第八章第五节直线、圆的位置关系

1、第八章第五节直线、圆的位置关系课下练兵场、难度及题号容易题r中等题稍难题知识点（题号）（题号）（题号）直线与圆的位置关系1、45、711圆的切线、弦长问题2、38、912圆与圆的位置关系6-、选择题1“k=1”是“直线xy+k=0与圆X2+y2=1相交”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件解析：i当k=1时，圆心到直线的距离d=鸟=子1，此时直线与圆相交，所以充分C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件|k|v,2,不一定k=1,所以必要性不性成立.反之，当直线与圆相交时，成立.答案：A2.直线x.3y+1=0与圆x2+y22x2=0相交于A,B两点，则线段AB的长度为（）A.1B.2C.2

2、D.22解析：本题解题思路是先利用圆的方程确定其圆心与半径，再由平面几何知识确定相应的弦长.注意到圆x2+y22x2=0,即（x1）2+y2=3的圆心坐标是（1,0），半径是3,因此|AB|=2（2（“；1）2=22.答案：D3.（2019安徽师大附中模拟）直线l:y=k（x2）+2与圆C：x2+y22x2y=0相切，则直线I的一个方向向量v=（）A.（2,2）B.（1,1）C.（3,2）D.（1,解析：由圆知圆心（1,1）,r=.2.”k|2=迈，二k=1，可知A符合题意.,1+k答案：A4如果直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P(a,b)与圆的位置关系是()AP在圆

3、外B.P在圆上CP在圆内D.不能确定解析：根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，一：一2<2,即a2+b2>4,寸a+b所以点P(a,b)在圆x2+y2=4的外部.答案：A5. 直线I与圆x2+y2+2x4y+a=O(av3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(一2,3),则直线I的方程为()A.xy+5=0B.x+y1=0C.xy5=0D.x+y3=0解析：结合圆的几何性质处理会更简捷.由圆的一般方程可得圆心0(1,2),由圆的性质易知0(1,2),C(2,3)的连线与弦AB垂直，故有kABxk°c=1?kAB=1,故直线AB的方程为：y3=x+2整理得：xy+5

4、=0.答案：A6. 已知圆x+=9与圆x+y4x+4y1=0关于直线l对称，贝U直线l的方程为()A.4x4y+1=0B.xy=0C.x+y=0D.xy2=0解析：由于两圆的圆心分别为(0,0)与(2,2)，则可知两圆圆心所在直线的中垂线方程为y+1=x1?y=x2，即直线l的方程为xy2=0.答案：D二、填空题7.若射线y=x+b(x>0)与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围为.解析：数形结合可以得到.答案：z2,18.过点M(1,2)的直线l将圆(x2)2+y2=9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为.解析：设圆心为N，点N的坐标为(2,0),由圆的性质得直线l与M

5、N垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l的方程为x2y+3=0.答案：x2y+3=09.从圆(x1)2+(y1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为.解析：记圆心为点C,圆心C为(1,1)，则|PC|2=5,切线长=.|PC|21=2.答案：2三、解答题10.已知：过点A(0,1)且斜率为k的直线I与圆C:(x2)2+(y3)2=1相交于M、N两点.(1)求实数k的取值范围；求证：AM-AN为定值.解：法一：直线I过点A(0,1)且斜率为k,直线I的方程为y=kx+1.将其代入圆C：(x2)2+(y3)2=1,得(1+k2)x24(1+k)x+7=0,由题意：=4(1+k)24

6、X(1+k2)x7>0,得丁vkv法二：同法一得直线方程为y=kx+1,即kxy+1=0.又圆心到直线距离=|2k3+1|=|2k2|dk2+1k2+1d=牛+21v1解得4；7vkv4+.73(2)证明：设过A点的圆的切线为AT,T为切点.则|AT|2=|AM|AN|,|AT|2=(02)2+(13)21=7,AM-aN=7.根据向量的运算:AM-AN=|AM|AN|cos0=7为定值.11.已知mR，直线l:mx(m2+1)y=4m和圆C：x2+y28x+4y+16=0.(1) 求直线l斜率的取值范围；(2) 直线l能否将圆C分割成弧长的比值为2的两段圆弧？为什么?解:(1)直线l的

7、方程可化为y=話x-，直线l的斜率k=希，因为|m|w；(m2+1),所以|k|=mSi"-，当且仅当|m|=1时等号成立.11所以斜率k的取值范围是1,I】.不能.1由知I的方程为y=k(x-4)，其中|k|w.圆C的圆心为C(4,-2)，半径r=2.2圆心C到直线I的距离d=2.x/1+k214r由|k|w2，得d>；>1，即d>-.从而，若I与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于1所以I不能将圆C分割成弧长的比值为2的两段弧.12.已知OM:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点，QA、QB分别切O(1)如果|AB|=字，求直线MQ的方程；3B两

8、点.(2) 求证直线AB恒过一个定点；(3) 求动弦AB的中点P的轨迹方程.解：(1)由P是AB的中点，|AB|=节,3可得|MP|=|MA|2-()2=1-(232由射影定理，得|MB|2=|MP|MQ|,得|MQ|=3,21)=亍在RtMOQ中,|0Q|=|MQ|2-|MO|2=32-22=5.故Q点的坐标为(.5,0)或(-5,0)所以直线MQ的方程是：2x+5y-25=0或2x-5y+25=0.(2)证明：设Q(a,0)，由题意知M,A,Q,B四点共圆，直径为MQ,上任一点，ARQR=0得，x(x-a)+(y-2)y=0.设R(x,y)是该圆即x2+y2-ax-2y=0.式与x2+(y-2)2=1联立，消去x2+y2项得两圆公共弦AB的方程为ax+2y=3,无论a取何值，直线AB恒过点(0,；).(3)连结MB,MQ，设P(x,y),Q(a,O)，点M、P、Q在一条直线上,.由射影定理有