第二章电磁场基本方程

1、电磁场与波电磁场与波1电磁场与波电磁场与波2u17851785年库仑定律的提出，电磁场定理分析的开始年库仑定律的提出，电磁场定理分析的开始u18311831年法拉第发现了电磁感应现象，导致发电机的发明和年法拉第发现了电磁感应现象，导致发电机的发明和人类电气时代的到来人类电气时代的到来. .u18641864年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组麦克斯韦方麦克斯韦方程组程组，它是宏观电磁现象的基本规律，是本书学习的它是宏观电磁现象的基本规律，是本书学习的核心核心. .本章将在复习本章将在复习“大学物理大学物理”电磁学部分的基础上，电磁学部分的基础上，导出麦氏方程组，

2、然后讨论它的边界条件、电磁场导出麦氏方程组，然后讨论它的边界条件、电磁场的能量关系和惟一性定理的能量关系和惟一性定理. .这些是本课程其它章节这些是本课程其它章节的共同基础。的共同基础。电磁场与波电磁场与波3电磁场与波电磁场与波yxzo1r1q2r12R12F2q2.1 静态电磁场的基本规律和基本场矢量静态电磁场的基本规律和基本场矢量1. 库仑库仑（Coulomb）定律定律(1785年年) 2.1.1 2.1.1 库仑定律库仑定律 电场强度电场强度静电场静电场：由静止电荷产生的电场由静止电荷产生的电场重要特征重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用；电场强度矢对位于电场中的电荷有电场力作用；电

3、场强度矢量是描述电场的基本物理量量是描述电场的基本物理量真空中静止点电荷真空中静止点电荷 q1 对对 q2 的作用力的作用力:121212122301201244q qq q RFRRR2. 电场强度电场强度 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即试验电荷）受到的作用力，即 描述电场分布的基本物理量描述电场分布的基本物理量,电场强弱电场强弱 电场强度矢量电场强度矢量试验正电荷试验正电荷 E000( )( )limqF rE rq电磁场与波电磁场与波5如果电荷是连续分布呢？如果电荷是连续分布呢？对于对于N N

4、个电荷所组成的系统，在空间个电荷所组成的系统，在空间任一点所产生的电场强度为：任一点所产生的电场强度为：yxzorqrREM单位：单位：V/mV/m（伏（伏/ /米）或米）或 N/CN/C （牛（牛/ /库）库）3200( )44qRqE rRRR()Rrr210( )4NiiiqE rRRqq1q2q3q4q5q6q7xyz电磁场与波电磁场与波6体密度为体密度为 的体分布电荷产生的电场强度的体分布电荷产生的电场强度小体积元中的电荷产生的电场小体积元中的电荷产生的电场( )rVyxzoriVrM( )r20( )1( )d 4vvrE rRvR面密度为面密度为 的面分布的面分布电荷的电场强度电

5、荷的电场强度( )sr线密度为线密度为 的线分布的线分布电荷的电场强度电荷的电场强度( )lr3020( )1( )d4( )1d4SSSSrRE rSRrRSR3020( )1( )d4( )1d4lClCrRE rlRrRlR电磁场与波电磁场与波72.1.2 高斯定理高斯定理1. 静电场的通量和散度静电场的通量和散度右图表示点电荷产生的电场强度，右图表示点电荷产生的电场强度，穿过以点电荷为心的球面穿过以点电荷为心的球面S S0 0，其，其电通量电通量 从而，包围从而，包围S S0 0作任意闭曲面作任意闭曲面S S，穿过，穿过S S0 0的电力线也必定全部穿过的电力线也必定全部穿过S S，即

6、穿过任意闭曲面通量的有效值相当于在球面上的投影，即穿过任意闭曲面通量的有效值相当于在球面上的投影，上式推广为上式推广为电磁场与波电磁场与波S内含内含N个点电荷或电荷体密度为个点电荷或电荷体密度为 时，得时，得8表明，表明，空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。静电荷是静电场的通量源。利用散度定理利用散度定理导出：导出：高斯定理积分形式高斯定理积分形式高斯定理微分形式高斯定理微分形式0( )( )rE r( )r表明，表明，电场强度矢量穿过闭合曲面电场强度矢量穿过闭合曲面S S的通量等于该闭合曲面所的通量等于该闭合

7、曲面所包围的总电荷与包围的总电荷与 之比之比。0电磁场与波电磁场与波以上讨论的是真空媒质的情形。对一般媒质，我们引入描述以上讨论的是真空媒质的情形。对一般媒质，我们引入描述电场的另一基本量电场的另一基本量- -电通（量）密度电通（量）密度 ，又称为电位移矢量。，又称为电位移矢量。DDE定义：定义：（C/mC/m2 2）介电常数，也称为电容率。真空中，介电常数，也称为电容率。真空中，=00( )( )rE r( )( )D rr高斯定理积分形式高斯定理积分形式高斯定理微分形式高斯定理微分形式电磁场与波电磁场与波1020( )1( )d 4vvrE rRvR21()RRR 又 0011( )( )

8、 ()d 4( )1d 4vvvvE rrvRrvR 0根据 0E电场为无旋场，即保守场电场为无旋场，即保守场2. 静电场的旋度静电场的旋度3-RR电磁场与波电磁场与波112. 静电场的旋度静电场的旋度 表明在静电场中，沿任意闭合路径表明在静电场中，沿任意闭合路径C的积分恒等于的积分恒等于0。其物理意义是将单位正电荷沿静电场中的任一个闭合路径移动其物理意义是将单位正电荷沿静电场中的任一个闭合路径移动一周，电场力不做功。一周，电场力不做功。利用斯托克斯定理利用斯托克斯定理导出：导出：静电场的基本性质静电场的基本性质（1）静电场是由通量源、不是由旋涡源产生的场；）静电场是由通量源、不是由旋涡源产生

9、的场；（2）静电场是有源无旋场。）静电场是有源无旋场。0CE dlSCE dSE dl 0lE dl0lE dl0E0( )( )rE r电磁场与波电磁场与波12 例例2.2.1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已知球体半径为已知球体半径为a ，电，电 荷密度为荷密度为 0 。 解：应用高斯定理，取半径为解：应用高斯定理，取半径为r r的同心球的同心球面为高斯面面为高斯面（2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强,ra200d4/vSvqESE nrdv0300431dSqSaE0330022033DEaaEDrr 01ddSVoE

10、SV302434orr E00,33orrED3300220,33aaErDrrr00,33orrErDr电磁场与波电磁场与波13 例例2.2.2 求真空中带电导体的电场强度和电通密度分布。已知求真空中带电导体的电场强度和电通密度分布。已知球体半径为球体半径为a ，带电导体电量为，带电导体电量为Q 。解题中注意以下几点：解题中注意以下几点：必须明确必须明确“导体的电荷分布于导体表面，孤立球的电荷导体的电荷分布于导体表面，孤立球的电荷均匀分布于球的表面均匀分布于球的表面”，由此可求出电荷面密度；，由此可求出电荷面密度；面元面元ds的选取及面积分积分顺序选取的技巧；一般的选取及面积分积分顺序选取的

11、技巧；一般2( sin) ()sindsadadad d 球外场点的电场与位于球心的点电荷球外场点的电场与位于球心的点电荷的电场相同，球内场强恒为零（静电的电场相同，球内场强恒为零（静电屏蔽）。屏蔽）。静电屏蔽：导体的外壳对它的内部起到静电屏蔽：导体的外壳对它的内部起到了了“保护保护”作用，使它的内部不受外部作用，使它的内部不受外部电场的影响电场的影响20( )1( )d4SSrE rRSR电磁场与波电磁场与波14解解 a) 介质层中的电场都沿径向介质层中的电场都沿径向 ，垂直于内外导体表面，其大小沿圆周垂直于内外导体表面，其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径方向是轴对称的。应用高

12、斯定理，取半径 长长1 1 的同轴圆柱为高斯面。的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与 相平行，因而没有通量相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。穿过，不必考虑。例例2.3 2.3 如图所示，同轴线的内外导体半径分别为如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a a和和b b。在内外导体间加电压。在内外导体间加电压U U，则内导体通过的电，则内导体通过的电流为流为I I，外导体返回的电流为，外导体返回的电流为-I-I。a)a)设内外导体上单位长度的带电量分别设内外导体上单位长度的带电量分别为为 ，求内外导体间的，求内外导体间的 ；b

13、)b)用电压用电压U U来表示，则来表示，则 = =？其最大值？其最大值 = =？c)c)若给定若给定b=1.8cmb=1.8cm，应如何选择，应如何选择a a以使用同轴线承以使用同轴线承受的耐压最大？受的耐压最大？图 同轴线ballDdsDls2,2lD 得得ll和ED及EMED于是于是2lDE电磁场与波电磁场与波15abddlEUllballn22故故 abUEln同轴线内最大电场强度同轴线内最大电场强度EMEM发生于内导体表面处：发生于内导体表面处： abMaUElnc) EMc) EM最大值发生于最大值发生于 0) 1(ln)ln(2abaUdadEabM得得 1lnabeab故故 c

14、meba662. 0718. 28 . 1 b) b) 电磁场与波电磁场与波16 当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。算电场强度。 总结：利用高斯定理计算电场强度总结：利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： 球对称分布球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。均匀带电球体均匀带电球体带电球壳带电球壳多层同心球壳多层同心球壳电磁场与波电磁场与波17 无限大平面电荷无限大平面电荷：如无限大的均匀带电

15、平面、平板等。：如无限大的均匀带电平面、平板等。 轴对称分布轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。( (a a) )( (b b) )电磁场与波电磁场与波18（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于E 的面，使其成为闭合面。的面，使其成为闭合面。高斯定理解题步骤：高斯定理解题步骤：（1）分析电场是否具有对称性。）分析电场是否具有对称性。（2）取合适的高斯面）取合适的高斯面(封闭面封闭面)，即取在，即取在E相等的曲面上。相等的曲面上。（4）分别求出）分别求出 ，从而求得，从而求得 及及

16、 。sdDs内SiqDE电磁场与波电磁场与波192.1.3 电流密度，电荷守恒定律电流密度，电荷守恒定律说明：说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定恒定 电流电流，用，用I I 表示。表示。形成电流的条件：形成电流的条件： 存在可以自由移动的电荷存在可以自由移动的电荷 存在电场存在电场单位单位: A （安培）（安培）,标量标量电流方向电流方向: : 正电荷的流动方向正电荷的流动方向电流电流 电荷的定向运动而形成，用电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面单位时间内通过某一横截面S的

17、电荷量，即的电荷量，即0lim()ddtiqtqt 电磁场与波电磁场与波20方向：方向：所在点上正电荷流动方向所在点上正电荷流动方向大小：大小：垂直于该方向的单位面积上，垂直于该方向的单位面积上，单位时间内通过的电荷量单位时间内通过的电荷量单位单位：A/m2 一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。同的。电流描述的是某一界面上电荷流动的总情况电流描述的是某一界面上电荷流动的总情况，但不能描述，但不能描述界面上任意点处电荷流动的总情况。在电磁理论中，常用界面上任意点处电荷流动的总情况。在电磁理论中，常用体电流体电流密度密度、面

18、电流密度面电流密度和和线电流密度线电流密度来描述截面处任意点处电荷的流来描述截面处任意点处电荷的流动情况。动情况。 1. 体电流密度体电流密度 流过任意曲面流过任意曲面S 的电流为的电流为体电流密度矢量体电流密度矢量JS正电荷运动的方向正电荷运动的方向0dlimdSiiJnnSS dSSIJSJ SdSJn 电磁场与波电磁场与波 电荷在一个厚度可以忽略的薄电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面层内定向运动所形成的电流称为面电流，引入面电流密度矢量电流，引入面电流密度矢量 ，其，其大小为单位时间内垂直通过单位宽大小为单位时间内垂直通过单位宽度的电荷量度的电荷量分布分布SJ212

19、. 面电流密度面电流密度单位：单位：A/m。通过薄导体层上任意有向曲线通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为的电流为正电荷运动的方向正电荷运动的方向 线线电流密度：电流密度：电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向流动所形成的电流，可认为电流是集中在细导线的轴线上。流动所形成的电流，可认为电流是集中在细导线的轴线上。 电流元：长度元电流元：长度元dl中流过电流中流过电流I，将，将Idl称为电流元。称为电流元。0dlimdSliiJttll l(d )SliJnl面电流密度矢量面电流密度矢量lSJ0hn t电磁场与波电磁场与波222.1.3. 电荷守恒定律（

20、电流连续性方程）电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。到另一个物体。电流连续性方程电流连续性方程积分形式积分形式微分形式微分形式电荷守恒定律：流出电荷守恒定律：流出闭曲面闭曲面S的电流等于的电流等于体积体积V内单位时间所内单位时间所减少的电荷量减少的电荷量电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。微分形式的证明？微分形式的证明？ddddddSVqJSVtt

21、 Jt 电磁场与波电磁场与波23设定闭合面设定闭合面S S所限定的体积所限定的体积V V不随时间变化，则将积分形式中不随时间变化，则将积分形式中的全导数写成偏导数的全导数写成偏导数又因为又因为S S为任意取的闭合曲面，则其所包围的体积为任意取的闭合曲面，则其所包围的体积V V也是任意的。也是任意的。故：故：根据散度定理：根据散度定理：电流连续性方程的微分形式电流连续性方程的微分形式ddddSVJSVt ddSVJSJ V 0VVVJdVdVtJdVt 0Jt电磁场与波电磁场与波24恒定电流是无源场，电恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点既无起点也无终

22、点恒定电流：恒定电流：这表明从任意闭合面传出的恒定电流为这表明从任意闭合面传出的恒定电流为0 0，或恒定电流是一，或恒定电流是一个无散度的场。个无散度的场。0t0J 、d0SJS电磁场与波电磁场与波251. 安培力定律安培力定律 yxzo1r11dIl2r12R1C2C22dIl 安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在 18211825年之间，设计并完成了电流相互作用的精巧实验，得到了电年之间，设计并完成了电流相互作用的精巧实验，得到了电流相互作用力公式，称为安培力定律。流相互作用力公式，称为安培力定律。 实验表明，真空中的载流回路实验表明，真空中

23、的载流回路C1对对载流回路载流回路C2的作用力的作用力满足牛顿第三定律满足牛顿第三定律 载流回路载流回路C2对载流回路对载流回路C1的作用力的作用力2.1.4 安培力定律安培力定律 磁感应强度磁感应强度(磁通密度磁通密度) 21022111212312d( d)4CCIlI lRFR 2112FF 安培力定律安培力定律电磁场与波电磁场与波262、磁感应强度磁感应强度(磁通密度磁通密度) 电流在其周围空间中产生磁场，电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度量是磁感应强度 ，单位为，单位为T（特斯拉）。（特斯拉）。 磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作

24、用，载流回路磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用，载流回路C1对载流回路对载流回路 C2 的作用力是回路的作用力是回路 C1中的电流中的电流 I1 产生的磁场对回产生的磁场对回路路 C2中的电流中的电流 I2 的作用力。的作用力。 根据安培力定律，有根据安培力定律，有其中其中BB2120111212222212312dd()d( )4CCCI lRFIlIlB rR10111212312d( )4CI lRB rR22dIl电流电流I1在电流元在电流元 处处产生的磁感应强度产生的磁感应强度电磁场与波电磁场与波27任意电流回路任意电流回路C产生的磁场感应强度产生的磁场感应强度电流元电流元 产生

25、的磁场感应强度产生的磁场感应强度体电流产生的磁场感应强度体电流产生的磁场感应强度面电流产生的磁场感应强度面电流产生的磁场感应强度yxzordI lrRCM0033d()d( )44CCI lrrI lRB rRrr03d()d ( )4I lrrB rrr03( )( )d4VJ rRB rVR 0S3( )( )d4SJrRB rSR dI ld d d d I lJ l lJ sd d d d I lJ s lJ v电磁场与波电磁场与波28 例例 2.4 长为长为2l的直导线上流过电流的直导线上流过电流I，求真空中，求真空中P点的磁通密度。点的磁通密度。 dI lyxzo, ,Pz 载流直

26、导线载流直导线R任一点任一点P的磁通密度为的磁通密度为 解：解：采用柱坐标，电流元采用柱坐标，电流元 到到P P点的距离矢量是点的距离矢量是1/222 ,Rrrz zzRrrzz01/22202222d ( )44llIzB zzzIlzlzzlzld I zd()d d I lrrIz zz zzIz ll若若z=0，则，则022( )2IlB zl对无限长直导线，对无限长直导线，l趋近无穷大趋近无穷大0( )2IB z2/1222/3222xxdxx3/2电磁场与波电磁场与波29而场点而场点 P 的位置矢量为的位置矢量为 ，故得，故得 例例 2.5 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。

27、计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。 dI lyxzoPa载流圆环载流圆环rRr轴线上任一点轴线上任一点P(0,0,z)的磁感应强度为的磁感应强度为 解：解：设圆环的半径为设圆环的半径为a，流过的电流为，流过的电流为I。为计算方便取线电。为计算方便取线电流圆环位于流圆环位于xy平面上，则所求场点为平面上，则所求场点为P(0,0,z),如图如图 所示。采用圆柱所示。采用圆柱坐标系，圆环上的电流元为坐标系，圆环上的电流元为 ，其位置矢量为，其位置矢量为rzzdd I lIara 22 1/2,()rrzzarrzad()d ()I lrrIazza2d d IazzIa20223/20( )d

28、4()IazzaB zza电磁场与波电磁场与波30可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁场强度的径向分量产生的磁场强度的径向分量相互抵消。相互抵消。当场点当场点P远离圆环，即远离圆环，即z a时，因时，因，故，故 在圆环的中心点上，在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即，磁感应强度最大，即由于由于 ，所以，所以2200d ( cos sin )d 0 xy 220022 3/222 3/20( )d 4()2()IaIazaB zzaza0(

29、0)2IBza22 3/23()zaz2032IaBzz电磁场与波电磁场与波上式可推广到任意分布电流产生的磁场，穿过任意闭曲面上式可推广到任意分布电流产生的磁场，穿过任意闭曲面S S的通量也满足的通量也满足030( )24qrE rlrrr与311.1. 恒定磁场的通量和散度恒定磁场的通量和散度右图表示载流长直导线产生的磁场，右图表示载流长直导线产生的磁场，穿过以坐标原点为心的球面穿过以坐标原点为心的球面S S0 0，其磁，其磁通量通量( ) d0SB rS( ) d0SB rS电磁场与波电磁场与波32上式看出，自由空间中磁感应强度穿过任意闭曲面的磁通量上式看出，自由空间中磁感应强度穿过任意闭

30、曲面的磁通量为零，磁力线是无头无尾的闭曲线。恒定磁场的磁通量形式为零，磁力线是无头无尾的闭曲线。恒定磁场的磁通量形式为高斯定理积分形式。为高斯定理积分形式。利用散度定理，导出利用散度定理，导出上式看出自由空间中某点的恒定磁场无散度源。恒定磁场上式看出自由空间中某点的恒定磁场无散度源。恒定磁场的散度的形式为高斯定理微分形式。的散度的形式为高斯定理微分形式。 ( )0B r电磁场与波电磁场与波上式可推广于任意分布电流的磁场沿环绕电流的任意闭曲线上式可推广于任意分布电流的磁场沿环绕电流的任意闭曲线C Cl l积分，其环量积分，其环量332.2. 恒定磁场的环量和旋度恒定磁场的环量和旋度对于无限长的载

31、流直导线，沿着以坐对于无限长的载流直导线，沿着以坐标原点为心的圆周线标原点为心的圆周线C Cl l积分，则其环积分，则其环量量 0( ) dCB rlu I0( ) dCB rlI电磁场与波电磁场与波34利用斯托克斯定理导出利用斯托克斯定理导出看出恒定磁场是有旋场，稳恒电流是恒定磁场的旋涡源看出恒定磁场是有旋场，稳恒电流是恒定磁场的旋涡源。恒定磁场的基本性质恒定磁场的基本性质（1）恒定磁场不是由通量源，而是由旋涡源产生的；）恒定磁场不是由通量源，而是由旋涡源产生的；（2）恒定磁场是无源有旋场。）恒定磁场是无源有旋场。0( )( )B rJ r电磁场与波电磁场与波35为了不考虑媒质的磁导率为了不

32、考虑媒质的磁导率，引入磁场强度，引入磁场强度 ，H /HB ( )0B r0( ) dCB rlu I0( )( )B rJ r( )( )H rJ r ( ) dCH rlI ( )0H r 安培环路定律安培环路定律磁场强度沿着闭合路径的线积分等于磁场强度沿着闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流该路径所包围的电流I磁场存在漩涡源磁场存在漩涡源电磁场与波电磁场与波静电场和静磁场小结：静电场和静磁场小结：高斯定理表明高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止 于负电荷。于负电荷。1. 静电场散度与高斯定理静电场散度与高斯定理环路定理表明环路定

33、理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径关。静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径关。2. 静电场旋度与环路定理静电场旋度与环路定理3.3. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理恒定磁场的散度与磁通连续性原理磁通连续性原理磁通连续性原理表明表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和 终点的闭合终点的闭合曲线。曲线。安培环路定理表明安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是 场的旋涡源。场的旋涡源。4. 恒定磁场的旋度与安培环路定理恒定磁场的旋度与安培环路定理0( )( )rE r( )0E r ( )0B

34、r0( )( )B rJ r电磁场与波电磁场与波2.2 电磁感应定律和全电流定律电磁感应定律和全电流定律372.2.1 电磁感应定律电磁感应定律 自从自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流反的问题，即磁场能否产生电流。 1881年年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著明的法拉第电磁感应定律。化有密切关系，由此总结

35、出了著明的法拉第电磁感应定律。 电磁感应定律电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场揭示时变磁场产生电场 位移电流位移电流 揭示时变电场产生磁场揭示时变电场产生磁场 重要结论：重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一 的电磁场。的电磁场。电磁场与波电磁场与波38负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。1. 法拉第电磁感应定律的表述法拉第电磁感应定律的表述 设任意导体回路设任意导体回路C围成的曲面为围成的曲面为S，其，其单位法向矢量为单位法向矢量为 ，则穿过回路的磁通为，则穿过回路的磁通为

36、当通过导体回路所围面积的磁通量当通过导体回路所围面积的磁通量 发发生变化时，回路中产生的感应电动势生变化时，回路中产生的感应电动势inin的大的大小等于磁通量的时间变化率的负值，小等于磁通量的时间变化率的负值，方向方向是是要要阻止回路中磁通量的改变阻止回路中磁通量的改变，即，即 ddint dSBS dddinSBSt n n B C S dl nBin电磁场与波电磁场与波39 导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场 ，回路，回路中的感应电动势可表示为中的感应电动势可表示为 感应电场是感应电场是由变化的磁场所激发的电场由变化的磁场所激发的电场；

37、 感应电场是感应电场是有旋场有旋场； 感应电场感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的 空间；空间； 对空间中的任意回路（不一定是导体回路）对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有，都有因而有因而有 对感应电场的讨论对感应电场的讨论：dininCElddddinCSElBSt ddddinCSElBSt inE电磁场与波电磁场与波40相应的微分形式为相应的微分形式为(1) 回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化这就是推广的法拉第电磁感应定律。这就是推广的法拉第电磁感应定律。2. 引起回路中磁通变化的几种情况：引起回路中磁

38、通变化的几种情况：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有ddddCSElBSt ddddinCSElBSt ddddSSBBSSttBEt d0cCEl 若空间同时存在由电荷产生的电场若空间同时存在由电荷产生的电场 , ,则总电场则总电场 应为应为 与与 之和，即之和，即 。由于。由于 ，故有，故有 incEEEcEcEinEEd0CcEl电磁场与波电磁场与波41称为动生电动势，这就是发电机工作原理。称为动生电动势，这就是发电机工作原理。( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动导体回路在恒定磁场中运动( 3 ) 回路在时变磁场中运动回路在时变磁场中运动d(

39、) dinCCElvBld() ddCCSBElvBlSt电磁场与波电磁场与波42 （1） ，矩形回路静止；，矩形回路静止；xbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环LvB （3） ，且矩形回路，且矩形回路上的可滑动导体上的可滑动导体L以匀速以匀速 运动。运动。 解解：(1) 均匀磁场均匀磁场 随时间作简谐随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故电动势是由磁场变化产生的，故B 例例 2.6 长为长为 a、宽为、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的

40、感应电动势。如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。 （2） ，矩形回路的宽边，矩形回路的宽边b 为为 常数，但其长边因可滑动常数，但其长边因可滑动导体导体L以匀速以匀速 运动而随时间增大；运动而随时间增大；0cos()BzBt0BzBB0cos()BzBtvxv00dcos()dsin()inSSBSzBtz SabBttt vxv电磁场与波电磁场与波43 ( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得 ( 2 ) 均匀磁场均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀

41、速为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产在磁场中运动产生的，故得生的，故得B或或00() d()dinCCvBlxvzBy lvB b 00ddd()ddinSBSbB vtbB vtt 0000d() d(cos)d(cos)dsincosinSCSCBSvBltzBtz SxvzBty ltvt bBtvbBt 电磁场与波电磁场与波44 （1）线圈静止时的感应电动势；）线圈静止时的感应电动势； 解解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故

42、（2）线圈以角速度）线圈以角速度 绕绕 x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感应电动势。ab 例例 2.7 在时变磁场在时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 的矩形线的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，如图所示。角，如图所示。试求：试求： xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈0sinByBt y n0(sind )syBt n St ddincBElSt 0coscos dsBtS 0coscosB abt n 电磁场与波电磁场与波45 （2）线圈绕）线圈绕 x 轴旋转时，轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的的指

43、向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。感应电动势可以用两种方法计算。 利用式利用式 计算计算dddinSBSt 0000dddddsind(sincos)ddd 1(sin2)cos2d2inSSBStyBt n SabBttttB abtB abtt n 假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t 时，时， 与与y 轴的夹角轴的夹角 ，故故 nt00t 电磁场与波电磁场与波462.2.2 位移电流和位移电流和全电流定律全电流定律 静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即 这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含

44、了这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即重要的物理事实，即 时变磁场可以激发电场时变磁场可以激发电场 。恒定磁场安培环路定理：恒定磁场安培环路定理：0EBEt HJ ?H 在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变 化？化？随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是否会产生磁场？否会产生磁场？时变场：时变场：电磁场与波电磁场与波471. 全电流定律全电流定律时变情况下，由电流连续性方程有时变情况下，由电流连续性方程有 发生矛盾发生矛盾 解决办法：

45、解决办法： 对安培环路定理进行修正对安培环路定理进行修正由由将将 修正为：修正为： 矛盾解决矛盾解决时变电场会激发磁场时变电场会激发磁场0Jt HJD()JDt ()0DJtDHJtHJ()0JH 静态场：静态场：因此，可得，因此，可得，HJ在时变的情况下不适用在时变的情况下不适用电磁场与波电磁场与波48全电流定律：全电流定律： 微分形式微分形式 积分形式积分形式法拉第电磁感应定律揭示了时变磁场产生电场；法拉第电磁感应定律揭示了时变磁场产生电场；位移电流的假说，对安培环位移电流的假说，对安培环路定理进行了修正，揭示了时变电场产生磁场路定理进行了修正，揭示了时变电场产生磁场。从而，从而，全电流定

46、律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。关系。DHJtd() dCsDHlJSt电磁场与波电磁场与波492. 位移电流密度位移电流密度q 电位移矢量随时间的变化率，能像电电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称流一样产生磁场，故称“位移电流位移电流”。注：注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流； 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；

47、 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。q 位移电流只表示电场的变化率，与传位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它导电流不同，它不产生热效应不产生热效应。q 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了揭示了时变电场产生磁场时变电场产生磁场这一重要的物理概念。这一重要的物理概念。dJtdDJ电磁场与波电磁场与波503. 全电流连续性原理全电流连续性原理全电流：全电流：tcvdJJJJ传导电流密度传导电流密度运流电流密度运流电流密度位移电流密度位移电流密度0cvdSJJJd

48、S 0cvdJJJ又又cvdcvdSVJJJdSJJJdv =0cvdIII全电流连续性原理全电流连续性原理物理含义：穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。物理含义：穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。电磁场与波电磁场与波51例例2.8 已知平板电容器的面积为已知平板电容器的面积为 , 相距为相距为d, 介质的介电常介质的介电常数数 ，极板间电压为，极板间电压为 U。试推导电容器的电流与电压的关系。试推导电容器的电流与电压的关系。 0A平板电容器平板电容器解解 忽略极板的边缘效应和感应电场忽略极板的边缘效应和感应电场dtUEDdUE)(,电场电场位移电流密度位移电流密度)(dtdUdtDJd位移

49、电流位移电流0()ddSAdUdUIJ dSCIddtdt二平板间位移电流等于传导电流二平板间位移电流等于传导电流dAC0电磁场与波电磁场与波2.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组52麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场 的基本方程的基本方程 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式: : 积分形式积分形式 空间任意点场地变化规空间任意点场地变化规 大范围场与场源的关系大范围场与场源的关系d() dddd0ddCSCSSSVDHlJStBElStBSDSV DHJt2.3.1 2.3.1 麦克斯韦方程组的积分形式和微分

50、形式麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式DBEt 0B电磁场与波电磁场与波53麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场生磁场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁力线总是闭合麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁力线总是闭合曲线曲线麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场；全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场；法拉第定律：时变磁场将激发电场；法拉第定律：时变磁场将激发电场；磁通连续性原理：穿过

51、任一封闭面的磁通量恒等于零；磁通连续性原理：穿过任一封闭面的磁通量恒等于零；高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包 围的自由电荷电量。围的自由电荷电量。电磁场与波电磁场与波54麦克斯韦方程组中的四个方程并不都是独立的。两个散麦克斯韦方程组中的四个方程并不都是独立的。两个散度方程可以由两个旋度方程导出。度方程可以由两个旋度方程导出。DHJtDBEt 0B0tDJH0-DttvCDv-由于由于t=0时，时，0C00Dv，0BtCB 由于由于t=0时，时，0C0B0BD电磁场与波电磁场与波电流连续性方程都可以由电流连续性方程都可以由Maxwell方程

52、导出方程导出 55Jt DHJt证明：对证明：对 两边取散度两边取散度()()DHJt ()0H ()0()0DJJDtt D0JJtt 因此，不必把电流连续性方程列入因此，不必把电流连续性方程列入Maxwell方程组方程组 为什么不必把电流连续性方程列入为什么不必把电流连续性方程列入MaxwellMaxwell方程组？方程组？电磁场与波电磁场与波56麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组时变场时变场静态场静态场缓变场缓变场迅变场迅变场电磁场电磁场(EM)准静电场准静电场(EQS)准静磁场准静磁场(MQS)静磁场静磁场(MS)小结：小结： 麦克斯韦方程适用范围麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象：一切

53、宏观电磁现象静电场静电场(ES)恒定电场恒定电场(SS)0t0t0tB0tD电磁场与波电磁场与波静态场电磁场量一般是空间坐标和时间的函数。特殊情况下，电磁场量一般是空间坐标和时间的函数。特殊情况下，它们不随时间变化，因此它们不随时间变化，因此Maxwell方程组中对时间求导方程组中对时间求导数项为数项为0，故得：，故得：57HJD0E0B静态电场方程静态电场方程静电场仅由电荷产生静电场仅由电荷产生静态磁场方程静态磁场方程静磁场仅由电流产生静磁场仅由电流产生静态情况下，电流连续性原理为：静态情况下，电流连续性原理为：0J 电磁场与波电磁场与波58式中的式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场

54、强度。为常数。试求：位移电流密度和电场强度。 例例 2.9 在无源自由空间的磁场强度为在无源自由空间的磁场强度为 解解 自由空间的传导电流密度为自由空间的传导电流密度为0，故由式，故由式 , 得得cos()A/mmHxHtkzDHt2()cos()sin()A/mdxxmmDJHxyzxHtxyzHyyHtkzzzykHtkz 000011dsin()dcos()V/mmmDDEtykHtkzttkyHtkz 电磁场与波电磁场与波592.3.2 媒质的本构关系媒质的本构关系 代入麦克斯韦方程组中，有：代入麦克斯韦方程组中，有：限定形式的麦克斯韦方程限定形式的麦克斯韦方程, ,适用于特定的媒质适

55、用于特定的媒质（均匀媒质）（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为各向同性线性媒质的本构关系为BHJEDE()()()0()HEEtEHtHE 0/EHEtHEtHE 电磁场与波电磁场与波60q 时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发互为激发源，相互激发。q 时变电磁场的电场和磁场不再时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构相互独立，而是相互关联，构成一个整体成一个整体 电磁场。电电磁场

56、。电场和磁场分别是电磁场的两个场和磁场分别是电磁场的两个分量。分量。q 在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。磁振荡并传播，这就是电磁波。电磁场与波电磁场与波61q 在无源空间在无源空间 中，两个旋度方程分别为中，两个旋度方程分别为 可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减

57、小时，电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。磁场增大反过来又使电场减小。DHt,BEt 0, 0vJ电磁场与波电磁场与波以以无源区无源区( )为例为例: :0,0vJ再将再将代入上式，并考虑无源情况，得到电场代入上式，并考虑无源情况，得到电场 的齐次波动方程的齐次波动方程 E同理可得同理可得对对 两端取旋度两端取旋度:HtEEE21方程的解是一种电磁波动，其传播速度是媒质中的光速方程的解是一种电磁波动，其传播速度是媒质中的光速 。0

58、222tEE0222tHHBHEtt DEHJJtt/vE如何利用如何利用MaxwellMaxwell方程组写出电磁波矢量波动方程？方程组写出电磁波矢量波动方程？电磁场与波电磁场与波63有源区：有源区：场强与场源的关系复杂，一般不直接求解上述方场强与场源的关系复杂，一般不直接求解上述方程，而是引入位函数来求解程，而是引入位函数来求解 和和 .EH可见，可见，)(222vtJtEEJtHH222电磁场与波电磁场与波642.3.3 2.3.3 电磁场的位函数电磁场的位函数目的：将目的：将非齐次波动方程的求解化为较简单的位函数的求解非齐次波动方程的求解化为较简单的位函数的求解， 在求出位函数后便可容

59、易地得出场量在求出位函数后便可容易地得出场量 和和 。HEa) a) 矢量位函数矢量位函数 0:AA从电磁场基本方程组出发从电磁场基本方程组出发, ,vJ、场源H、场量E（直接法）积分微分A位函数（间接法）、图图 由场源求场的两种方法由场源求场的两种方法 b) b) 标量位函数标量位函数0:这样，我们就将这样，我们就将 和和 用矢量用矢量 和标量和标量 表示表示 EHA0B由ABAH1或或t BE由0)(tAEAAEEtt 电磁场与波电磁场与波6565t DJH由)(ttAJAv Dvt)(A由由vtA2位函数的非齐次波动方程位函数的非齐次波动方程 tAtJAA222得因,2AAA：对洛仑兹规

60、范（条件）洛仑兹规范（条件）定义定义 的散度的散度: :AtA因此，非齐次波动方程因此，非齐次波动方程JtAA222vt222JA2v2若场不随时间变化若场不随时间变化若场不随时间变化若场不随时间变化AH1AEt 电磁场与波电磁场与波解解 根据麦氏方程式（根据麦氏方程式（a a）有）有 例例2.10 2.10 试用麦克斯韦方程组导出图试用麦克斯韦方程组导出图2.3-52.3-5所示的所示的RLCRLC串联串联电路的电压方程（电路全长远小于波长）。电路的电压方程（电路全长远小于波长）。 dtdldEl将回路电压分段表示，得将回路电压分段表示，得 0dtdUUUUdacdbcabIRlAIlJld