第七章第七节立体几何中的向量方法(理)

1、第七章第七节立体几何中的向量方法（理）禾u用空间向量证明平行、垂直问题1. 在正方体ABCDAiBiCiDi中，若E为AQi中点，则直线CE垂直于（）B.BDD.AiAA.ACC.AiD解析：如图所示，易证BD丄平面AAiCiC，又CE?平面ACCiAi,BD丄CE.C.垂直D.不能确定又CD是平面BiBCCi的法向量,且MN2iCD=（3BiB+3BiCi）CD=0,MN/平面BiBCCi.答案：B答案：B2. 如图，在正方体ABCDAiBiCiDi中，棱长为a,M、N分别为AiB和AC上的点，AiM=人“=严，3则MN与平面BBiCiC的位置关系是（）解析：t正方体棱长为a,AiM=AN=

2、竽,3A相交B.平行MB=3為,CN=3CA,mN=MB+BC+CN=3AB+BC+2CA=3（聶+BB）+BC+3（CD+）2i=2+?BiCi题组利用空间向量求空间角3. (2010陕西八校模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中,C1<,DiN的值为M、N分别为棱AA1和BB1的中点，贝VsinB.；5解析：设正方体棱长为立空间直角坐标系，可知2，以D为坐标原点,CM=(2,DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴建cos,DiNsin4-5可.2,1),DiN=(2,2,1),答案：B4.(2009上海高考)如图，在直三棱柱求二面角B1A1CC1的大小.ABCA1B1C1中，AA1=

3、BC=AB=2,AB丄BC,解：如图，建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),设AC的中点为M,/BM丄AC,BM丄CC1.BM丄平面A1C1C,即BM=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y,z).AC=(2,2,2),AiB=(2,0,0),-2x=0,=-2x2y-2z=0,令z=1解得x=0,y=1.n=(0,1,1),设法向量n与BM(),二面角BiAiCCi的大小为0,显然0为锐角.的夹角为'cos0=|cos=nBMnBM1n2解得0=§_,n面角BiAiC一Ci的大小为3.题

4、组三综合问题5如图，PABCD是正四棱锥，ABCDAiBiCiDi是正方体,其中AB=2,PA=6.(1) 求证：FA丄BiDi；(2) 求平面FAD与平面BDDiBi所成锐二面角的余弦值.解：以Di为原点，DiAi所在直线为x轴，DiCi所在直线为y轴，DiD所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则Di(0,0,0),Ai(2,0,0),Bi(2,2,0),Ci(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(i,i,4).(i)证明：=(i,i,2),D1B1=(2,2,0),TP胡=2+2+0=0,FA丄BiDi.平面BDDiBi的法向量为AC=(2

5、,2,0).DA=(2,0,0),ClOP=(i,i,2).设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则n丄DA,n丄DP.取n=(0,2,1),设所求锐二面角为0,则|04+0|102/2X飞=5|2x=0,x=0,x+y+2z=0,y=2z,6. （2010广州调研）如图，已知等腰直角三角形RBC,其中/RBC=90°RB=BC=2点A、D分别是RB、RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD位置，使PA丄AB,连结PB、PC.求证：BC丄PB;求二面角ACDP的平面角的余弦值.解：证明：点A、D分别是RB、RC的中点,1AD/BC,AD=BC,/FAD=/RAD=/RBC=9

6、0°, FA丄AD,FA丄BC,/BC丄AB,FAAAB=A, BC丄平面FAB./PB?平面FAB,BC丄PB.(2)法一：取RD的中点F，连结AF、PF.RA=AD=1, AF丄RC./APIAR,APIAD, AP丄平面RBC./RC?平面RBC,RC丄AP.AFAAP=A,RC丄平面FAF./PF?平面PAF,RC丄PF./AFP是二面角ACDP的平面角.在RtRAD中,AF=2rd=2ra2+AD22,在RtPAF中，PF=PA2+AF2=¥，AFcos/AFP=PF=令x=1，得y=1,z=1,=xy=0=Xz=0n=(1,1,1).显然，PA是平面ACD的一个

7、法向量,PA=(0,0,1).cosn,PA>nPA1,3|n|PAV3x1_3.二面角ACDP的平面角的余弦值是可.7. (2009江西高考改编)如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.(1) 求证：平面ABM丄平面PCD;(2) 求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；解：法一：（1）证明：依题设知，AC是所作球面的直径,则AM丄MC.又因为PA丄平面ABCD,CD?平面ABCD,PA丄CD.又CD丄AD,ADAFA=A,所以CD丄平面FAD,/AM?平面FAD,CD

8、丄AM,又CDACM=C,所以AM丄平面PCD,/AM?平面ABM,所以平面ABM丄平面PCD.由知，AM丄PD，又PA=AD，贝UM是PD的中点，可得AM=22且M到平面ABCD的距离为2,MC=MD2+CD2=2,3,则SAacm=?AMMC=2=6,Sacd=4.设D到平面ACM的距离为h,由VdACM=VmACD，即26h=8,可求得h=号.设所求角为0,贝UsinB=cd=,即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为63.法二：（1）同法一;（2）如图所示，建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),CD=(2,0,0),AC=(2,4,0).由知，AM丄PD，又PA=AD，则M是PD的中点，故M(