8.1椭圆的标准方程ppt课件

1、圓錐曲線圓錐曲線(英語：英語：conic section)，又稱圓錐截痕、圓錐截，又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次曲線，是數學、幾何學中通過平切圓錐嚴格面、二次曲線，是數學、幾何學中通過平切圓錐嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切得到的一些曲線，為一個正圓錐面和一個平面完整相切得到的一些曲線，圓錐曲線在約公元前圓錐曲線在約公元前200年時就已被命名和研究了，其年時就已被命名和研究了，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯，那時阿波羅尼發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯，那時阿波羅尼奧斯對它們的性質已做了系統性的研究。奧斯對它們的性質已做了系統性的研究。 用垂直於錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面

2、漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把抛物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼奧斯在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學中關於圓錐曲線的全部性質和結果。xyACBO哈雷慧星及其運行軌道橢圓形的尖嘴瓶橢圓形的餐桌橢圓形的精品“嫦娥二號於2019年10月1日18時59分57秒在西昌衛星發射中心發射升空 橢圓定義中容易遺漏的三處地方：(1) 必須在平面內；(2) 兩個定點 兩點間距離確定；(3) 繩長 軌跡上任意點到兩定點距離和確定。1、橢圓定義、橢圓定義平面內與兩個

3、定點 的距離和等於常數(大於 ) 的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 。21,FF|21FF留意留意: 在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁(線段)在同樣的繩長下，兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓(圓)。 由此可知，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關。1、改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2、繩長能小於兩圖釘之間的距離嗎？ 1、改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2、繩長能小於兩圖釘之間的距離嗎？ (2) 當2a =|F1F2|時，此時M點的軌跡為線段F1F2；(3) 當2a|F1F2

4、|時，此時M點的軌跡為橢圓；於是，我們得到：於是，我們得到： 平面內動點M到兩定點F1與F2的距離的和等於常數的點的軌跡可分為 (其中 )：cFFaMFMF2| ,2|2121 探討建立平面直角坐標系的方案探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸作為坐標軸) 取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖所示)

5、。 設M(x, y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距2c(c0)，M與F1和F2的距離的和等於正常數2a (2a2c) ，則F1、F2的坐標分別是(-c,0)、(c,0) 。xF1F2M0yaMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxMFycxMF由橢圓的定義得2、橢圓的標準方程的推導、橢圓的標準方程的推導aycxycx2)()(2222得方程 2222)(2)(ycxaycx移項，得 222222bayaxb兩邊除以 ，得22ba022ca由橢圓定義可知，2a2c，即ac，所以222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两邊再平方，得整理得)()(22

6、222222caayaxca2222)(2)(ycxaycx移項，得 設 ，得)0(222bbca2222222)()(44)(ycxycxaaycx兩邊平方)0(12222babyax(1) 剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程呢？ 這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1 (-c,0) 、F2(c,0) ，這裡222bacF1F2OxyM 如果橢圓的焦點在y軸上，焦點是F1 (0,-c) 、F2(0,c) ，只要將方程(1)的x 、y互換，就可以得到它的方程，這時方程為)0(12222babxay 這個方程也是橢圓的標準方程

7、。) 0( 12222babxay總體印象對稱、簡潔，“像直線方程的截距式012222babyax(2) 焦點在y軸(1) 焦點在x軸因此，橢圓有兩種標準方程：1oFyx2FM12yoFFMx)0( 12222babyax)0( 12222babxay橢圓的標準方程的特點：橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊 是1；(2) 橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2；(3) 兩種標準方程中a、b、c總是滿足 ab0和ac0 ；(4) 橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在 哪一個軸上。12yoFFMx1oFyx2FM2222+=1 0 xyabab2222

8、+=1 0 xyabba分母哪分母哪個個大，焦大，焦點點就在哪就在哪個軸個軸上上222=+abc平面平面內內到到兩個兩個定定點點F1，F2的距的距離離的和等的和等於常於常數數大於大於F1F2的的點點的的軌跡軌跡12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc標準標準方程方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖 形形焦焦點點座座標標定定 義義a、b、c 的的關係關係焦焦點點位置的判位置的判斷斷 再認識！再認識！xyF1F2POxyF1F2PO則a ，b ；c ；焦點在 ；練習練習135 ) 1 (2222yx142 )2(2222yx則a ，b ；c ；焦點在 ；169 )3(22yx則

9、a ，b ；c ；焦點在 ；173 )4(22yx則a ，b ；c ；焦點在 ；兩個焦點的坐標分別是(- 4，0)、(4，0)，橢圓 上的一點P到焦點的距離之和等於10；(2) b=5，焦距為8例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：兩個焦點的坐標分別是(- 4，0)、(4，0)，橢圓 上的一點P到焦點的距離之和等於10；(2) b=5，焦距為8例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：例2 已知橢圓的焦點在 軸上， ，且經過點 求這個橢圓的標準方程。yba5)5,10(例3 已知B、C是兩個定點，|BC|=6，且ABC的周長為 16，求頂點A的軌跡方程。1、動點P到兩個定點F1(-4，0)、F2(

10、4，0)的距離之和為 8，則P點的軌跡為 ( )練習練習A、橢圓 B、線段F1F2C、直線F1F2 D、不能確定2、方程 的曲線是焦點在y軸上的橢圓，則k 的取值範圍是222kyxA、(0，+)B、(0，2)C、(1，+ )D、(0，1)3、如果椭圓 上一點P到焦點F1的距離为6， 則點P到另一焦點F2的距離為 。13610022yx4、橢圓 的焦點坐標是 _。)0(22nmmnnymx(1) b=4，c=2，焦點在y軸上；(2) 焦點坐標為(0,-4)、(0,4)且經過點5、求適合下列條件的橢圓的標準方程：)33,5(P6*、已知線段AB的長為a，它的兩個端點分別在x軸和y 軸上滑動，求內分AB成m:n的點M的軌跡方程。1、本節課學習了圓錐曲線中的橢圓的形成及定義。2、通過橢圓的定義推出了橢圓的標準方程。橢圓的標 準方程有兩種，一種焦點在x 軸，一種焦點在y軸。3、給出了橢圓的標準方程焦點位置的判斷方法。4、橢圓的標準方程主要是利用待定係數法求出a、b的 值從而求出橢圓的標準方