圆锥曲线轨迹问题

1、建设现代化（检验）有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方 程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质； 另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯 穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均 有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考 的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题 和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、

2、三角、向量、几何等知识，能很好 地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐 标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需 要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2, 0）,圆C的方程为x2 + 12 = 1，动点M到圆C的 切线长与MQ 的比等

3、于常数入0），求动点M的轨迹。'2 J Q x【解析】设MN切圆C于N,则MN2 = Md2匕刈2。设M（羽y），则qx2 + y2 1 = X q（x - 2）2 + y2化简得（九2 1）（x2 + y2）一 4九2x + （1 + 4九2）= 0（1）当X= 1时，方程为x = 5，表示一条直线。4（2）当X。1时，方程化为（x-±）2 + y2= 1 + 3X2表示一个圆。X2 1“（X2 1）2 如图，圆q与圆d2的半径都是1，01%= 4.过动点P分别作圆d2、圆巴的切线PM，PN（ M，N分别为切点），使得PM =五PN .试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方

4、 程.【解析】以Q%的中点0为原点，0102所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标 系，贝U0(2，0)， 02(2，0).由已知 PM =、.五PN，得 PM 2 = 2 PN 2.因为两圆半径均为1，所以P02 1 = 2(P02 1).设 P (x，y)，则(x + 2)2 + y 2 1 = 2(x 2)2 + y 2 1，即(x 6)2 + y 2 = 33 .(或 x2 + y 2 12x + 3 = 0)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补，2、求轨迹方程一般只要求出方程即可求轨迹却不仅要求出方程而且

5、要说明轨迹是什么。2 .定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。且与直线x = -p相切，其中p > 0. 一，一 一二p 、例2、已知动圆过定点p,02 ,求动圆圆心C的轨迹的方程;【解析】如图，设M为动圆圆心，fP,0为记为F，过点M作直线x = -P的垂线，垂 12 ）2足为N，由题意知：|MF| = |MN|即动点M到定点F与定直线x = -P的距离相等，由抛物线 1112的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（P ,0为焦点，x = -P为准线，所以轨迹方程为 12 ）2y 2 =

6、2 px (P > 0)； 已知圆O的方程为X2+y2=100，点A的坐标为（-6, 0），M为圆O上任一点，AM的垂 直平分线交OM于点P，求点P的方程。【解析】由中垂线知，|PA| = |PM|故pA + p）O = |PM| + |PO| = |OM| = 10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为生32 + y2 = 1252516 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB| = |BC|=6,。'切直线l于点A,又过B、 C作。O'异于l的两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.【解析】设过B、C异于l的两切线分别切。O&

7、#39;于D、E两点，两切线交于点P.由切线 的性质知：|BA| 二 |BD|, |PD| = |PE|, |CA| = |CE|,故|PB| + |PC| = |BD| + |PD| + |PC| = |BA| + |PE| + |PC| 二 |BA| + |CE| = |AB| + |CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：上十二=1 81 72评析：定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成

8、轨迹的动点P（x,y）却随另一动点Q（x,，y'）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y,表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。垂足为N。求线段QN的中P例3、如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线 点P的轨迹方程。【解析】设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x ,y）则 N( 2x-x ,2y-y )代入 x+y=2,得 2x-x +2y-y =2即 x-y+y -x =0又P

9、Q垂直于直线x+y=2,故y - y 1 = 1% - %131由解方程组得 = - % +1 y -1, y 122双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0 已知椭圆%2 +二=1(a > b > 0)的左、右焦点分别是F1 (c, 0)、F2 (c, 0), Q是 a 2b 2满足 PT - TF = 0,I TF I。0.椭圆外的动点，满足I F1 Q = 2.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且求点T的轨迹C的方程;【解析】解法一：（相关点法）设点T的坐标为（%, y）,当| pt |= 0时，点（a，0）和点（一a , 0）在

10、轨迹上.当1 PT lw 0 且 ITq'lw 0 时，由 PT - TF?= 0，得 PT 1TF?.又I PQ l=l PF? I，所以T为线段f2q的中点._ x' + c设点q的坐标为(x，, y)，则r=丁， 卜=9.因此卜'=2x c,y，= 2y.由1 FQ l= 2a 得(x' + c)2 + y'2= 4a2.1将代入，可得x 2 + y 2 = a 2.综上所述，点T的轨迹C的方程是x2 + y2 = a2. 解法二：（几何法）设点T的坐标为（x, y）.当 l pt l= 0时，点（a，0）和点（一a , 0）在轨迹上.当PT lw

11、 0 且 l TF10 时，由 l PT l - l TFl= 0，得 PT 1 Tf.又l PQ l=l PF ，所以T为线段F2Q的中点.在QF F 中，l OT l=、FQ l= a，所以有x2 + y2 = a2.1221综上所述，点T的轨迹C的方程是x2 + y2 = a2.评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点 法。四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助 中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹 方程。例4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点

12、O的两不同动点A、B 满足AO±BO （如图4所示）.求4AOB的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程;【解析】解法一：以0A的斜率k为参数由；二气解得A (k, k2)VOA±OB,AOB：1 A设AAOB的重心6 (x, y),k - k J1k 2 + k 22消去参数k得重心6的轨迹方程为y = 3 x 2 + 3x + xx = 2解法二：设4AOB的重心为6乂丫)小区必)区,丫2)，则,(1)3y + yy = t23VOAXOB kA - kB =1，即x1 x2 + y 1y2 =-1, (2)又点A, B在抛物线上，有yxj yx;，代入(2)化简

13、得xj2 =-1. y + y 1 /、 1122, y = l2- = (x2 + x2) = (x + x )2 - 2x x = x (3x)2 + = 3x2 +331273lv 1271 23'，33所以重心为G的轨迹方程为y = 3x2 +1。 如图，设抛物线C : y = x2的焦点为F,动点P在直线l: x - y - 2 = 0上运动，过P作 抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求4APB的重心G的轨 迹方程.l【解析】设切点A、B坐标分别为(x,x2)和( ,x2)(x丰x ), 01110，切线AP的方程为：2xx - y - x2 =

14、 0;00切线BP的方程为：2xix - y - x2 = 0;解得P点的坐标为：x = "E, y = xxp 2 p 0 i所以AAPB的重心G的坐标为x。二 P二xp ,y + y+ yx2+ x2+ x x (x+ x )2 一 x x 4x 2- yy = 01p- =010- = 010- = pp,G 3333所以y =-3y +4x2，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： pG G1 ,x - (-3 y + 4x2) - 2 = 0,即y = 3 (4x 2 - x + 2).评析：1 .用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也

15、是学生较难 掌握的一类问题。2 .选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、 定比、角、点的坐标等。3 .要特别注意消参前后保持范围的等价性。4 .多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参(特殊 情况下，能整体处理时，方程个数可减少)。五、交轨法： 求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点 时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以 说是参数法的一种变种。例5、抛物线y2 = 4px(p > 0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在 直线AB上的射

16、影M的轨迹。解1 (交轨法)：点A、B在抛物线y 2 = 4 px (p > 0)上，设A( 2i ,y )，B( ”, y )所 4 p A4 p B以 koA=±p koB=4p,由 OA 垂直 OB 得 kOA k = -1，得 yAYB= -16p2 ,又 AB 方程可求得OA >OB yOA OBA B/ A)B上4一二（x ，即（yA+yB） y-4px-yAyB=0* yAyB= -16p2 代入得 AB 方程（yA+yB） y2y24 p4- B4 p 4 py-4px+16p2 =0 又 OM 的方程为 y = L ；b x 由消去得 yA+yB 即得x

17、2 + y2 - 4px = 0 ,即得（X-2p）2 + y2 = 4p2。所以点M的轨迹方程为（x - 2p）2 + y2 = 4p2,其轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆, 除去点（0, 0）。评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得 到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解2 （几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16P2 =0可得AB过定点（4p,0）而 OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆。所以方程为（x - 2p）2 + y2 = 4p2，除

18、去点（0，0）。五、向量法:x 2y 2x y例6（心全国理）已知椭圆如图6,可+而=1，直线L： 12 + g=1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足IOQI - IOP 1 = 1 OR 12. 当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我 们引起高度重视的：1 .高考方向要把握高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法 等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。2 .“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，

19、求得方程还不够，还应指出方程所表示 的曲线类型（定形、定位、定量）。3 .抓住特点选方法处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时 一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不 再重复）。4 .认真细致定范围确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范 围时，应注意以下几个方面：准确理解题意，挖掘隐含条件；列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；推理要严密，方程化简要等价；消参时要保持范围的等价性；数形结合，查“漏”补“缺”。5 .平几知识“用当先”在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识

20、，其作用主要有：题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；简化条件式；转化化归。6 .向量工具“用自如”向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十 分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握，并能运用自如。巩固练习：1 .点M(x,y)与定点/(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比为2,则动点M的轨迹方程 为().A.B.x 2y 2+ = 143C. 3 x2- y2-34x+65=0D.3 x 2-y2-30x+63=0(目的：掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤，同时掌握双曲线第二定义，避免 错误使用)答案：D解析：','(.

21、-1)2 : y2 = 2,两边平方即得 3x2-y2-30x+63=0lx - 4I2 . P是椭圆上十二=1上的动点，作PD±y轴,D为垂足，则PD中点的轨迹方程为 169().A.x2 y2+ = 1916B,上 + 二=1649C.x2y2+ = 194D.x2 y2+ = 149(目的：掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤，理解其适用的题型) 答案： D解析：设PD中点为M(x, y),则P点坐标为(2x, y)，代入方程土 + = = 1,即得169x2y2+ = 1.493.已知双曲线x2 - V = 1,(a>0,b>0), 4、&是双曲线实轴的两

22、个端点,MN是垂直于实 a 2b 212轴所在直线的弦的两个端点，则A1M与A2N交点的轨迹方程是().A,上+二=1B,二+上=1C,上-强=1D.a 2b 2a 2b 2a 2b 2y 2x 2 r-=1a2b2(目的：熟悉参数法求轨迹方程的基本思路，理解相交点轨迹方程的解题技巧) 答案:A解析：设 M(x, y 1), N(x1，-y 1), A1M 与 A2N 交点为 P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0),则 A1 M 的方程是 上=上士巴,A2M的方程是上二二二巴,两式相乘，结合式-”=1即得.y x + a- y x - aa 2b 211114.抛物线的准线l的方程是y =1,且抛物线恒过点P (1,-1),则抛物线焦点弦的另一个端点Q的轨迹方程是().(B )A. (x -1)2=-8(y-1)B. (x -1)2=-8(y-1)(x =1)C.