精品导学案：正态分布

1、精品导学案：2.4.1正态分布【教学目标】1. 了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。2. 了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。【教学重难点】教学重点：1.正态分布曲线的特点；2 .正态分布曲线所表示的意义 .教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布；3 .正态分布曲线所表示的意义 .【教学过程】一、 设置情境，引入新课这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题2.重

2、复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什 么？问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号， 以球槽的编号为横坐标， 以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线这条曲线可以近似下列函数的图像:(x)22,x （-二，二）,其中实数N和。（仃A0）为参数，我们称中巴Xx）的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X

3、表示个随机变量，X落在区间(a,b的概率为什么？其几何意义是什么？一般地，如果对于任何实数 ab,随机变量X满足一 一、 b 一 一P(a0,概率aP- aX m 1a) =-(x)dx1 -a,对于固定的N和a而言，给面积随着 仃的减少。这说明仃越小，X落在区间(N-a,N+a 的概率 越小，即X集中在N周围概率越大.特别有P（一二：二 X 三/二）=0,6826,P（ 1 - 2- X 1 20）=0,9544,P（ 1 - 3- X 工3二）=0,9774.可以看到，正态总体几乎总取值于区间(R-&iX MN+&J)之内。而在此区间以外取值的概率只有0.0026通常认为这种情况在一次试验

4、中几乎不可能发生。在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(N,仃2)的随机变量X只取(N-30,卜+3。)之间的值，简称之为 3J原则三、典型例题例1,在某次数学考试中，考生的成绩之服从一个正态分布，即N(90,100)。(1) 试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？(2) 若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？解析：正态分布已经确定，则总体的期望R和标准差仃就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解解：因为 UU N(90,100),所以 卜=90, 仃=10。(1) 由于正态变量在区间(N-2仃，N+

5、2。)内取值的概率是 0.9544，而该正态分布中,2-2g =90 -2x10 =70, N+2仃=90+2x10=110 ,于是考试成绩巴位 于区间(70,110)内的概率就是 0.9544。(2) 由N=90, 仃=10,得N 灯=80, k+a =100o由于正态变量在区间(卜一仃，以+。)内取值的概率是0.6826,所以考试成绩 之位于区间(80,100)内的概率就是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000 X0.6826 之 1365 人。点评：解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(N 仃，N +仃)，(N2q,N+2。)，

6、(N-35卜十3。)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个X N(110,25),据此估计，大变式训练.已知一次考试共有 60名同学参加，考生的成绩约应有57人的分数在下列哪个区间内？(A(90,110B. ( 9 5 , 1 2 5C.(100,125D.(105,115答案C四、反馈测评1 .给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值1和标准差(T(2)(3 )f(x)f(x)f(x)2 .若随机变量1-e 2 ,x (-二，二)2 二.(x)21-,、e 8 , x (-二，二)2.2 二22x.2e1) ,x (-二，二)LI N(-2,4)，

7、则在区间(Y,2上的取值的概率等于在下列哪个区间上取18值的概率(A.(2,4B. (0, 2C.(-2,0D.(-4,43.若随机变量亡服从正态分布N(0,1),则已在区间(3,3上取值的概率等于A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.31744.若一个正态总体落在区间 (0.2, +w)里的概率是0.5,那么相应的正态曲线 f (x)在 x=时，达到最高点。答案：1.(1)0 , 1; (2)1 , 2; (3)-1 , 0.52.C3.C 4. 0.2五、课堂小结1. 了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点。2. 了解假设检验的基本思想并体会它的应

8、用。六、作业课本P86习题2.4 1、2题2.4.1正态分布课前预习学案一、预习目标1 .通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2 .通过实际问题，知道假设检验的思想。二、预习内容1 .我们把函数 的图像称为正态分布密度曲线，简称 O2 . 一般地，如果对于任何实数 ab,随机变量X满足，则称随机变量X的分布为正态分布，记作 ,如果随机变量 X服从正态分布，则记为3 .正态曲线的特点：4 .在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N（N,。2）的随机变量X只取 之间的值，简称之为。 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑

9、内谷课内探究学案一、学习目标1 .知道正态分布密度曲线、正态分布的概念。2 .知道正态曲线的解析式及函数图像。3 .通过图像知道正态曲线的特点。4 .能在实际中体会3。原则的应用。二、学习重难点学习重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布曲线所表示的意义 学习难点：正态分布在实际中的应用。三、学习过程（一）自主学习大家预习课本 P80页，并回答以下几个问题：问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什 么？问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号， 以球槽的编号为横坐标， 以小球落入各

10、个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化?（二）合作探究，得出概念二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.)21一 c 2 y(x) e 2- ,x (-二，二),2二二其中实数N和。（仃A0）为参数，我们称中Rgx）的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲 线。问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X表示个随机变量，X落在区间（a,b的概率为什么？其几何意义是什么?般地，如果对于任何实数 ab,随机变量X满足、 b .P(aX w b)

11、= 1 a 平也。(x)dx,则称X的分布为正态分布，记作N（N,仃2）,如果随机变量 X服从正态分布，则记为问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？问题7.结合中r Jx）的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗?可以发现，正态曲线有以下特点：(1) 曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2) 曲线是单峰的，它关于直线 x = N对称;1（3）曲线在 x = N处达到峰值 ；二 2 二(4) 曲线与x轴之间的面积为1;(5) 当仃一定时，曲线随着 N德变化而沿x轴平移；(6) 当口一定时，曲线的形状由 仃确定，。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集 中；仃越大，曲

12、线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。若X N(巴0,概率-aP- aX 工a）=（x）dx -a,对于固定的N和a而言，给面积随着 灯的减少。这说明灯越小，X落在区间(N-a,N+a的概率越小，即 X集中在N周围概率越大.特别有P（：二 X 二）=0,6826, P（-2二：X 工2二）=0,9544, P（ 1 - 3- X 三3二）二 0.9774.可以看到，正态总体几乎总取值于区间(R-K 一 e2；-,2r.2 七_(x_.)21 J2C.f(x)：r e= D.f(x)= - e?二2二二22一一 .1 工. ，一,2 .函数f(x)=e 4n，(xwR)的奇偶性为()27：A.奇函

13、数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断3 .若随机变量满足正态分布N(巴。2),则关于正态曲线性质的叙述正确的是(Ae越大，曲线越“矮胖”，仃越小，曲线越“瘦高”.B.。越大，曲线越“瘦高：。越小，曲线越“矮胖”C.仃的大小，和曲线的“瘦高”，“矮胖”没有关系D.曲线的“瘦高”，“矮胖”受到N的影响二、填空题4 .随机变量X|_ N(N,仃2),其密度函数f (x)的最大值是 5 .工人制造机器零件，零件的尺寸服从分布 XL N(0,44 ,则不属于(T,4)这个尺寸范围的零件约占总数的三、解答题=,求该正4% 2二y轴对称，记6 .若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值

14、等于态分布的密度函数的解析式1.A 2.B3.A 41=5.0.0046二,、2 二6.解：由于该正态分布的概率密度函数是偶函数，所以其图像即正态曲线关于, _1N =0o而正态窗度函数的取大值是 f ,二 2 二.11.所以一修=一 ,所以仃=4,故该正态2 二 4 12二分布的概率密度函数的解析式是f (x)=e 32, (x R)小结与复习【学习目标】1在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。2通过实例，理解超几何分布及其推到过程，并能进行简单的应用。3 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项

15、分布，并能解决一些简单的实际应用。4理解离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量得均值、方差，并能解决一些实际问题。随机变量5通过实际问题，借助直观模型，认识正态分布曲线的特点及表示的意义。 【知识结构】两事件独立均值应用【达标练习】一、选择题1 .给出下列四个命题：15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；一条河流每年的最大流量是随机变量；一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量.其中正确的个数是（）A. 1B . 2 C. 3 D. 42 .设离散型随机变量 X的分布列为:12316131643 .袋

16、中有3个红球、2个白球，从中任取2个，用X表示取到白球的个数，则 X的分布列为 ( )E.X0i23pa 春CiCla ccH cC,X012pG GaC? aX012PGG cTCsC!盘X012pGG CCG 墨(X； c4 .某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拔，他第一次失败，第二次成功的概率是(A.10)B .10c. -810D.105 .甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是 0.8,乙击中目标的概率是 0.6,则两人都击中目标的概率是(A. 1.4)C. 0.6D. 0.486 .某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%,现把这种零件中6件装成一

17、盒，那么该盒中恰好含一件次品的概率是(a侬i100B . 0.017 .设随机变量A. 161X B6,- ,2B .16P(X =3)等于(D.168.两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a,b,则产生故障的电脑台数的均值C. LabD - 1 a -b9 .设 X N -2,1 卜则 X 落在(4 , _3.5U I-0.5, + )内的概率是()A. 95.4% B . 99.7% C. 4.6% D. 0.3%10 .正态分布N(H仃2)在下面几个区间内的取值概率依次为()(Ncr, N+oJA. 68.3% 95.4% 99.7% B . 99.7% 95.4% 68.3%

18、C . 68.3% 99.7% 95.4% D . 95.4% 68.3% 99.7%11节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量 X服从如下表所示的分布：2003004005000.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则利润的均值为()A . 706 元 B . 690 元 C . 754 元 D . 720 元0.9和0.85 ,则恰100个，则其中正品12 .某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是()A.甲学科总

19、体的方差最小B.丙学科总体的均值最小C.乙学科总体的方差及均值都居中D,甲、乙、丙的总体的均值不相同13 . 事 件A, B, C 相 互 独 立， 若_ _111P(AB) P(B C)=一, P(A BC)=一,贝UP(B)=. 68814 .两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 有1台雷达发现飞行目标的概率为 .15 .某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%,从中任意地陆续取出数X的均值为 个，方差为.16 .设XN( H仃)，当x在(1,3内取值的概率与在(5,7内取值的概率相等时，N =三、解答题17 . 一批产品分一、二、三级，其中一级品的数量是二级品的两倍

20、，三级品的数.量是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其品级， 用随机变量描述检验的可能结果， 写出 它的分布列.18 .甲、乙两人独立地破译 1个密码，他们能译出密码的概率分别为1和1，求34(1)恰有1人译出密码的概率；100(2)若达到译出密码的概率为里，至少需要多少乙这样的人.19 .生产工艺工程中产品的尺寸偏差 X(mm) N(0,22),如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差X2012P53210101021.张华同学上学途中必须经过A B, C, D四个交通岗，其中在 A B岗遇到红灯的概率试比较两名 工人谁的技 术水平更的绝对值不超过 4mm勺为合格品，求生产 5件产品的合格率不

21、小于 80%的概率.(精确到0.001 ).20.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为X1,X2,且和X2的分布列为：X1012P610110310均为1 ,在C, D岗遇到红灯的概率均为 1 .假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独 立的，X表示他遇到红灯的次数.(1)若x 3,就会迟到，求张华不迟到的概率；(2)求EX.一、选择题1D2C3D4A5D 6 C7A8B 9D 10B11A12A二、填空题13 -0.22 15 98.5, 1.4775 16 42 144n 44n 2n n 7三、解答题17解：设二级品有2n个，则一级品有4n个，三级品有n个.一级品占总数的二级品占总数的 一2n=2,三级品占总数的1. 4n 2n n 77又设X =k表示取到的是k级品(k