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1、动力学专题动力学专题动力学普遍定理动力学普遍定理山西农业大学工学院山西农业大学工学院2工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理5-4 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用 第第 17章（章（5） 动力学普遍定理动力学普遍定理5-1 动量定理动量定理5-2 动量矩定理动量矩定理5-3 动能定理动能定理3工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 实际上的问题是实际上的问题是：(1) 联立求解微分方程联立求解微分方程(尤其尤其是积分问题是积分问题)非常困难。非常困难。(2) 大量的问题中，不需要大量的问题中，不需要了解每一个质点的运

2、动了解每一个质点的运动，仅需要研究质点系整体的仅需要研究质点系整体的运动情况。运动情况。动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述 对对质点质点动力学问题：可由前一章内容建立运动动力学问题：可由前一章内容建立运动微分方程求解。微分方程求解。 对对质点系质点系动力学问题：动力学问题： 可以逐个质点列出其可以逐个质点列出其动力学微分动力学微分方程联立求解，但求解过程很复杂。方程联立求解，但求解过程很复杂。4工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 本章将要讲述本章将要讲述求求解动力学问题解动力学问题普遍适用普遍适用的方法的方法, 即即动力学普遍定理动力学普遍定理(包括动量定理

3、、动量矩定理、包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理动能定理及由此推导出来的其它一些定理)，它们，它们揭示了质点和质点系揭示了质点和质点系动量，动量矩或动能的变化动量，动量矩或动能的变化与与其受力其受力的主矢、主矩或功的主矢、主矩或功之间的关系，可以求解质之间的关系，可以求解质点系动力学问题。点系动力学问题。 由于在理论体系上是从牛顿定律出发，推导出由于在理论体系上是从牛顿定律出发，推导出动力学普遍定理。因此，所用参考系，除特别说明动力学普遍定理。因此，所用参考系，除特别说明者外都应是惯性系。者外都应是惯性系。5工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力

4、学普遍定理5-1 动量定理动量定理1. 动量动量 在日常生活和工程实践中可看出，质点的速度在日常生活和工程实践中可看出，质点的速度和质量的乘积表征了质点机械运动的强弱，和质量的乘积表征了质点机械运动的强弱，例：枪例：枪弹：速度大，质量小；弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。船：速度小，质量大。 (2) 质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的 矢量和。矢量和。vmv(1) 质点的动量：质点的质量与速度的乘积质点的动量：质点的质量与速度的乘积 称为称为 质点的动量。质点的动量。 是瞬时矢量，方向与是瞬时矢量，方向与 相同。单位相同。单位 是是kg m

5、/s。 6工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 iiiiiirmttrmvmpdddd niiivmp1(17-1)式中式中n为质点数，为质点数，mi为为i 质点的质量，质点的质量， 为质点速度为质点速度矢量。矢量。iv 如如i质点的矢径为质点的矢径为 ，其速度为，其速度为 ，代入，代入式式(17-1)，因，因mi不变，则有：不变，则有：trviidd ir7工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理令令 为质点系总质量，与为质点系总质量，与重心坐标类似，定义质点系质量重心坐标类似，定义质点系质量中心（质心）中心（质心） imm代入上式

6、，得代入上式，得)317()(dddd CCiivmrmtrmtp)217( mrmriiC上式表明，质点系的动量等于质心速度与其全部上式表明，质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。质量的乘积。8工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质心是刚体内某一确定的点。对于质量均匀分布的规心是刚体内某一确定的点。对于质量均匀分布的规则刚体，质心就是几何中心，由式则刚体，质心就是几何中心，由式(17-3)可以方便可以方便的计算刚体或者刚体系统的动量。的计算刚体或者刚体系统的动量。)317()

7、(dddd CCiivmrmtrmtp9工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 曲柄连杆机构的曲柄曲柄连杆机构的曲柄OA以匀以匀角速度角速度w w 转动，转动，设设OA=AB=l ，曲柄，曲柄OA及及连杆连杆AB都是匀质杆，质都是匀质杆，质量各为量各为m，滑块，滑块B的质量的质量也为也为m。求当。求当j j = 45时，时，系统的动量。系统的动量。 例题例题 5-110工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 解：曲柄解：曲柄OA： 滑块滑块B： 连杆连杆AB： ( p为速度瞬心，为速度瞬心， )w ww w ABlpC；252w wl

8、vmC21 , 1 w ww wllvmABC2525 ,2 w wlvmC2 ,3 11工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理)101252221()2103252221()sin2545cos21()2cos2545sin21(jimljllilllm w w w ww ww w w ww wivvvmvmvmvmpCCCCCC)cossin( 321321 j j)sincos(21jvvCC j j )(2122的的单单位位矢矢量量，分分别别为为沿沿，yxjijiml w w12工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理思考题思考

9、题 5-1 质量均为质量均为m，长度均为，长度均为l的两相同匀质杆的两相同匀质杆AC0与与BC0以铰链以铰链C0相连接。两杆上各点的速度分布如图相连接。两杆上各点的速度分布如图所示，且其外端点所示，且其外端点A，B的速度矢相等，即的速度矢相等，即 。试计算该系统的动量。试计算该系统的动量。BAvv 13工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理讨论：注意讨论：注意vC0，质心，质心C不是铰链不是铰链C0（铰链（铰链C0速度速度为零）。质心为零）。质心C是空间运动的点，下一瞬时，将不是空间运动的点，下一瞬时，将不再与铰链再与铰链C0重合。重合。）（设（设vvvvmvmv

10、mmmmvmvmvmvBABACCiiiC 222221mvvmvmpC 222系统动量：系统动量：解：解：14工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理2冲量冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。如力如力 是常矢量，则此力的冲量为：是常矢量，则此力的冲量为

11、： (17-4)FtFI 15工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理冲量的单位：冲量的单位：Ns = kg m/s2 s = kg m/s 与动量与动量单位相同。单位相同。 如力如力 是变矢量（包括大小和方向的变化）：是变矢量（包括大小和方向的变化）：在微小时间间隔内，力在微小时间间隔内，力F的冲量称为元冲量。的冲量称为元冲量。F元冲量为：元冲量为：tFIdd 而力而力 在时间在时间t内的冲量为矢量积分：内的冲量为矢量积分： (17-5) ttFI0dF16工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理3.动量定理动量定理(1) 质点的动量定

12、理质点的动量定理式式(17-6)是质点是质点动量定理的微分形式动量定理的微分形式，即质点的，即质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力，或质点动量对时间的导数等于作用于质点的力，或质点动量的增量等于作用在质点上的元冲量。动量的增量等于作用在质点上的元冲量。)617(d)d()(dd tFvmFvmt或或)717(d00 tItFvmvm 式式(17-7)是质点是质点动量定理的积分形式动量定理的积分形式。对上式积分，时间由对上式积分，时间由0到到t，速度由，速度由 变为变为 ，得得0vv17工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 质点动量定理的积分形式，表明在某一时

13、间间质点动量定理的积分形式，表明在某一时间间隔内，质点动量的变化等于质点所受合力在此时间隔内，质点动量的变化等于质点所受合力在此时间间隔内的冲量。间隔内的冲量。量和。量和。的矢的矢的冲量等于各分力冲量的冲量等于各分力冲量即在同一时间内，合力即在同一时间内，合力，则，则，即，即合力为合力为，其，其，个力个力设作用于质点上的若干设作用于质点上的若干 inttnttttttinIIIItFtFtFtFIFFFFFF2121RRR21dddd2121212118工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理(2) 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的外力与内力质点系的外力与内

14、力 外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。点系中各质点的力。内力内力：所考察的质点系内各质：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的的主矢恒等于零主矢恒等于零，内力系，内力系对任一点（或轴）的主矩对任一点（或轴）的主矩恒等于零恒等于零。即：。即： 。或或 0)( 0)( ; 0) i () i () i (ixiOiFmFmF19工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理tFtFtFFvmiiiiiiddd)()(d) i ()e()e()

15、 i ( 设质点系有设质点系有n个质点，由质点动量定理，对质点个质点，由质点动量定理，对质点系内任一质点系内任一质点 i， 。或或 0)( 0)( ; 0) i () i () i (ixiOiFmFmF）（其中（其中0 dd)(d1) i (1) i (1)e(1 niiniiniiniiiFtFtFvm对整个质点系，有对整个质点系，有n个方程，相加得个方程，相加得因质点系动量增量为：因质点系动量增量为：pvmvmiiiid)(d)(d 20工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理上式可变为上式可变为 8)-(17ddd1)e(1)e( niiniiItFp9)-

16、(17 dd1)e( niiFpt式式(17-8)是是质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分形式，表明质点系，表明质点系动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和；式和；式(17-9)表明质点系动量对时间的导数等于作用表明质点系动量对时间的导数等于作用该质点系所受全部外力的主矢。该质点系所受全部外力的主矢。或或21工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理式式(17-10)为质点系为质点系动量定理的积分形式动量定理的积分形式，表明在某，表明在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时一时间间隔内，质点系动量的改

17、变量等于在这段时间内作用于质点系外力的冲量矢量和。间内作用于质点系外力的冲量矢量和。对对(17-8)式积分，得式积分，得)1017(- dd1)e(010)e(0 niinitippIpptFp或或 另外，从上述定理可看出，质点系的内力不能另外，从上述定理可看出，质点系的内力不能改变质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量改变质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。的传递。22工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 )e()e(e)dd, )1117(dd ddzzyyxxFtpFtpFtp (e)0(e)0(e)0zzzyyyxxxIppIppIpp(1

18、7-12) 动量定理是矢量式，在应用时常采用投影式，动量定理是矢量式，在应用时常采用投影式，如式如式(17-9)和式和式(17-10)在直角坐标系的投影式分别在直角坐标系的投影式分别为：为：23工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 由式由式(17-11)和式和式(17-12)，如果质点系受到外，如果质点系受到外力之主矢等于零，质点系的动量将保持不变，即力之主矢等于零，质点系的动量将保持不变，即 (3) 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 0恒恒矢矢量量 pp恒恒量量 xxpp0以上结论称为以上结论称为质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律。同样，如果质点系受到外

19、力之主矢在某一坐标同样，如果质点系受到外力之主矢在某一坐标轴上的投影等于零，质点系的动量在该坐标轴轴上的投影等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影也保持不变。如上的投影也保持不变。如 ，则，则 0)e( ixF 注意，质点系动量的投影为零，并不意味注意，质点系动量的投影为零，并不意味着每一质点动量投影都是零。着每一质点动量投影都是零。24工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 质量为质量为m2的大三角形柱体的大三角形柱体，放于光滑水平面上放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为斜面上另放一质量为m1的小三角形柱体的小三角形柱体，求小三角求小三角形柱体滑到底时形柱体滑

20、到底时，大三角形柱体的位移。大三角形柱体的位移。例题例题 5-225工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理解：选两物体组成的系统为研究对象。解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析：受力分析： , 0)e(xF水平方向水平方向px = 常量。常量。由水平方向动量守恒及初始静止；则由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()(0)(r12a12 vvmvmvmvmxx运动分析：设大三角块速度运动分析：设大三角块速度，小三角块相对大，小三角块相对大三角块速度为三角块速度为，则小三角块。，则小三角块。vrvreavvv 26工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普

21、遍定理动力学普遍定理)( 121r121bammmsmmmsx 所以所以 112r112rmmmssmmmvvxx 所以所以0)()(0)(r12a12 vvmvmvmvmxx27工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 质点系在力作用下其运动状态跟质点系质量分质点系在力作用下其运动状态跟质点系质量分布状态有关，前面定义了质心的位置，即布状态有关，前面定义了质心的位置，即4.质心运动定理质心运动定理(1) 质量中心质量中心 iiiCmrmr 质心位置反映出质点系质量分布的一种特征，质心位置反映出质点系质量分布的一种特征，在动力学中该概念具有重要地位，计算中常用直角在

22、动力学中该概念具有重要地位，计算中常用直角坐标下的投影式，即坐标下的投影式，即28工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理)1317( mzmmzmzmymmymymxmmxmxiiiiiCiiiiiCiiiiiC，(2) 质心运动定理质心运动定理 由式由式(17-3)知，质点系动量等于质点系质知，质点系动量等于质点系质量与质心速度乘积，则动量定理的微分形式可量与质心速度乘积，则动量定理的微分形式可写成写成 )(dd1)e( niiCFvmt29工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 对质量不变质点系，该式改写为对质量不变质点系，该式改

23、写为为为质质心心加加速速度度）（或或CniiCniiCaFamFtvm 1)e(1(e)dd(17-14)上式表明质点系质量与质心加速度乘积等于作用于上式表明质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质点系外力矢量和，称为质点系外力矢量和，称为质心运动定理质心运动定理；它同质点；它同质点动力学基本方程动力学基本方程 相似，可以把质点系质相似，可以把质点系质心运动看作一个质点的运动，此质点集中了质点系心运动看作一个质点的运动，此质点集中了质点系的质量，作用着质点系的全部外力。的质量，作用着质点系的全部外力。 Fam为质心坐标。为质心坐标。，式中式中系上投影：系上投影：式两边在固定直角坐标式两边在固定直

24、角坐标将将CCCizCiyCixCzyxFzmFymFxm)e()e()e(,)1417( 30工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理(3) 质心运动守恒定律质心运动守恒定律常量。常量。，则，则，且，且当当则它将保持不动。则它将保持不动。，且质心原为静止，且质心原为静止，当外力的主矢当外力的主矢 CCxixixvFF000)e()e( 从质心运动定理知，如果作用于质点系从质心运动定理知，如果作用于质点系外力外力主矢为零主矢为零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变，称为质心守恒。如果作用于质则质心位置不变，称为质心守恒

25、。如果作用于质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心速度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不变。则质心在该轴坐标不变。该结论称为该结论称为质心运质心运动守恒定律。动守恒定律。31工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 电动机的外壳固定在水平基础上，定子电动机的外壳固定在水平基础上，定子(包括包括外壳）重为外壳）重为P1，转子重为，转子重为P2，转子的轴通过定子的转子的轴通过定子的质心质心O1，但由于制造误差，转子的质心，但由于制造误差，转子的质心O2

26、到到O1的的距离为距离为e 。求转子以角速度求转子以角速度w w 作匀速作匀速转动时，基础作用在电动转动时，基础作用在电动机底座上的水平和铅垂约机底座上的水平和铅垂约束力。束力。例题例题 5-332工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 解解: 取整个电动机作为质点取整个电动机作为质点系研究，分析受力，系研究，分析受力， 受力图受力图如图。运动分析：定子质心如图。运动分析：定子质心加速度加速度 a1=0，转子质心，转子质心O2的的加速度加速度 a2=ew w2，方向指向，方向指向O1。teateayx sin , cos2222w ww ww ww w a1=0，

27、a2=ew w2根据质心运动定理，有根据质心运动定理，有xxixCixiFtemamFamR2222)e(cos , w ww w(m2=P2/g)33工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理tegPPPFtegPFyxw ww ww ww wsin ,cos2221R22R ,) e (iyCiyiFam21R222sin2PPFtegPamyy w ww wm1=P1/gxxixCixiFtegPamFamR2222)e(cos , w ww w所以所以:34工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理。)1(, )1(0,221min,

28、R221max,Rmin,R22max,RgePPFgePPFFegPFyyxxw ww ww w 可见，由于偏心引起的动反可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。力是随时间而变化的周期函数。其最大值和最小值为（按绝对其最大值和最小值为（按绝对值）：值）：35工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 浮动起重船浮动起重船, 船的重量为船的重量为P1=200kN, 起重杆的重起重杆的重量为量为P2=10kN, 长长 l=8m，起吊物体的重量为，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆杆OA与

29、铅直位置的夹角为与铅直位置的夹角为 1=60, 水的阻力不计水的阻力不计, 求求起重杆起重杆OA与铅直位置成角与铅直位置成角 2 =30时船的位移。时船的位移。例题例题 5-436工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm 解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。究对象。受力分析如图示，受力分析如图示，且初始时系统静止，所以系统且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标质心的位置坐标xC保持不变。保持不变。 0)e(xFm1=P1/g , m2=P

30、2/g , m3=P3/g37工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理设船的位移设船的位移 x，向右，杆的，向右，杆的质心水平位移质心水平位移2/)sin(sin2112lxx 重物的位移重物的位移lxx)sin(sin2113 0/ )sin(sin2/)sin(sin2113211211 lxPlxPxP 所以所以 0 0iiiixPxm所所以以38工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理)sin(sin)(2221321321 lPPPPPxm318. 0m)30sin60(sin8)2010200(220210 计算结果为负值，表

31、明船计算结果为负值，表明船的位移水平向左。的位移水平向左。39工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 1.为什么动量定理的微分形式可用其两边向任何为什么动量定理的微分形式可用其两边向任何轴（直角坐标轴与自然坐标轴）上投影来求解动力轴（直角坐标轴与自然坐标轴）上投影来求解动力学问题？动量定理的积分形式是否也可将其两边向学问题？动量定理的积分形式是否也可将其两边向自然坐标轴上投影来求解动力学问题？自然坐标轴上投影来求解动力学问题？ 2. 当质点系的动量守恒时，其中各质点的动量当质点系的动量守恒时，其中各质点的动量是否也必须保持不变？是否也必须保持不变？思考题思考题 5

32、-240工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 动量定理动量定理只揭示了质点和质点系动量变化与外只揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理只揭示了质心运动与力主矢的关系；质心运动定理只揭示了质心运动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。 下面介绍下面介绍动量矩定理动量矩定理，动量矩定理建立了质点动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系，从变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系，从另一个侧面

33、揭示出质点系对于某一点的运动规律。另一个侧面揭示出质点系对于某一点的运动规律。41工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理5-2动量矩定理动量矩定理vmrvmMO )(17-15) )()(vmMvmMzzO (17-16)动量矩的单位为：动量矩的单位为：kgm2/s1动量矩动量矩(1)质点的动量矩质点的动量矩 设质点某瞬时动量为设质点某瞬时动量为 ，其对，其对O点的位置为矢点的位置为矢径径 ，如图所示，定义质点，如图所示，定义质点M的动量对于的动量对于O点的矩点的矩为质点对点为质点对点O的动量矩，是矢量；定义质点动量的动量矩，是矢量；定义质点动量 在在Oxy平面平

34、面上上的投影（的投影（mv)xy对于点对于点O的矩，为的矩，为质点动量对于质点动量对于z轴的矩，简称对于轴的矩，简称对于z轴轴的动量矩，是代数量。表示如下的动量矩，是代数量。表示如下vmvmr42工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 正负号规定与力对轴之矩的规定相同，对着轴正负号规定与力对轴之矩的规定相同，对着轴正向看：顺时针为负，逆时针为正。正向看：顺时针为负，逆时针为正。 质点对于质点对于O点的动量矩矢在点的动量矩矢在z轴上的投影，等于轴上的投影，等于对对z轴的动量矩。轴的动量矩。 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动

35、转动的强弱。的强弱。 )()(mvMmvMzzO 43工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 质点系对点质点系对点O动量矩等于各质点对同一点动量矩等于各质点对同一点O的的动量矩的矢量和，或者称为质点系对点动量矩的矢量和，或者称为质点系对点O的主矩，的主矩，即即(2) 质点系的动量矩质点系的动量矩)1717()(1 iiniOOvmML 质点系对某轴质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩等于各质点对同一轴z动动量矩的代数和，即量矩的代数和，即)1817()(1 iinizzvmML利用式利用式(17-16)，得，得 )1917( zzOLL上式表明：质点系

36、对某点上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的动量矩矢在通过该点的的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。 44工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 刚体移动时，可把其质量集中于质刚体移动时，可把其质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩；刚体心，作为一个质点计算其动量矩；刚体作定轴转动时，其对轴作定轴转动时，其对轴z的动量矩为的动量矩为 niiiniiiiniiiiiinizzrmrrmrvmvmML12111)(w ww w令令 称为刚体对称为刚体对z轴的转动惯量，于是有轴的转动惯量，于是有zniiiJrm 12

37、)2017( w wzzJL即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。45工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理已知，滑轮已知，滑轮A：m1，r1，r1=2r2，J1；滑滑轮轮B：m2，r2，J2 ；物体物体C：m3；运动情况如图所示。；运动情况如图所示。求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。例题例题 5-546工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理11222321w ww wrrvv 3232222221)(vrmmrJ

38、rJLO OCOBOAOLLLL 2332222211)(rvmrvmJJ w ww w解：解：47工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理)(dddd)(dd)(ddvmtrvmtrvmrtvmMtO 2.动量矩定理动量矩定理(1) 质点的动量矩定理质点的动量矩定理对质点动量矩求一次导数，对质点动量矩求一次导数，得得FrvmvvmMtvtrFvmtO )(dddd,)(dd所以所以因为因为48工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理得得因因为为)(, 0FMFrvmvO )()(ddFMvmMtOO FrvmvvmMtO )(dd(17

39、-21)式式(17-21)表示质点对某固定点的动量矩对时间的导表示质点对某固定点的动量矩对时间的导数，等于质点上所受外力的合力对该点的矩，称为数，等于质点上所受外力的合力对该点的矩，称为质点动量矩定理质点动量矩定理。49工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理)()(dd ),()(dd ),()(ddFMvmMtFMvmMtFMvmMtzzyyxx )()(ddFMvmMtOO 上式的投影式分别为上式的投影式分别为即质点对某固定轴的动量矩对时间的导数等于质点即质点对某固定轴的动量矩对时间的导数等于质点所受外力的合力对该轴的矩。所受外力的合力对该轴的矩。50工程力学

40、教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理(2) 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理n个方程相加，有个方程相加，有n个质点，由质点动量矩定理有个质点，由质点动量矩定理有)()()(dd)e() i (iOiOiiOFMFMvmMt niiOniiOniiiOFMFMvmMt1)e(1) i (1)()()(dd由于由于0)(,dd)(dd)(dd) i (11 iOOniiiOniiiOFMLtvmMtvmMt51工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 上式表明质点系对于某固定点上式表明质点系对于某固定点O的动量矩对时的动量矩对时间的导数，等于

41、作用于质点系的外力对于同一点间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点的矩的矢量和（外力对点O的主矩），称为的主矩），称为质点质点系动量矩定理系动量矩定理，其投影式为：，其投影式为：于是于是 niiOOFMLt1)e()(dd niizzniiyyniixxFMLtFMLtFMLt1(e)1(e)1(e)(dd, )(dd, )(dd（17-22）52工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理(3) 动量矩守恒定理动量矩守恒定理 作用于质点的力对某固定点作用于质点的力对某固定点O的矩恒为零，则质的矩恒为零，则质点对该点的动量矩保持不变，点对该点的

42、动量矩保持不变，即即 恒矢量恒矢量 )(vmMO 作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即对该轴的动量矩保持不变，即 。恒量恒量 )(vmMz以上结论称为质点动量矩守恒定律以上结论称为质点动量矩守恒定律 同理，当外力对某固定点（或某固定轴）的主同理，当外力对某固定点（或某固定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是保持不变，这就是质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律。 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。5

43、3工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理运动分析：运动分析： ，j jj j2)(mllmlvmMO OMlv , j j由动量矩定理由动量矩定理)()(ddFMvmMtOO 微幅摆动时，微幅摆动时， 并令并令 ，则，则 , sinj jj j lg 2nw w02n j jw wj j 解：将小球视为质点。受力分析；解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。受力图如图示。 已知单摆已知单摆 m，l，t =0时时j j= j j0，从静，从静止开始释放。止开始释放。 求单摆的运动规律。求单摆的运动规律。0sin , sin)(dd2 j jj jj jj jlg

44、mglmlt 即即例题例题 5-6j jsin)()()(TmglgmMFMFMOOO 54工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：质点动量矩定理的应用： 在质点受有心力的作用时。在质点受有心力的作用时。质点绕某点（轴）转动的问题。质点绕某点（轴）转动的问题。解微分方程，并代入初始条件解微分方程，并代入初始条件 则运动方程则运动方程)0, 0(00 j jj jj jtglTtlg2,cos0 摆动周期摆动周期j jj

45、 j55工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理解：解： 系统的动量矩守恒。系统的动量矩守恒。 ， 0)()e(FMOrvvmrvmABAA)(0 2vvA 猴猴A与猴与猴B向上的绝对速度是一向上的绝对速度是一样的，均为样的，均为 。2v例题例题 5-7 已知：猴子已知：猴子A重等于猴子重等于猴子B重，猴重，猴B以相对绳速度以相对绳速度 上爬，猴上爬，猴A不动，问当猴不动，问当猴B向上爬时，向上爬时，猴猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）将如何动？动的速度多大？（轮重不计）v56工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理)()(dd1i

46、nizzFMJt w w 3. 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 如图示一定轴转动刚体，由质点系对如图示一定轴转动刚体，由质点系对z轴动量轴动量矩定理矩定理上式称为上式称为刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程。)(dd1inizzFMtJ w w或或）（也也可可为为2317) FMJzz ）（或或2417)(dd122 FMtJnizzj j57工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理4.刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量定义：刚体对任意轴定义：刚体对任意轴z的转动惯量定义为：的转动惯量定义为： niiizrmJ12转动惯量恒为正值，国际单

47、位制中单位为转动惯量恒为正值，国际单位制中单位为 kgm2 。（一）（一）匀质细直杆长为匀质细直杆长为l ，质量为，质量为m ，其分别，其分别对对z和和z轴的转动惯量轴的转动惯量(1) 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算2222121d mlxlmxJllz 202 31d mlxlmxJlz mrJmzd2若刚体的质量是连续分布，则：若刚体的质量是连续分布，则：58工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理（二）（二）匀质薄圆环半径匀质薄圆环半径R，质量为，质量为m ，其对中心轴其对中心轴z的转动惯量为的转动惯量为（三）（三）匀质圆板半径匀质圆板半

48、径R，质量为，质量为m ，其对中心轴其对中心轴z的转动惯量的转动惯量222mRmRRmJiiz 2d2RmrrmAAiii 24302142d2mRJRrrJOARAO 或或所以所以 任取一圆环，则任取一圆环，则59工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理(2) 回转半径回转半径即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径的平即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径的平方的乘积；方的乘积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。与密度无关。2zzmJ 则则mJzz 定义：定义：(3) 平行移轴定理平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等

49、于刚体对于过质心、刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即平方的乘积，即2mdJJzCz 60工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 )(222iiiiizCyxmrmJ )(222iiiiizyxmrmJ )( ,22dyxmJdyyxxiiiziiii所以所以因为因为 iiiiiiymddmyxm2)()(222证明：设质量为证明：设质量为m的刚体，质心为的刚体，质心为C，OzCz 2 0 , mdJJmyymmmzCzCiii所所以以因因为为刚体对通

50、过质心轴的转动惯量具有最小值。刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。61工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分先计算每一部分(物体物体)的转动惯量的转动惯量, 然后再加起来然后再加起来就是整个物体的转动惯量。就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分若物体有空心部分, 要要把此部分的转动惯量视为负值来处理。把此部分的转动惯量视为负值来处理。(4) 计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法62工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理盘盘杆杆OO

51、OJJJ 222221)(2131RlmRmlm )423(213122221lRlRmlm 解：解：已知：已知： 均质直杆均质直杆m1, l ；均质圆盘：；均质圆盘：m2 , R 。 求求 JO 。例题例题 5-863工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 两根质量各为两根质量各为m=8 kg的均质细杆固连成的均质细杆固连成T 字型，字型，可绕通过可绕通过O点的水平轴转动，当点的水平轴转动，当OA处于水平位置时处于水平位置时, T 形杆具有角速度形杆具有角速度w w =4 rad/s 。求该瞬时轴承。求该瞬时轴承O的约的约束力。束力。例题例题 5-964工程力学

52、教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 解：选解：选T 字型杆为研究对象。字型杆为研究对象。受力分析如图示。受力分析如图示。P=mg5 . 025. 0 mgmgJO 2222121712131mlmlmlmlJO 由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程) ( rad/s 20.75 5 . 08 . 9825. 08 . 98 5 . 08121722 65工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理根据质心运动微分方程，根据质心运动微分方程，得得OxxCxCFmama 21mgmgFmamaOyyCyC 21N 96N) 5 . 04 25. 0

53、4( 8)( 2221 xCxCOxaamF所所以以N 3 .32N ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982 OyF66工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理思考题思考题 5-3 图图 a、b中所示的两个滑中所示的两个滑轮轮O1和和O2完全相同，在图完全相同，在图 a所示情况中绕在滑轮上的绳所示情况中绕在滑轮上的绳的一端受拉力的一端受拉力 (F=P)作用作用，在图，在图 b所示情况中绳的一所示情况中绳的一端挂有重物端挂有重物A，其重量等于，其重量等于 。问两轮的角加速度是。问两轮的角加速度是否相同？等于多少？设绳重否相同？等于多少？设

54、绳重及轴承摩擦均可不计。及轴承摩擦均可不计。FP67工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理思考题思考题 5-4图示均质等截面直杆图示均质等截面直杆, 质量为质量为m, 已知已知 ，问是否问是否 。231mlJz 224843)43(mllmJJzz 68工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 5-3 动能定理动能定理 各种运动形式存在能量转换和功的关系，其表各种运动形式存在能量转换和功的关系，其表现为动能定理，与动量定理和动量矩定理用矢量法现为动能定理，与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理从能量角度研究动力学问题，研究不同

55、，动能定理从能量角度研究动力学问题，建立了与运动有关的物理量建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理动能和作用力的物理量量功之间的联系，有时可以方便有效地解决动力功之间的联系，有时可以方便有效地解决动力学问题。学问题。 在应用动量定理时，需要计算作用力在某一时在应用动量定理时，需要计算作用力在某一时间间隔内的冲量；而在应用动能定理时，则需要计间间隔内的冲量；而在应用动能定理时，则需要计算作用力在某一段路程内的功。算作用力在某一段路程内的功。69工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 cossFW 力的功是代数量。在国际单位制中，力的功是代数量。在国际单位制中，其

56、单位为其单位为1J=1Nm1. 力的功力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。图示质力的功是力沿路程累积效应的度量。图示质点在常力作用下，力点在常力作用下，力 的功定义为：的功定义为：F70工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理sFWdcos rFWd 或或 对变力的功，如图所示，对变力的功，如图所示，质点作曲线运动。在无限小位质点作曲线运动。在无限小位移移 中力中力 视为常力，视为常力，ds视视为直线，力为直线，力F的功称为元功，的功称为元功，记为记为d dW。则。则Frd71工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理力在全路程上作的功

57、为元功之和，即力在全路程上作的功为元功之和，即 21ddcos0MMsrFsFW kzj yi xrkFjFiFFzyxdddd, 因为因为则力从则力从M1到到M2过程作的功为过程作的功为 21)ddd(MMzyxzFyFxFW72工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理(1) 重力的功重力的功对质点系，重力功为：对质点系，重力功为：)()(2121CCiiizzmgzzgmW 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。mgPFFFz

58、yx , 0重力投影：重力投影：)(d2121zzmgzmgWzz 所以所以73工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理(2) 弹性力的功弹性力的功 弹簧原长弹簧原长l0，在弹性极限内，在弹性极限内F =kl l ，k为刚度系数，为刚度系数，表示弹簧发生单位变形时所需的力。单位表示弹簧发生单位变形时所需的力。单位N/m , N/cm。 2121ddl ll ll ll ll ll ll lrkFW如如图示图示F= k l l , (弹性力指向与弹性力指向与质点位移方向相反，弹性力质点位移方向相反，弹性力作的功为作的功为)(2 2221l ll l kW即即 弹性力的

59、功只与弹簧的起弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。质点运动的路径无关。74工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理转角转角j j与弧长与弧长s 的关系为的关系为ds=ridj jj jj jj jdd)(dddttziziiiMFMrFsFrFW 则力则力F 的元功为的元功为(3) 定轴转动刚体上作用力的功、力偶的功定轴转动刚体上作用力的功、力偶的功 设在绕定轴设在绕定轴 z轴转动的刚体上轴转动的刚体上Mi 点作用有力点作用有力 ，则力则力 在切线上投影为在切线上投影为Fit=Ficos iFiF75工程力学

60、教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 作用于转动刚体上力的功作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。等于力矩的功。 如果作用力偶，则力偶如果作用力偶，则力偶作的功仍可用上式计算。作的功仍可用上式计算。刚体从刚体从j j1到到j j2 转动过程中力转动过程中力F 作作的功为的功为j jj jj jd 21 zMWd dW=Mzdj j76工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案动力学普遍定理动力学普遍定理 1)万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。与路径无关。)11(120rrGmmW (4) 其它常见力作的功其它常见力作