第3章第8节解三角形应用举例

1、20092013年高考真题备选题库第3章三角函数、解三角形第8节正弦定理和余弦定理的应用考点解三角形在实际中的应用1. (2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路12 3AC长为1260m，经测量，cosA=,cosC=-.13 5(1) 求索道AB的长；(2) 问乙出发多少分钟后

2、，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力.123(1)在厶ABC中，因为cosA=13，cosC=5，所以54sinA=13,sinC=5.5312463从而sinB=sinn-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x-+x-=13513565'由正弦定理-"AB=，得AB=CxsinC=L260x4=1040(m).sinCsinBsinB63565

3、所以索道AB的长为1040m.假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了(100+50t)m，乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2X130tx(100+50t)X乎=200(37t2-70t+50),13因0W弊1040，即°wtw8,故当t=H(min)时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BCsinA-ACB,得BC=sinBACsinBxsinA=1260X63話500(m).乙从B出发时，甲已走了50X(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.一5007101250625设乙步行的速度为vm/mi

4、n，由题意得3<-3,解得<v<，所以V504314为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在二!0,625(单4314位：m/min)范围内.2. (2010福建，12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小

5、时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S=900t故v=30时，t取得最小值，且最小值等于-.+400230t20cos90°-30°=,900t2600t+400=故当t=3时,Smin=10；：r'；3，此时3丄3即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.设小艇与轮船在B处相遇.则400t2.v2t2=400+900t222030tcos(90°30°)，故v2=900/0<vw30,.900罟+器w900

6、,即2此时，在OAB中，有OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行方向为正北方向.w0，解得t>3.tt32又t=3时,v=30.又轮船沿正东方向匀速行驶，3设小艇与轮船在C处相遇.在RtOAC中，0C=20COS30°=103,AC=20sin30=10.又AC=30t,OC=vt.此时，轮船航行时间t=10=3,V=吟卫=303.即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.猜想v=30时，小艇能以最短时间与轮船在D

7、处相遇，此时AD=DO=30t.2又/OAD=60°,所以AD=DO=OA=20,解得t=3.3据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°航行速度的大小为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.证明如下：如图，由得OC=10.3AC=10;故OC>AC，且对于线段AC上任意点P,有OP>OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A,C之间（包含C）的任意位置相遇.设/COD=6(0°9<90°),则在RtCOD中，CD=10>/3tan0,OD=型3COS0由于从出发到相遇，轮

8、船与小艇所需要的时间分别为10+10.3tanJ”.103t=30和t=30vcos010+1/3tan0_10石30vcos0'由此可得，15诵v=sin0+30°又v<30,故sin(0+30°)弓3所以,从而，30°W0<90°.由于0=30时，tan0取得最小值，且最小值为可.于是，当0=30。时，t=仍葺3喻0取得最小值，且最小值为3.303法三：（1）同法一或法设小艇与轮船在B处相遇依据题意得:v2t2=400+900t222030tcos(90°-30°),22(v2900)t2+600t400=0.(i)若0<v<30,则由=360000+1600(v2900)=1600(v2675)>0,得v>153.从而,300±20,v2675t=v2900，ve【15.3,30).当t=30020v2675v2900时,令x=v2675,贝Ux0,15),t=x2225X153'当且仅当x=0即v=15_3时等号成立.300+20%/v267524当t=v2900时，同理可得3<tw3由、得，当v153,3