第二节二维连续随机变量

1、第二讲第二讲 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一一 二维连续型随机变量定义二维连续型随机变量定义 二维均匀分布，二维正态分布二维均匀分布，二维正态分布三三 边缘分布边缘分布四四 条件分布条件分布五五 随机变量的独立性随机变量的独立性四四 随机向量函数的分布随机向量函数的分布 yxdudvvufyxF,),(),(则称则称( X,Y )是连续型的二维随机变量，是连续型的二维随机变量，f (x , y )称为称为 X和和Y的联合概率密度的联合概率密度一、二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量 P61 对于二维随机变量对于二维随机变量 ( X,Y )，如果存在如果存在 f (x , y )0使

2、得对于任意的使得对于任意的 x，y （1）定义）定义yx(x,y)（2) 概率密度的概率密度的性质：性质： P62;0),(10 yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf40 设设G是平面上的一个区域，点是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在落在 G内内 的概率为：的概率为： GdxdyyxfGYXP.),(),(分布函数与分布函数与密度函数的密度函数的关系式！关系式！).,(),(2yxfyxyxF 30 在在f (x , y )连续点处连续点处其它00, 0),(43yxceyxfyx例例 1 随机向量的概率密度随机向量的概率密度（1）求）求c=? (2) (X,Y)的联合分布函数

3、的联合分布函数 (3） P0X1,0Y1 解解 1),(dxdyyxfyx 00431dxdyceyx10403dyedxecyx112c12c(1) 求求c其它00, 0),(43yxceyxfyx例例 1 随机向量的概率密度随机向量的概率密度（1）求）求c=? (2) (X,Y)的联合分布函数的联合分布函数 (3） P0X1,0Y1 解解yx(2) 求联合分布函数求联合分布函数 当当x0或或y0且且y0时时yx xydxdyyxfyxF),(),( xyyxdxdyce0043)1)(1 (43yxee其它，00011),(43yxeeyxFyx(x,y)(x,y)其它00, 0),(43

4、yxceyxfyx例例 1 随机向量的概率密度随机向量的概率密度（1）求）求c=? (2) (X,Y)的联合分布函数的联合分布函数 (3） P0X1,0Y1 解解yx(3) P0X1,0Y212 10204312dxdyeyx)1)(1 (83ee其它00, 0),(43yxceyxfyx例例 1 随机向量的概率密度随机向量的概率密度（1）求）求c=? (2) (X,Y)的联合分布函数的联合分布函数 (3） P0X1,0Y1 解解yx(4) PX+Y111YXP101043121xyxdyedx11xy14334 ee其它00, 02),(2yxeyxfyx练习练习P62 随机向量的概率密度随

5、机向量的概率密度（1）求）求 (X,Y)的联合分布函数的联合分布函数 (2） PYX 解解 解解yx(1) 求联合分布函数求联合分布函数 当当x0或或y0且且y0时时yx xydxdyyxfyxF),(),( xyyxdxdye0022)1)(1 (2xyee其它，00011),(2yxeeyxFyx(x,y)(x,y)其它00, 02),(2yxeyxfyx练习练习P62 随机向量的概率密度随机向量的概率密度（1）求）求 (X,Y)的联合分布函数的联合分布函数 (2） PYX 解解 解解yx(2) 求求PYXPXY 00)2(2dxdyexyxxy 032)22(dxeexx0)32-32x

6、xee31其它042 , 20)6 (),(yxyxkyxf练习练习2 随机向量的概率密度随机向量的概率密度(1) 求求 k (2） PX1,Y3(3) PX1.5 (4）PX+Y4 解解yx2024 1),(dxdyyxf1)5(2042 dxdyyxk81k(1) 求求k其它042 , 20)6 (),(yxyxkyxf练习练习2 随机向量的概率密度随机向量的概率密度(1) 求求 k (2） PX1,Y3(3) PX1.5 (4）PX+Y4 解解yx2024(2） PX1,Y38313dxdyyx 1032)5(81其它042 , 20)6 (),(yxyxkyxf练习练习2 随机向量的概

7、率密度随机向量的概率密度(1) 求求 k (2） PX1,Y3(3) PX1.5 (4）PX+Y4 解解yx2024(3) PX1.532271.5dxdyyx5 . 1042)5(81其它042 , 20)6 (),(yxyxkyxf练习练习2 随机向量的概率密度随机向量的概率密度(1) 求求 k (2） PX1,Y3(3) PX1.5 (4）PX+Y4 解解yx2024(4）PX+Y4321.5dxdyyx 204x-2)5(814xyDxy1 二维均匀分布二维均匀分布 P72（1）定义）定义 设设D为平面上的区域为平面上的区域如果（如果（X，Y）的密度函数为）的密度函数为称（称（X，Y）

8、服从）服从D上的均匀分布上的均匀分布(2) 二维均匀分布几何意义二维均匀分布几何意义 随机点（随机点（X，Y）落在）落在D1内的概率：内的概率：1DDDSSDYXP1,(1 其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxf二二 常见的二维随机变量常见的二维随机变量 22222121212122121221121),(yyxrxreryxf rNYX222121 ， ,210， ii . 11 r2 二维正态分布二维正态分布 P65如果（如果（X，Y）的密度函数为）的密度函数为r222121，则称（则称（X，Y）服从参数为）服从参数为的正态分布的正态分布记为：记为：其中：其中：1 随机变量(X，

9、Y)中，分量X(或Y)的概率分布称为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布 三 连续随机向量的边缘分布 P63，642 随机变量(X，Y) 的分布函数F(x,y)与分量X(或Y)的分布函数 FX(x), FY(y)的关系)(xXPxFXyxXP，)(，xF同理同理)(yFY),(yF )(xFX)(，xF)(yFY),(yF 例例1 (X，Y)分布函数为分布函数为其余，01, 0110 , 0)1 ()(yxeyxyeyxFxx求（求（1）边缘分布函数）边缘分布函数 （2）边缘密度函数）边缘密度函数解解)(xFX)(limyxFy，0 x00 xxe1)(xfX)(xFX0 x00 xxe)(y

10、FY)(limyxFx，0y010 yy1y1)(yfY)(yFY10 y01其余其余01yex)1 (xe1xy3 已知联合密度函数求边缘密度函数已知联合密度函数求边缘密度函数 P64( X,Y )联合概率密度为联合概率密度为 f (x , y )(xXPxFX xdudyyuf),(xxy)(xfXdyyxf),()(yYPyFY ydvdxvxf),(xyy)(yfY)(yFYdxyxf),()(xFXyoy=xy=x21D例例1 如图，区域如图，区域D为为y=x2与与y=x围成，如果围成，如果 （X，Y）为）为D上的均匀分布，求（上的均匀分布，求（1）联合密）联合密度函数，（度函数，（

11、2）边缘分布函数）边缘分布函数解解10221dxxA61),(yxfDyx),(6Dyx),(0)(xfXdyyxf),( 1 , 0 x0 xxdy26 1 , 0 x 1 , 0 x0266xx 1 , 0 x)(yfYdxyxf),( 1 , 0y0yydx6 1 , 0y 1 , 0y0yy66 1 , 0yP65yoy=xy=x21D例例2 如图，区域如图，区域D为为y=x2与与y=x围成，如果围成，如果 （X，Y）为）为D上的均匀分布，求（上的均匀分布，求（1）联合密）联合密度函数，（度函数，（2）边缘分布函数）边缘分布函数解解10221dxxA61),(yxfDyx),(6Dyx

12、),(0)(xfXdyyxf),( 1 , 0 x0 xxdy26 1 , 0 x 1 , 0 x0266xx 1 , 0 x)(yfYdxyxf),( 1 , 0y0yydx6 1 , 0y 1 , 0y0yy66 1 , 0yP65练习练习 设设( (X,Y) )服从如图区域服从如图区域D上的均匀分布，上的均匀分布， 求关于求关于X和关和关于于Y的边缘概率密度的边缘概率密度. .x=yx=-y othersxdyxdyxfxxX01001)(11 othersydxyfyyY010)(例例3 （X，Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为解解其余00),(yxcxeyxfyxyxy 1),(

13、dxdyyxf01dxdycxexy(1) 求求cx1c求（求（1）常数）常数c (2）边缘分布函数）边缘分布函数例例3 （X，Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为解解其余00),(yxcxeyxfyxyxy(2)边缘分布函数边缘分布函数x求（求（1）常数）常数c (2）边缘分布函数）边缘分布函数)(xfXdyyxf),(0 x0 xydyxe0 x0 x0 xxe0 x)(yfYdxyxf),(0y0yydxxe00y0y0yey2210yy rNYX222121 ，定理定理则则),(211NX),(222NY二维正态分布的二维正态分布的边缘分布为正态边缘分布为正态分布分布注意注意1222

14、121rNYX，与与2222121rNYX，有相同的边缘分布有相同的边缘分布边缘分布相同二边缘分布相同二维正态分布不一维正态分布不一定相同定相同P66四、条件分布函数四、条件分布函数 P69 设设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量0 yYP|yYxXP无意义无意义但我们可以通过取极限的方式得到如下结论但我们可以通过取极限的方式得到如下结论)(),()|(|yfyxfyxfYYX . Y XXf xyfy xfx，在在Y=y的条件下的条件下X的密度函数为的密度函数为在在X=y的条件下的条件下Y的密度函数为的密度函数为1 定义定义y为为常数常数x为为常数常数0)|(|yx

15、fYX2 条件密度函数的性质条件密度函数的性质性质性质1性质性质21)|(|dxyxfYX条件密度函数条件密度函数是概率密度函数是概率密度函数例例 4 设设 ( X ,Y ) 的概率密度为的概率密度为., 0, 10,| , 1),(其它xxyyxf)(),(1yfxfYX）（.0|21)3( YXP解解xy01xy xy dyyxfxfX),()() 1 (, 10 xxxxdy20)|(),|() 2(|xyfyxfXYYX求求x2其余其余dxyxfyfY),()() 2(01yydxy11y110 yydxy11y1其余其余01|y|1 y其余其余0例例 4 设设 ( X ,Y ) 的概

16、率密度为的概率密度为., 0, 10,| , 1),(其它xxyyxf)(),(1yfxfYX）（.0|21)3( YXP解解xy01xy xy)() 1 (xfX, 10 x0)|(),|() 2(|xyfyxfXYYX求求x2其余其余)() 2(yfY1|y|1 y其余其余0) 2(1|y时时)|(|yxfYX1| xy|11y其余其余0y为为常数常数)(yfyxfY（，例例 4 设设 ( X ,Y ) 的概率密度为的概率密度为., 0, 10,| , 1),(其它xxyyxf)(),(1yfxfYX）（.0|21)3( YXP解解xy01xy xy)() 1 (xfX, 10 x0)|(

17、),|() 2(|xyfyxfXYYX求求x2其余其余)() 2(yfY1|y|1 y其余其余0) 2(10 x时时)|(|xyfXYxyxx21其余其余0 x为为常数常数)(xfyxfX（，例例 4 设设 ( X ,Y ) 的概率密度为的概率密度为., 0, 10,| , 1),(其它xxyyxf)(),(1yfxfYX）（.0|21)3( YXP解解)|(),|() 2(|xyfyxfXYYX求求0|21)3(YXP00,21YPYXPxy01xy 211121221)211 (43 rNYX222121 ，定理定理则则)( |yYX22122111ryrN，y为为常数常数例例 4 设设X

18、U(0,1),当当0 x1时时 , Y|(X=x)U(x,1) 求求 Y的密度函数的密度函数 1,01,0,.Xxfx其它解解1,1,10,.Y Xxyfy xx其它当当0 x1时时 xfyxfxyfXXY， xyfxfyxfXYX ，),(yxfxy0111,01,10,.xyx其它),(yxfxy0111,01,10,.xyx其它011ydxxln 1.y yfY当当0y1时时dxyxf, yfY0y1)1ln(y其余其余01 定义 随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x,y), X的分布函数为FX(x), Y的的分布函数为FY(y)五五 随机变量的相互独立性的相互独立性 P71如果如果)

19、()(),(yFxFyxFYX随机变量X与Y相互独立相互独立2 判断独立的充要条件：X连续型随机变量X与Y独立独立)()(),(yfxfyxfYX联合密度等于边联合密度等于边缘密度的乘积缘密度的乘积1 定义 随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x,y), X的分布函数为FX(x), Y的的分布函数为FY(y)五五 随机变量的相互独立性的相互独立性 P71 ，72，73如果如果)()(),(yFxFyxFYX随机变量X与Y相互独立相互独立2 判断独立的充要条件：X连续型随机变量X与Y独立独立)()(),(yfxfyxfYX联合密度等于边联合密度等于边缘密度的乘积缘密度的乘积3 定理定理 rNYX

20、222121 ，二维正态随机向量二维正态随机向量则则X与Y独立独立0r 例例1 1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立是否独立？0,0, 0 xxexx其余00, 0),()(yxxeyxfyxxy)(xfXdyyxf),(0 x00)(dyxeyx0 x解解)(yfYdxyxf),(0y00y0)(dxxeyx0,0, 0yeyy)()(yfxfYX),(yxf故故X和和Y相互独立相互独立 例例1 1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立是否独立？0,20, 02xexxxy)(xfXdyyxf),(0 x00)2(2dyeyx0 x解解)(yfYdxyxf),(0y00y0)2(2dxeyx0,0, 0yeyy)()(yfxfYX),(yxf故故X和和Y相互独立相互独立其它00, 02),(2yxeyxfyxy0yexe22xyxee22xx)2(2y)f(x,yxe)(xFX)(，xF)(yFY),(yF 例例2 (X，Y)分布函数为分布函数为其余，01, 0110 , 0)1 ()(yxeyxyeyxFxx证明证明X，Y相互独立相互独立解解)(xFX)(limyxFy，0 x00 xxe1)(yFY)(limyxFx，0y010 yy1y1y01