一元二次不等式的解法教学案例

1、一元二次不等式的解法教学案例一、设计背景：一元二次不等式的解法是单招数学教学的重点和难点之一。从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。新教材在处理上是下了一番功夫的，由本章第一节中探究题所得到的不等式抽象出一元二次不等式的概念，并介绍一元二次不等式解题的概念，接着利用数形结合，既通过观察二次函数的图像，使

2、学生知道：二次函数图像与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的解，在x轴上方（下方）的函数图像所对应的自变量x的取值范围，即为相应一元二次不等式的解集。新教材的这种安排，既承前启后，又分散了难点，符合认知理论中的渐近性原则。职校学生基础知识薄弱，差生面广，缺乏学习的主动性，对抽象的内容有恐惧厌倦的情绪，上课时注意力的集中时间较短。针对这些特点，在教学中应以激发学生的学习入手，体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情景，合理设问，充分利用好图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势，引导学生观察、发现、归纳，本节课教学方法以

3、在多媒体辅助下的启发式教学为主。 二、教学过程：1、课前热身、小试身手请大家动手画一画下列二次函数的图像。 【设计意图】 前一节课中重新回顾了一元二次函数，并且对如何做出函数图象（开口、对称轴、与x轴的交点）做了说明。通过课前热身练习既检查了学生上节课知识学习的掌握程度又为本节课的学习做了一个链接。2、复习引入，展示目标设问1：我们在前一节学习了一元二次函数的图象和性质，你能求出一元二次函数y=x²-2x-3与x轴的交点吗？启发诱导学生x轴上的点的特点是y坐标为零，于是令y=0,即求得交点坐标为（-1，0），（3，0），从而得出结论：一元二次函数与x轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一

4、元二次方程的根。其目的是进一步复习巩固二次函数图像。追问1：你们能画出这个二次函数的草图吗？启发学生回忆二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，学生自我检查自己动手画出草图是否正确。（然后由多媒体展示出电脑所画出的标准图形，让学生观察和比较）追问2：你们能在抛物线上找出纵坐标y>o的点吗？诱导学生纵坐标取正值的点位于x轴的上方，取负值的点位于x轴的下方，从而得出正确答案。（这时用多媒体动画展示结果）追问3:纵坐标y>0的那些点所对应的横坐标x取哪些数呢？ 诱导学生得出结论：y>0 x<-1或x>3, 即x²-2x-3>0 x<

5、-1或x>3接着，以同样的方法引导学生找出y<0的点所对应的x的取值范围。 y<0 -1<x<3 即x²-2x-3<0 -1<x<3(这时，用多媒体动画展示出x的取值范围)在以上一系列的设问、追问中水到渠成地揭开本课的课题，学生恍然大悟。此时教师已运用多媒体的教学手段让学生初步领略到图象法解一元二次不等式的基本原理和基本步骤。3、启发诱导，画龙点睛例1解下列一元二次不等式： （1）x²-x-6>0 (2)x²-x-1<0 【设计意图】：其一：设计例1的目的是让学生掌握>0这一最常见类型，它又分为两种

6、情况可用十字相乘法的情况和只能用求根公式法的情况。其二：引导学生画图时，抓住问题的本质，可以将y轴省略不画，使得图象更利于观察。以此培养学生从纷繁复杂的事物中洞察本质的能力，并体会“去繁就简，去粗取精”这一数学中的简约美。引导学生观察不等式的解集和方程的根之间的关系：得出“小于取中间，大于取两边”的口诀。让学生在了解其来历的基础上真正理解口诀的意义，防止单一地教给学生这一“教条”，避免让学生思维僵化，归纳出图象法解一元二次不等式的基本步骤：求根画图找解，并戏称“三步曲”。变式：-x²+3x+100【设计意图】在讲过了一元二次不等式的一般形式为ax²+bx+c>0或ax

7、²+bx+c<0,其中a>0的情况，若a<0时，只需在不等式的两边同乘以-1，把二次项系数变为正的便可。例2 解下列一元二次不等式：（1）2x²-4x+20 (2)-2x²+4x-2>0 【设计意图】有例1作为基础，再通过例2解决第二类型：=0时的解法。鼓励学生仍按例1的步骤进行，并启发学生：当方程有两个相等实根时意味着抛物线与x轴只有一个交点，从而引导学生画出正确的图形，同时强调当二次项系数为负时，需首先变为正处理。【变式提问】：你们能根据上图找出不等式2x²-4x+2>0， -2x²+4x-20的解集吗？鼓励学

8、生大胆讨论，仔细观察图象得出正确答案。（通过变式，培养学生思维的灵活性和深刻性，进一步深化图象法的基本要领。）例3 解下列一元二次不等式（1）2x²-4x+3>0 (2) 2x²-4x+30 【设计意图】通过例3让学生掌握<0类型的解法。诱导学生仍按“求根画图找解”三步曲进行，学生很快发现根求不出来，从而得出<0，方程无根的结论。既然第一步受阻，第二步画图该怎么办呢？新旧知识的碰撞在学生头脑中产生了矛盾和冲突，学生存在有一定程度的焦虑，甚至得得解集为空集的错误结论。这正是教师抓住这一矛盾和焦虑感将本节课推到高潮的时机。这时，鼓励学生按既定步骤进行，并及时启

9、发他们，方程无实数根意味着抛物线与x轴无交点。鼓励学生画出图形，观察结果，看看与自己最初的猜想是否一致。学生很快发现（1）的解集为R，（2）的解集为。这样既培养了学生大胆猜想，勇于探索的勇气，又培养了学生勤于思考，寻根问底的科学精神，从而将图象法解二次不等式推向高潮，使二次不等式的解法更加完备。4、形成检测，反馈回授“PK时间到了!看看哪个小组最厉害！”请准备解下列不等式：(1) (2)(3) (4)(5) 【设计意图】抓住当代学生自尊心强，有争强好胜的特点，把学生分成四组，各做一，每题20分，共计100分，四个小组搞一个竞赛，看哪一组同学完成的质量最好。最后让学生以举手的方式让老师了解各题完

10、成的情况，对完成得好的学生进行表扬，对完成得不太好的同学进行鼓励。再请这些同学到黑板上来演算，教师纠正普遍性问题，并对个别问题进行个别指导。通过以上形式，让全体学生都参与教学，充分发挥学生的主体作用和教师主导地位，并以此培养学生的参与意识、集体意识和竞争意识。5、想想议议、得出小结提出问题：这节课你们学到了什么？教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来，告诉学生不必死记硬背，而是掌握其数形结合的基本原理和基本步骤。一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系一元二次函数的图象一元二次方程的根有两

11、实根有两相等的实根无实根一元二次不等式的解集R不等式的解集解一元二次不等式的步骤：求根画图找解(告诉学生，在非常熟悉的情况下可省略第二步，但应做到“心中有图”)注意：当二次系数为负时，首先化为正，因此抛物线的开口始终向上。思考：若二次项系数不变为正，画图找解该如何进行？以此培养学生思维的灵活性和批判性。6、动手动脑、自力更生（A）“餐后小甜点”1. 解下列不等式（1）3262（2）42410（3）2350（4）6220【设计意图】其目的是进一步巩固一元二次不等式图解法。(B)：“动动脑袋瓜，成功属于你”2. m为何值时，二次方程x²+2(m-1)x+3m²-11=0有两个不

12、相等的实数根？m为何值时，二次函数y=mx²-(1-m)x+m与x轴无交点？【设计意图】通过这两个B层次题进一步突破二次函数、二次方程与二次不等式的关系这一教学难点。（C）：“挑战吧，你准行!”3.解关于x的不等式x²-2ax+1>0【设计意图】出C层次题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。三、教学反思 ：本节课是高一单招班第一学期的一节新授课。猛得看上去容量比较大，实际上在课前热身练习中学生已经把例题中相关的二次函数图像画出来了，学生只需要理解二次函数、二次方程、一元二次不等式三者的关

13、系，根据图象法解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲”求根画图找解。在问题的设置上，我针对学生对已熟悉的二次函数和方程的知识，并结合学生学习的现状了解的情况，本着让学生掌握通法为第一原则，循序渐进，酌情提高问题的难度，以提高学生的分析与解决问题的能力。我的目标是学生会解一元二次不等式，之前先复习二次函数，因为它对解一元二次不等式具有重要作用。我想只有确保基础没有问题了，提高才是可行、有效的。在讲学稿中加入了人文关怀，营造宽松、愉悦的氛围。首先在讲学稿开头加一些激励的语言，如通过一节课的学习，老师想通过下面的一些题目了解你掌握的本领，相信你表现一定很出色，结尾加一些祝愿语：恭喜你又学到一项新本领，成功离你越来越近了。又如把“思考题”改为“挑战吧，只要动动脑袋瓜，你准行!”，学生通过默读这些导语，能认识自我，建立信心，使学习变得有情有味。新模式教育是以发展学生素质为主的教育，强调在教学过程中使每个学生都得到发展，当学生的个体差异受到重视时，他们才能学得最好。因此，从例题到作业的设计都考虑学生群体的个体差异，关注每一个学生；根据每个学生的认知特点，设计不同层次的作业，编排时由易及难，层层递进。让学生根据不同的需要选做，找到他们自己的“用武之地”。我的具体做法是：（1）对同一问题尽可能多角度设问。设问的梯度由易到难，使学生踏着阶梯一步一步探索