列各题中

1、练习已知：1m“.若是；的必要而不充分条件，求实数、'的取值范围.点拨可以有两个思路：（1）先求岀"和/,然后根据讥-叮1；,i:-，求得匸的取值范围；（2）若原命题为“若:-，贝9了”，其逆否命题是“若/贝UJ”，由于它们是等价的，可以把求是：的必要而不充分条件等价转换为求/是I的充分而不必要条件.解法一求岀了：貝一厲-纠或：.:，:二_；八上|二或.；，:|.由；是飞的必要而不充分条件，知B丘A，它等价于fm>0,门-烧<2,1+用10L同样解得：的取值范围是二.解法二根据思路二，了是的必要而不充分条件，等价于/是丿的充分而不必要条件设、二一;一飞?-.-.I

2、I-所以，A=B，它等价于'm>0,41-怖2,l+w>10.L同样解得匸的取值范围是二.16在ABC中,“430。是“sinA>”的（）2B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条A.充分而不必要条件C.充分必要条件件a8.（2008陕西高考，文6）“a1堤对任意正数x,2x+>1”的（）xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：a=1=2xa=2x>22x1=2、2>1,显然a=2也能推出，所以“尸1”是对xXVXa任意正数x,2x>1”的充分不必要条件.xq:

3、x1+x2=5，贝p是q已知p：x1,x2是方程x2+5x6=0的两根,的A充分但不必要条件B必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换.解/x1,x2是方程x2+5x6=0的两根，x1,x2的值分别为1,6,-+X?=16=5.说明p=q-但事实上只要取巧二-厶xa=-3作为反例即可说明这一点.因此选A.说明：判断命题为假命题可以通过举反例.2 p是q的充要条件的是A.p：3x+2>5,q:2x3>5p:a>2,bv2,q:a>bB. p:四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形C. p：0,q：关于x的方程ax=1有惟一解分析

4、逐个验证命题是否等价.解对A.p:x>1,q：xv1,所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B.q但q-二p,p是q的充分非必要条件；对C.pq且qp,p是q的必要非充分条件；对D.p=q且q=p，即q,p是q的充要条件.选D.说明：当a=0时，ax=0有无数个解.3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D解/A是B的充分条件，AB/D是C成立的必要条件，CDC是B成立的充要条件，C=B由得A_C由得AD D是A成立的必要条件.选B说明：要注意利用推出符

5、号的传递性.4 设命题甲为：Ovxv5，命题乙为|x2|v3，那么甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定.解解不等式|x2|v3得一1vxv5./0vxv51vxv5,但一1vxv5二Ovxv5甲是乙的充分不必要条件，选A.说明：一般情况下，如果条件甲为xA，条件乙为xB.当且仅当AB时，甲为乙的充分条件；当且仅当A二B时，甲为乙的必要条件；当且仅当A=B时，甲为乙的充要条件.5 设A、B、C三个集合，为使A7(BUC)，条件A丁B是A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析.请同学们自己画图.

6、解VAB而B匚(BUC),A=(BUC).但是，当B=N，C=R，A=Z时，显然A一(BUC)，但A一B不成立，综上所述：“AB”“A(BUC)”，而“ARBUC)”二“A=-B”.即“A-B”是“A(BUC)”的充分条件(不必要).选A.说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况.6给出下列各组条件：(1) p:ab=0，q:a2+b2=0;p:xy>0,q:|x|+|y|=|x+y|;(2) p:m>0,q：方程x2xm=0有实根；(3) p:|x1|>2,q:xv1.其中p是q的充要条件的有A.1组B.2组C.3组D.4组分析使用方程理论和不等式性质.

7、解(1)p是q的必要条件p是q充要条件(2) p是q的充分条件p是q的必要条件.选A.说明：ab=0指其中至少有一个为零，而a2+b2=0指两个都为零.xd>3xdx2>6例71是12的条件.x2>3x1x2>9分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系.解x1>3且x2>3=x1+x2>6且x1x2>9,但当取x1=10,x2=2时，x1x2>6x1>31成立，而1不成立(x2=2与x2>3矛盾)，所以填“充分不x1x2>9x2>3必要”.说明:X1>3X13>0X2>3dN3>

8、;0(x13)+(x23)>0J(x13)(x23)>0x1+x2>6这一等价变形方法有时会用得上.x1x23(x1+x2)+9>08 已知真命题“a>b=>c>d”和“avb=>ewf”，贝厂'c<d”是“e<f”的条件.分析/a>b=>c>d(原命题),c<davb(逆否命题).而avbewf,c<dewf即c<d是e<f的充分条件.答填写“充分”.说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.9 ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是A.0vaw1B.av1

9、C.aw1D.0vaw1或av0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之.当a=1时，方程有负根x=1，当a=0时，x=1.故排除A、B、D选C.21解常规方法：当a=0时，x=.2当0时2_.4_4a1.a>0，则ax2+2x+1=0至少有一个负实根：=:<02a=-2.1a<2u0<a<1.c-2+J4_4a2.a<0,则ax2+2x+1=0至少有一个负实根=<02a二2>21a>2=1a>1=a<0.综上所述aw1.即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a<1.说明：特殊值法

10、、排除法都是解选择题的好方法.10已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？分析画出关系图121，观察求解.图1-21解s是q的充要条件；（srq，qs）r是q的充要条件；（r'q，q、sr）p是q的必要条件；（qrs'r'p）说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.11关于x的不等式|x|x(a1)22(a-1)22与x23(a+1)x+2(3a+1)<0的解集依次为A与B，问“AB”是“1Wa<3或a=1”的充要条件吗?分析化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a.解

11、A=x|2awxwa2+1，B=x|(x2)x(3a+1)w01当2w3a+1即a>时，3B=x|2wxw3a+1.2a>2AB二2=仔aw3、a+1w3a+11当2>3a+1即a<-时,B=x|3a+Kx<2A匸B二2a>3a+12-=a=1.a2+1<2综上所述：AUB=a=1或1WaW3.“AB”是“1Wa<3或a=-1”的充要条件.说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关在解题时要理清思路，表达准确，推理无误.11例12x>y,xy>0是一V的必要条件还是充分条件，还是充xy要条件？分析将充要条件和不等式同解变形

12、相联系.解1.当一V-时，可得一一-V0即红沁V0xyxyxyfy-x>0亠yxV0则/或xyV0xy>0,xVyx>y即t或<xyV0xy>0,11xVy故xV不能推得x>y且xy>0（有可能得到丿<，即x>y且xyxylxy11>0并非-V-的必要条件.xyx>yx>y2.当x>y且xy>0则分成两种情况讨论：*x>0或*xV0、y>0yV011不论哪一种情况均可化为v-.xy11x>y且xy>0是V的充分条件.xy说明：分类讨论要做到不重不漏.13设a,B是方程x2ax+b=0的两

13、个实根，试分析a>2且b>1是两根a，3均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需充分条件与必要条件基础练习（一）选择题1设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的A.充分而不必要条件B必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. b=c=0是抛物线y=ax2+bx+c经过原点的A.充分而不必要条件B必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 设有非空集合A、B、C,若“aA”的充要条件是“aB且aC”，则aB”是“aA”的A.充分而不必要条件B必要而不充分条件C.充要条件D.既不充

14、分也不必要条件4. xR,(1|x|)(1+x)是正数的充分必要条件是A.|x|v1B.xv1C.xv1D.xv1且x工一15. 三个实数a、b、c不全为零的充要条件是A.a、b、c都不是零B.a、b、c中至多有-个是零C.a、b、c中只有一个是零D.a、b、c中至少有个不是零6.卜列说法止确的是A.x>3是x>5的充分而不必要条件B. x工土1是|x|工1的充要条件C. 若：-'',则p是q的充分条件D.一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形(二) 填空题1. 用符号“T”与“"”填空.(1) x+y=7x2y26x+8y=7(2) ab=0a=0

15、2. ax2+2x+1=0有且只有一个负的实根的充要条件是3. 集合A=x|x>1,B=x|xV2，则“xA或xB”是“xAnB”的条件.4.在平面直角坐标系中，点(x2+5x,1x2)在第一象限的充要条件是(三) 解答题1指出下列各组命题中1指出下列各组命题中p是q的什么条件?(1)p:m为有理数q:m为实数(2)p:x21=0q：x1=0(3) p:内错角相等(4) p:四边相等方形(5) q:0工0(6) p:a、b者E不为零(7) p:内错角相等(8) p:四边相等方形(9) q:0工0(10) p:a、b者E不为零q:两直线平行q:四边形为正p：abq:a、b不都为零2.已知a

16、>0，求证：x2>a的充要条件是|x|>.a.3.关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号实根的充要条件是什么？为什么？参考答案选择题1.B(提示；甲才乙乙=丙丁孑丙.由知甲=丁4.5.6.4.5.6.A<=>£且疋c,即A=BH由知丁才甲，故选B.D(提示：解不等式(1|x|(1+x)>0得xv1且xm1)AB填空题221.(1)=(xy6x+8y=(x+y)(xy)6x+8y=7(xy)6x+8y=x+y=7)(2)斗:(ab=0=a=0或b=0=/a=0)一12.a=0或a=1(提示：1)a=0时x=?v0；2)aMo时，=4

17、4a=0,a=1，此时x=1v0.aa=0或1.3 必要而不充分”x2+5x>0xV5或x>04 0VxV1解：吕U0VxV11x2>01VxV1(一) 解答题1.(1)p是q的充分而不必要条件.(2) p是q的必要而不充分条件.(3) p与q互为充要条件.(4) p是q的必要而不充分条件.(5) p是q的必要而不充分条件.(6) p是q的充分而不必要条件.2证明：(此题是二次不等式的开方解法)充分性：|X|>a>0|x|2=|x|x|>.a|x|>-.a:a，即x2>a 必要性：x2>a,a>0,xVa或x>a,当xva时，x

18、V0，故|x|=x,|x|V.、a.即|x|>.a;当x>a时，x>0，故|x|=x,二|x|>Ja，总之有|x|>Va3.解：关于x的实系数的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号实根的充要条件是acV0.证明：充分性：TacV0,4ac>0,=b24ac>0,设x1,x2为原方程的两个不等实根，又由韦达定理得：x1x2=a=CV0,从而x1,x2异号.即：acV0是关于cax的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号实根的充分条件.必要性；设X,X?是关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两c个异号实根，则x1x2=-V0,二

19、acV0.即：acV0是关于x的实系数a元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号实根的必要条件.综合(1)(2)可得原结论成立vaV0，贝Up是q的(A.充分非必要条件C.充分必要条件解析：选C.依题意得3.(2010年广州高中测试)已知p：关于x的不等式x2+2axa>0的解集是R,q：1)B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件2=4a+4av0,解得1vav0,得到p：1vav0,又因为q：1vav0,所以p是q的充分必要条件.练习2.(2009年高考浙江卷)已知a,b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0的()A.充分而不必要条件B.必要而

20、不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. (2009年高考北京卷)A.充分而不必要条件C.充分必要条件%6+2kn(kZ)”是“COS2.必要而不充分条件.既不充分也不必要条件i2”的(解析：选A./当cos2a=COS(36卜2kn(kZ)时,卜4kn)=2，71na=g+2kn(kZ)”是"cos2a12”的充分条件.而当a一6时，cos2a12,但一n“a=g+2kn(kZ)”不是“COs2a2”的必要条件.6. 已知直线y=2x上一点P的横坐标为a,有两个点A2,2),B(3,3),那么使向量PA与PB夹角为钝角的一个充分不必要条件是A.C.2vav2-；<av22.0vav2.0vav2解析：选B.Ra,2a),PA与P陕角为钝角的充要条件是PA-Pb<0，解得0vav2解析：选C.当a>0且b>0时，一定有a+b>0且ab>0.反之，当a+b>0且ab>0时，一定有a>0,b>0，故"a&