第五章留数及其应用

1、第五章留数及其应用(Residueandapplication)第一讲授课题目：§5.1孤立奇点教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态学时安排：2学时教学目标：1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点：孤立奇点的分类教学难点：各类奇点的特征教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：P132133习题五：1-5板书设计：一、孤立奇点的分类二、各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系参考资料：1、复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、复

2、变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版.3、复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、复变函数与积分变换苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：§5.1孤立奇点(Isolatedsingularpoint)一、孤立奇点的分类(Isolatedsingularpointsof)设函数f(z)在去掉圆心的圆盘D:0|zzo|R(0R)内解析，那么我们称Z0为f(z)的孤立奇点.在D内，f(z)有洛朗展式f(z)n(zZ0)n,n其中f-d、n1uZ

3、0),(n0,1,2,)C是圆|zz°|(0R).n(zz°)n,为f(z)的解析部n0分，n(zZo)",为f(z)的主要部分.1sinz0是,ezn11-的孤立奇点.z1.1sinzz0n1,2,是它的孤立奇点.n一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负幕的情况(主要部分的情况)，可以把孤立奇点分类如下：定义(Definition)5.1(1)若f(z)在z。的主要部分为零，则称Z°为f(z)的可去奇点.(2)若f(z)在zo点的主要部分为有限多项.即mm(zZo)(Z(m1)Zo)1zZo则称Zo为f(z)的m阶极点.(3)若f(z)在Z

4、o点的主要部分有无限多项,则称Zo为f(Z)的本性奇点.二、各类奇点的特征(Thecharacteristicsofvarioustypesofsingularities)我们说z0是f(z)1、可去奇点(Removablesingularity)的可去奇点，或者说f(Z)在Zo有可去奇点.这是因为令f(Zo)0，就得到在整个圆盘|Zz0|R内的解析函数f(Z).定理(Theorem)5.1函数f(z)在D:0|zzo|R(0R)内解析，那么Z0是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，limf(z)o，其中o是一个复数.Z%证明：(必要性).已知zo是f(z)的可去奇点，在0|z勺

5、|R内，f(z)有洛朗展式：f(Z)01(ZZo).n(ZZo)n.因为上式右边的幕级数的收敛半径至少是R,所以它的和函数在|zz01R内解析，于是显然存在着limf(z)0.zz(充分性)设在0|zZolR内，f(z)的洛朗展式是nf(z)n(ZZo),n其中n-grd,(no,1,2,.)2i(zo)已知limf(z)o，所以存在着两个正数M及o(R)，使得ZZo在0|ZZo|o内，1 f(Z)|M,那么取，使得oo，我们有2 MInl2-Mfr(no,1,2,.)当no时，在上式中令趋近于o，就得到no(n1,2,3,.).于是zo是f(z)的可去奇点.定理(Theorem)5.1设zo

6、为f(z)的孤立奇点，则zo是f(z)的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数o(R)，使得f(z)在0|zZo|0内有界.2. 极点(Pole)设Zo是f(z)的m阶极点.当m1时，称Zo是f(z)的单极点，当m1时，称zo是f(z)的m重极点.Zo是f(z)的m(1)阶极点，那么在0|zZo|R内，f(z)有洛朗展式:m(zZo)(ZZo)zZo01(ZZo).n(ZZo)n在这里mO.于是在O|ZZo|R内f(Z)m(ZZo)(Zm1Zo)1ZZoo1(ZZo)n(ZZo)n1mZZo其中(z)是一个在|zzo|R内解析的函数，并且(zo)o.反之，如果函数f(z)在O|zZo|R内

7、可以表示成为上式右端的形状，而(z)是一个在|zZo|R内解析的函数，并且(zo)O，那么可以推出Zo是f(z)的m阶极点.这样我们就得到：Zo是f(z)的m阶极点充要条件是：£/、1f(z)mz(1)ZZo其中(z)在Zo解析，并且(Zo)O.由此可得如下定理：定理(Theorem)5.2设函数f(z)在D:O|zZo|R(OR)内解析，那么Zo是f(z)的极点的充分必要条件是：limf(z).zzo推论设函数f(z)在D：o|zZolR(OR)内解析，那么Zo是f(z)的m阶极点的充分必要条件是：lim(zzo)mf(z)m,zZo在这里m是一个正整数，m是一个不等于0的复常数.

8、3. 本性奇点(Essentialsingularity)定理(Theorem)5.3设函数f(z)在D:0|z昂R(0R)内解析，那么z是f(z)的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限limf(z).z1例3研究是函数fze'孤立奇点的类型1解：z0是函数fze"的孤立奇点.1当z沿正实轴趋近于0时，e7趋近于；1当z沿负实轴趋近于0时，e;趋近于0；11所以limez不存在，故z0是函数fzez的本性奇点.z0例4研究是函数fz匹孤立奇点的类型z解：z0是函数fz匹的孤立奇点.因为函数zfz驻在0|z|内的洛朗展式为zsinzz3!5!n2n(1)z(2n1)!

9、由于展式中负幕项系数均为0，故故z0是函数fzsinz可去奇点.例5求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点也要加以讨论:(1)f(z)sin4rz(2)f(z)(1解(1)(法一)f(z)以z0为奇点先求f(z)在0|z|的洛朗展式:n2n1f呀土当13zn1n2n1(1)z(2n1)!由此，f(z)在z0的负幕项部分为零;0为f(z)的可去(法二)sinzlimz06zsinzzcosz1因为lim3lim2z0z3z03z2故z0为f(z)可去的奇点(2)显然z1是f(z)的二级极点.三、函数的零点与极点的关系(Functionrelationshipbetweenthezero

10、andpole)定义(Definition)5.2若f(z)zz0mz，其中(z)在z°解析，且(z°)0，m是一正整数，则称z°为f(z)的m阶零占八、定理(Theorem)5.4若f(z)在z解析，则z为f(z)的m阶零点充分必要条件是fn(Z。)0n0,1,m1,fmZo0证明：(必要性)若zo为f(z)的m阶零点，则f(Z)ZZomZ设(z)在Zo的泰勒展式为(z)01(ZZo).n(ZZo)n其中o(Zo)0，从而f(z)在Zo的泰勒展式为f(z)moZZom11ZZo由此式推知fn(Zo)0n0,1,m1,fmZo(充分性)课后作业注1:不恒为零的解析

11、函数的零点是孤立的(Analyticfunctionisnotidenticallyzerozeroisisolated)零点与极点有如下关系1定理(Theorem)5.5z为f(z)的m阶极点，则z是的mfz阶零点，反之亦然.1例6函数fz有什么奇点？如果是极点，指出它们sinz的阶.解：sinz0zkk0,1,2,是函数f(z)的孤立奇点，由于(sinz)0k0,1,2,所以zkk0,1,2,都是sinz的一阶零点，也就是1fz一阶极点.sinz四、函数在无穷远点的性态(FunctioninthebehaviorofInfinity)定义(Definition)5.3设函数f(z)在无穷远

12、点的邻域R|z|内解析，则称无穷远点为f(z)的孤立奇点.在R|z|内，f(z)有洛朗级数展式：f(z)nznn(2)其中1，按照Rw10或R0，我们得到在0|w|R或R,n0,1,2,.)0|w|内解析的函数(w)f(-)，在0|w|-内其洛朗wR级数展式是：(w)bnwnn再用w1代入，得到在R1z|内zf(z)bnznn(3)(3)与(2)对比得nbn,n0,1,2,因此，有(1)在(2)中,如果当时n1,2,3,时,0，那么z是f(z)的可去奇点.(2) 在(2)中，如果只有有限个(至少一个)整数n0,使得n0，那么z是f(z)的极点设对于正整数m，m0，而当nm时，n0，那么我们称z

13、是f(z)的m阶极点.(3) 在(2)中，如果有无限个整数n0，使得n0,那么称z是f(z)的本性奇点注2：我们也称芒，忆：分别为级数説，的解n0n1n析部分和主要部分注3:若z为f(z)的可去奇点，也说f(z)在无穷远点解析.注4：有限点的结论都可以推广到无穷远点的情形，有定理(Theorem)5.6设函数f(z)在无穷远点的邻域R|z|(R0)内解析，则孤立奇点z为f(z)的可去奇点、极点、本性奇点的充分必要条件是存在着有限、无穷极限limf(z)、不存在有限或无穷的极限limf(z).zz1例7求函数f(z)丄在的去心邻域内的洛朗展式，z(z1)并指出其收级域.解：因f(z)在1|z|内

14、解析，故在此领域内展为洛朗级数.11111111111z(z1)z1zz11zznnzn0zzn1z1nn2z例8函数f(z)12z3z24z3是否以z为孤立奇点？若是，属于哪一类？解：函数f(z)12z3z24z3在全平面上解析，式子本身就是f(z)在无穷远点的邻域|z|内的洛朗展式，所以z是函数f(z)的孤立奇点且为三阶极点.例9函数f(z)-是否以z为孤立奇点？sinz1解：函数f(z)在全平面上除sinz的零点以外为解sinz1析，但sinz的零点Zkkk0,1,2,，它们都是f(z)sinz的极点，且在扩充复平面上，序列Zk以z为聚点，因此1z不是函数f(z)的孤立奇点.sinz&#

15、167;5.2留数留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数3、了解留数的概念留数定理留数的求法讲授法多媒体与板书相结合P132133思考题：1，2，3.习题五：6-8一、留数定理二、留数的求法三、函数在无穷远点的的留数1 复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版社.3 复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.4 复变函数与积分变换,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、会求留数2、能理解留数的概念3、课后要答疑第二讲授课题目：&#

16、167;5.2留数教学内容：留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数.学时安排：2学时教学目标：1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数3、了解留数的概念教学重点：留数定理教学难点：留数的求法教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：P132133思考题：1，2，3.习题五：6-8板书设计：一、留数定理二、留数的求法三、函数在无穷远点的的留数参考资料：1、复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版.3、复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、复变函数与积分变换苏变萍陈东立编

17、，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求留数2、能理解留数的概念3、课后要答疑教学过程：§5.2留数(Residue)留数的概念及留数定理Theconceptoftheresidueandtheresiduetheorem)设函数f(z)在点Z)解析.作圆C:|zz0|r，使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分Cf(z)dz0设函数f(z)在区域0|zz0|R内解析.选取r，使0rR，并且作圆C:|zzo|r，那么如果f(z)在z°也解析，则f(z)dz0;如果z是f(z)的孤立奇点，则积分f(z)dz就CC不一定等于零；关于f(z)dz的

18、计算有C定义(Definition)5.4如果z0是f(z)的孤立奇点，函数f(z)在区域0|zz01R内解析.则称积分匚f(z)dz为2iCf(z)在孤立奇点z的留数，记作ReSfz,z0)，这里积分是沿着C按逆时针方向取的.注1:我们定义的留数Resfz,z。)与圆C的半径r无关.事实上：在0|zz°|R内，f(z)有洛朗展式：f(z)nn(zZ°)，n1当n1时，1丄2iCf(z)dz有Cf(z)dz2i1即,ReSfz,Z0)1.(1)这就是说f(z)在孤立奇点z。的留数等于其洛朗级数展式中的系数.zz°11解：在0|Z|内111f(z)zeZz12!z3

19、!z所以Resf1z,0)1-例1求f(z)zeZ在孤立奇点z0处的留数2!定理(Theorem)5.7(柯西留数定理)(Cauchyresiduetheorem)设f(z)在D内除去有孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么nCf(z)dz2iResfz,Zk,k1证明：以D内每一个孤立奇点Zkk1,2,n为心，作圆k使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点.根据柯西定理有f(z)dzf(z)dz,k1k1由此得舊Cf(z)dz"ikf(z)dz，nz,Zkf(z)dzResfC2ik1Cf(z)dz2

20、iRe$fz,Zk,k1二、留数的求法(MethodofCalculatingtheresidue)法则1:设z0是f(z)的一个一阶极点.则Re$fz,Zolim(zz°)f(z)(3)zz0证明：Z0是f(z)的一个一阶极点.因此在去掉中心Z0的某一圆盘内(zz0)，f(z)1zZ0其中(z)在这个圆盘内包括zz0解析，其泰勒级数展式是:(z)n(ZZ°)n,n01而且0(z。)0.显然，在f(z)的洛朗级数中的系数等zZ0于(Z。)，因此Re$fz,z°Z0limzlim(zz0)f(z)ZZoZz0例2求函数f(z)rryrr在各孤立奇点处的留数110解：

21、由于z0,25是f(z)的一阶极点，有Resfz,0limzf(z)limz0z0z2z5Resfz,2I段(z2)f(z)5zzm2Hz11Resfz,5lim(z5)f(z)limz5z5zz235法则2:设f(z)巳可其中P(z)及Q(z)在zZo解析，Q(z)P(z。)0,zo是Q(z)的一阶零点，那么zo是f(z)的一阶极点,且Resfz,zoPzoQzo(4)证明：利用法则1注意下面式子ReSfz,zolim(zz°)f(z)zzolim(zzzoz)P(z)PzooQ(z)Q(zo)QZo即可得证例3函数f(z)解：因为函数有两个一阶极点z由法则2Resfziz1ez2

22、在极点处的留数f(z)ize1z，且P(z)1ize,Q'(z)2zizi:zizi2e(5)izeResfz,i2zie-zi2Resfz,z°(m1)!zzqm1(zz°)mf(z)m1dz法则3:设zq是f(z)的一个m阶极点.则则有Resf(z),1例4求函数f(z)ze2z在z0处的留数解：因z0是f(z)的二阶极点，则有公式(5)212dz21ReqfzQ亠limd(z0)flim(21)!zq宀21z0、函数在无穷远点的的留数(FunctionInfinityresidue)定义(Definition)5.5设z为f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在R

23、|z|内解析，则称1f(z)dz,(:zR)为f(z)在点z的留数.记为Resf(z),.这里是指顺时针方向.注3：若f(z)在R|z|内的洛朗展式为注4:f(z)的有限可去奇点a处，有Resf(z),a0,但是如果点为f(z)的可去奇点(或解析点)，则Resf(z),可以不是零.1例如Res,1z定理(Theorem)5.8如果f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为a-i,a2,an,，则f(z)在各点的留数总和为零证明：对于充分大的正数R,使a!,a2,an全在|z|R内，由留数定理得|Rf(z)dzResfz,akk1卅f(z)dzResf(z),证明：在无穷

24、远点留数定义中，令z1e1.并令z一，经n故得Resfz,akResf(z),0.k11法则4:Resf(z),Res-yf,0zz过化简即可得证.例5求函数f(z)10Z423(z2)z2在它各有限奇点的留数总和.2k1.i解：函数的有限奇点是2及zk42e4(k0,123)，共五个.其中2是三阶极点，每个Zk是二阶极点，显然，逐个求出在各奇点的留数，不论用规则2或展开洛朗级数，都是十分麻烦的，现在我们利用定理5.8来求:3Resfz,2Resfz,ZkResfz,0k0而Resfz,Resf1g,0zz1cRes2,0z12z412zzljm42z12z412z3所以欲求的留数之和为1注5

25、:定理5.8为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法.如下例解：Resf计算积分10dzCziz1z外，被积函数的奇点是zResfz,1Resfz,3，其中C为正向圆周3i,1,3，据定理5.8有Resfz,0,其中由于zdz2iResfz,iDaof4Cz.10iz1z厶31厶2iResfz,3Resf:z,2i10i23i1003.10i§5.3留数在定积分中的应用形如I*§5.4对数留数与辐角原理R(sint,cost)dt的积分、形如R(x)dx型积分、形如20R(x)eimxdx的积分.对数留数、辐角原理、儒歇(Rouche)定理.2imx1、熟练掌握IR(s

26、int,cost)dt、R(x)dx、R(x)eimxdx的计算方法2、掌握儒歇(Rouche)定理及其应用3、正确应用辐角原理4、了解对数留数2形如IR(sint,cost)dt的积分，辐角原理形如R(x)eimxdx的积分，辐角原理讲授法多媒体与板书相结合P132133思考题：1，2，3.习题五：6-8一、形如I20R(sint,cost)dt的积分二、形如R(x)dx型积分三、形如R(x)eimxdx的积分四、对数留数五、辐角原理六、儒歇(Rouche)定理1 复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版社.3 复变函数论，(钟玉

27、泉编，高等教育出版社，第二版)2005.4 复变函数与积分变换,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、不能正确掌握R(x)eimxdx22、会求形如I0R(sint,cost)dt的积分3、能正确运用儒歇(Rouche)定理4、辐角原理掌握不太好5、课后要答疑第三讲§5.3留数在定积分中的应用(Residueintheapplicationofdefiniteintegral)在数学分析中往往要计算一些定积分或反常积分，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者可以求出原函数，但计算也非常繁琐.在这种情况下把这些定积分的计算问题，转化为计算某些解析函数在孤立

28、奇点的留数.下面通过例子进行讨论.形如IR(sin,cos)d的积分,令zei，则dzieiddzizsin1zz2icos其中Rsin,cos是sin,cos的有理分式，当时,z沿单位圆1的正向绕行一周，因此有2R(sin,cos)d42iiz(1)其中常数计算积分dasin解：令zdzieiddziz由(1)I2dz2)z1z2iaz1于是应用留数定理，只需计算z22iaz1在B内极点处的留数，就可求出.上面的被积函数有两个极点：召iaia21及Z2iai.a21.显然|乙|1,211.因此被积函数在|z|1内2只有一个极点乙，f(z)七厂在极点乙的留数为Resfz,乙1_2z12iai、

29、a212于是求得2la21a21形如R(x)dx型积分其中Rz器为有理分式函数.定理5.9设Rz鵲为有理分式,其中P(z)a°zmdzm1am，Co0;Q(z)b°zndzn1bn，bo0R(x)dx2iRes(R(z),zQImzk0(2)例2计算积分0x2dx22(x1)(1)nm2,即Qz比Pz至少咼两次,Qz在实轴上无零点，R(z)在上半平面Imz0内的极点为为互质多项式，且合条件:Zk(k1,2,n).2z(z1)解：因为被积分函数是一个偶函数，所以22xdx1x222?dxf(z)0(x21)22(x21)2它一共有两个二阶极点zi，在上半平面只有zi一个极点,

30、由公式ReSfz,z01(mdlim1)!z20m1(zZ°)mf(z)m1dzResfz,i)limzii)2由（2）得x2dxT22(x1)rdx1)212计算积分dx,(x1)解:因为被积分函数是个偶函数，所以dx11dxf(z)1o(x21)22(x21)2f(z)(z21)2它一共有两个二级极点zi，在上半平面只有zi一个极点,由公式ReSfz,zo1(mdlim1)!z帀m1(zz0)mf(z).得m1dzResfz,i)limzi(z由（2）得dx0(x21)212(x2飞dx1)注1：通过上述二例，一般形如R(x)dx,的积分，其中Rx是有理分式，分母在实轴上不为零，

31、并且分母的次数比分子的次数至少高2次.都可以用上述方法来计算三、形如R(x)eimxdx的积分.其中Rz器为有理分式函数.定理(Theorem)5.10设Rz巴可为有理分式函数Q(z)其中Qz与Pz为互质多项式,且满足条件：(1) Qz的次数比Pz的次数高，(2) Qz在实轴上无零点，(3) m0则有R(x)eimxdx2iRes(R(z)eimz,aQ(3)Imak0注2：将上式实，虚部分开，得到形如：cosmxdx和-P(x)sinmxdx的积分.Q(x)Q(x)例4计算积分Icosmx_FFdx解：因为被积函数为偶函数.所以cosmx,dx1x2cosmx,dx1x2而由(3)imxe2

32、dx2iRes1ximze2,i1zimieme2i比较等式两端的实，虚部得I同时也可求得：1x2注3:公式（2）与（3）都要求Qz在实轴上无零点,即Rz在实轴上无孤立奇点，若Rz在实轴上有孤立奇点，则f(x)dx2iRes(f(z),zk)Imz<01nResfzx2ki(4)其中Zk是上半平面的奇点,Xk是实轴上的奇点.0例5计算积分sinx,dx0xlImixdxx解：因为被积函数为偶函数所以sinx,1sinx,dxdx0x2x驻在上半平面内无奇点,Xk是实轴上有奇点由公式Z(4)ixdxx2i01Res2ize-,0zizeilimziz0z比较等式两端的实，虚部得sinx,d

33、xx所以Isinx,dx2§5.4对数留数与辐角原理(Logarithmicresidueandargumentprinciple)一、对数留数(Residualoflogarithm)定义(Define)5.6形如丄丄dz的积分称为fz的2iCf(z)对数留数，注1:函数fz的零点和奇点都可能是鳥的奇点-引理(Lemma(1)设a是fz的n阶零点，贝Ua必为函数詈的一阶极点，并且Res詈a(2)设b为fz的m阶极点.则b必为函数丄辺的一阶极f(z)点，并且Res丄0,bmf(z)定理(Theorem)5.11设fz在简单闭曲线C的内部除可能有极点外是解析，并在C上解析且不为零，则有

34、丄CrdzN(f,C)P(f,C)2iCf(z)其中Nf,C表示C内部零点的总个数，Pf,C表示C内部极点的总个数，m阶零点或极点算m个零点或极点证明；由已知条件，可知fz在C内部至多有有限个零点和极点，设a_(k1,2p)为fz在C内部的不同零点，其阶为nk；bj(j1,2q)为fz在C内部的不同极点，其阶为mj由上述引理知f(z)f(z)在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak,(k1,2p)及bj(j1,2q)外均是解析的，故有留数定理及引理得丄2ipnkk1pk1ReSf(z)f(z),akqReq竺j1f(z)山dzCf(z)q(mj)N(f,C)P(f,C)j1,bj、辐角原理(A

35、ngleprincipleofthespoke)为了说明对数留数的几何意义，我们将对数留数写成1f(z)C2iCf(z)dz=2Cd訓f(z)dz#Cdlnf(z)1=石Cdln|f(z)iCdargf(z)函数Inf(z)是z的单值函数，当z从z。起沿简单闭曲线C一周回到z0时有Cdlnf(z)lnf(z。)lnf(zo)=0另一方面，当z从Z0起沿正方向绕行简单闭曲线一周回到Z0时,argf(z)的值可能改变.于是dz=i(io)2iCargf(z)2式中cargf(z)表示z沿C正方向绕行一周后argfz的改变量，是2的整倍数.定理(Theorem)5.12(辐角原理)在定理5.11的条件下，fz在闭曲线C的内部的零点个数与极点个数之差，等于当z沿C正方向绕行一周后a