现代控制理论-ppt课件

1、现代控制实际Modern Control Theory(10)1;.4.2 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理经过分析系统能量的变化来经过分析系统能量的变化来确定系统运动的稳定性！确定系统运动的稳定性！系统的运动方程是系统的运动方程是一个能量函数应该是正定的：一个能量函数应该是正定的：沿形状轨线，系统能量的变化率：沿形状轨线，系统能量的变化率：假设它是负定的，那么沿形状轨线，系统能量是减少的。假设它是负定的，那么沿形状轨线，系统能量是减少的。BACD),()(tttxfx),(tV xT1d ( , ) dniVVVtttxxxT1( , )niVVfttxx2笼统总结成以下的普通结论定

2、理4.2.1 对非线性系统 ，原点是系统的平衡形状，假设存在具有延续一阶偏导数的标量函数1。 是正定的；2。沿系统的恣意轨线，关于时间的导数 负定那么系统在原点这个平衡形状处是渐近稳定的。进而，当 ，假设 ，那么系统是大范围渐近稳定的。满足条件1和2的函数 V(x, t) 称为是系统的李雅普诺夫函数。),()(tttxfx),(tV x),(tV xttVd),(dxx),(tV x3定理的阐明定理的阐明给出的判据是充分的，即假设能找到一个李雅普诺夫函数，那么可断定系统渐近稳定；假设找不给出的判据是充分的，即假设能找到一个李雅普诺夫函数，那么可断定系统渐近稳定；假设找不到，那么没有结论；到，那

3、么没有结论；如何寻觅李雅普诺夫函数呢？仍未处理，只需试凑；如何寻觅李雅普诺夫函数呢？仍未处理，只需试凑；对于线性系统，渐近稳定对于线性系统，渐近稳定大范围渐近稳定；大范围渐近稳定；假设假设 半负定，阐明系统的能量不会添加，故系统是稳定的；半负定，阐明系统的能量不会添加，故系统是稳定的；定理适宜于线性、非线性、时变、定常系统。定理适宜于线性、非线性、时变、定常系统。ttVd),(dx4例例 分析以下系统在原点处的稳定性分析以下系统在原点处的稳定性解解 原点是系统的独一平衡形状。原点是系统的独一平衡形状。选取最简单的二次型函数选取最简单的二次型函数它是正定的。沿系统的恣意轨线，它是正定的。沿系统的

4、恣意轨线，上式是负定的。因此上式是负定的。因此 V(x) 是系统的李雅普诺夫函数，是系统的李雅普诺夫函数，且且 V(x) 是径向无界的。故系统渐近稳定。是径向无界的。故系统渐近稳定。)()(22212122221121xxxxxxxxxx2221)(xxVx1 122d ( ) d22Vtx xx xx222212112212122 ()2()x xx xxxxx xx22 2122()xx 5对系统能量函数沿系统轨线 的负定性阐明系统形状运动时，能量是减少的，给出的是以原点为中心的一族同心圆，随时间推移，C不断减小，从而形状不断趋向于零。2212( )VxxxtVd)(dxCxxV2221)

5、(xV 增大方向C3C2C1C1 C2 C3x1x2Ox06条件 负定性的降低。定理4.2.2 对非线性系统 ，原点是系统的平衡形状，假设存在具有延续一阶偏导数的标量函数1。 是正定的；2。沿系统恣意轨线，关于时间导数 半负定3。在系统恣意轨线上， 不恒等于零4。当 ，那么系统在原点这个平衡形状处是大范围渐近稳定的。能量函数的值不能老停留在一处，要不断下降。益处：可以简化稳定性分析。),()(tttxfx),(tV x),(tV xttVd),(dxx),(tV xttVd),(dxttVd),(dx7例例 分析系统的稳定性分析系统的稳定性解解 系统的平衡形状为系统的平衡形状为 ，选取选取1

6、1 是正定的；是正定的；2 2沿系统的恣意轨线，沿系统的恣意轨线，是半负定的。是半负定的。1222122(1)xxxxxx 0, 021xx2221)(xxVx2221)(xxVx1212d ( ) dxVVVtxxxx212212222(1)xxxxxx22222(1)xx 8系统模型李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数的时间导数检验定理的条件3：假设 即 由第2个形状方程得 ，是系统的零形状 由第2个形状方程得 但 不满足第1个方程，故不是系统的轨线。故在系统的恣意非零轨线上， 不能够恒等于零。根据定理4.2.2，系统是渐近稳定的。1222122(1)xxxxxx 2221)(xxVx2222d

7、( ) d2(1)Vtxx x0d)(dtV x0)1 (22222xx20 x21x 或02x01x12x01x1, 021xxtVd)(dx9针对以上例子，对可以验证故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。阐明：针对一个平衡形状，可以有多个李雅普诺夫函数。22)(21)(2221221xxxxVx0)(22)(d)(d222122112121xxxxxxxxxxtVx10定理4.2.3 设原点是系统 的平衡形状，假设存在标量函数 ，满足1 在原点附近的某个邻域内是正定的；2 在同样邻域内也是正定的。那么系统在原点处是不稳定的。例 分析系统的稳定性选取正定函数 不稳定！),()(tttxfx),

8、(tV x),(tV xttVd),(dxxx11112221)(xxVx1 122d ( ) d22Vtx xx xx1122122()2()x xxxxx22122()0 xx11李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性系统针对初始扰动的恢复才干系统针对初始扰动的恢复才干针对特定的平衡点针对特定的平衡点利用能量的概念来描画系统运动衰减的情况利用能量的概念来描画系统运动衰减的情况稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定等概念稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定等概念能量函数：正定、关于时间的导数负定能量函数：正定、关于时间的导数负定 函数定性的概念函数定性的概念对普通的系统：李雅普诺夫稳定性定理只是一个充分条件，而

9、且没有给出李雅普诺夫函数的寻对普通的系统：李雅普诺夫稳定性定理只是一个充分条件，而且没有给出李雅普诺夫函数的寻觅方法！觅方法！缺乏：充分条件、没有给出系统性的方法缺乏：充分条件、没有给出系统性的方法问题：对特殊的系统，能否有更好的结论呢？问题：对特殊的系统，能否有更好的结论呢？124.3 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析线性时不变系统：线性时不变系统：一类特殊的预选李雅普诺夫函数：一类特殊的预选李雅普诺夫函数：李雅普诺夫函数：本身是正定，时间导数负定！李雅普诺夫函数：本身是正定，时间导数负定！ 正定正定 矩阵矩阵P 是正定的。是正定的。沿系统轨线的时间导数沿系统轨线的时间导数Axx P

10、xxxT)(VTT( )d ( ) dLVtxxx Pxx PxxPAPAx)(TTT( )Vxx PxTT()AxPxx PAxTTTx A Pxx PAx( )0LxT0A PPA13 是一个李雅普诺夫函数的条件是：存在一个对称正定矩阵P，使得以下矩阵不等式成立：即以上的矩阵不等式有正定解，那么系统渐近稳定！反之，可以证明：假设系统渐近稳定，那么它一定有正定解定理 线性时不变系统 渐近稳定的的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵P，使得特点：条件是充分必要的； 给出了李雅普诺夫函数的详细构造方法。关键的问题：如何求解矩阵不等式：0 PAPATAxx 0 PAPAT0 PAPATT( )Vxx

11、 Px14李雅普诺夫方程处置方法李雅普诺夫方程处置方法转化成方程来处置。对恣意选定的对称正定矩阵转化成方程来处置。对恣意选定的对称正定矩阵Q，假设，假设 李雅普诺夫方程李雅普诺夫方程有一个对称正定解有一个对称正定解P，那么矩阵，那么矩阵P 一定满足矩阵不等式一定满足矩阵不等式 李雅普诺夫不等式李雅普诺夫不等式定理定理 线性系统渐近稳定的充分必要条件是李雅普诺夫方程存在对称正定解矩阵。线性系统渐近稳定的充分必要条件是李雅普诺夫方程存在对称正定解矩阵。阐明：李雅普诺夫方程的可解性不依赖矩阵阐明：李雅普诺夫方程的可解性不依赖矩阵Q的选取，故普通可以选的选取，故普通可以选Q I； 李雅普诺夫方程是一个

12、线性方程组；李雅普诺夫方程是一个线性方程组； 假设李雅普诺夫方程可解，那么其中矩阵假设李雅普诺夫方程可解，那么其中矩阵Q的含义是的含义是QPAPAT0 PAPATTd ( ) dVt xx Qx15例例 运用李雅普诺夫方程运用李雅普诺夫方程方法分析系统稳定性。方法分析系统稳定性。解解 原点是系统的独一平衡点。解方程原点是系统的独一平衡点。解方程系统是二阶的，故系统是二阶的，故 求解方程组，可得求解方程组，可得0111xxIPAPAT22121211ppppP1001111011102212121122121211pppppppp121112221222210221pppppp 12121232

13、2121211pppp1211122211122212222102201ppppppppp16验证矩阵验证矩阵P的正定性的正定性根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法，对根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法，对 矩阵矩阵P是正定的，故系统是渐近稳定的。是正定的，故系统是渐近稳定的。 系统的李雅普诺夫函数是系统的李雅普诺夫函数是01212123det, 02321)223(21)(222121TxxxxVPxxx)()(d)(d2221TxxtVxIxx121212322121211pppp17MATLAB函数P=lyap(A,B,Q) 求解矩阵方程：P=lyap(A,Q) 求解矩阵方程：作业：运用M

14、ATLAB函数求解李雅普诺夫方程。例 确定增益K的范围，以使得系统是渐近稳定的。在工业运用中经常需求根据工况，给出一些参数的在线调理范围。QPBAPQPAPAT1sK21ss1+_ux3x2x118解 首先给出系统的形状空间实现：针对自治系统，思索稳定性。解以下方程，可得原点是独一的平衡形状。uKxxxKxxx0010120010321321223130020 xxxKxx 19选取半正定矩阵沿系统恣意轨线，上式不恒等于零。为什么？李雅普诺夫矩阵方程是11223301002101xxxxxKx122233132xxxxxxKxx 100000000Q1000000001012001011002100332313232212131211332313232212131211KppppppppppppppppppK23Td)(dxtVQxxx20求解线性方程组，可得矩阵P正定的充分必要条件是 ，当 时，系统在原点处是大范围渐近稳定的。KKKKKKKKKKKKKKK212621202122123212602126212122P0212 K0K60 K21线性矩阵不等式处置方法普