红湖学校2019学年度第二学期期末考试题高二数学(2)

1、红湖学校2019学年度第二学期期末考试题有一项是符合题目要求的。1.空间两条直线a、b与I都是异面直线，则a、b的位置关系是A.平行或相交B.异面或平行C.异面或相交a、D平行或相交或异面2.（理）复数z=（m22m-3）（m-1）i为纯虚数，则实数m的值为（文）在曲线y=x2-1的图象上取一点（1,2）及邻近一点D.3或1（1：x,2y），则二y为lxD.：x-2Ax3.已知、表示两个不同的平面，直线m:，贝U匕I"是"m_-"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1

2、人），其中甲和乙不同时选派，则不同的选派方案种数为A.1320B.288C.1530D.6705.（理）已知函数exax2-2A.（文）1现有110，B.10张奖票，只有12jiJig0）在（-址）上连续，则实数a=（x0）C.-2D.-3-1张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率分别为1，101C.106.在区间【一孑才上随机取一个数x,COSX的值介于_9_1010至y之间的概率为21D.101107.已知正四棱柱ABCD-ABCP中，AA=2AB,E为AA中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为-10A.101B.-53.10C.10D.1&已知（2x3）n的展开式的常数项是

3、第7项，则正整数xn的值为D.10号。若要从中任选4人按编号大小分成两组，其中编号较小的两人在一组，编号较大的两人在一组，那么确保5号与14号入选并被分到同一组的选取种数为A.16B21C24D9010.设地球半径为R,乙两地最短距离为B.-1-R4jiC.R2D2R在北纬45。的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°,则甲、11.ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离大于1的概率为D.1-8B.1-412.已知二面角二的大小为60°，动点P、Q分别在面：、内，P至厂：的距离为,3,Q到的距离为23，贝UP

4、、Q两点之间距离的最小值为A.1B.2C.23D.4第U卷（非选择题共90分）二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。1+2i113 .（理科）若，则实数;a+6i3（文科）某单位员工按年龄分为A、B、C三级，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到1的概率是，则该单位员工总数为;4514 .若C0CV：=256,则（x-1）"1的展开式中x5项的系数是。xS15.（理科）设等差数列an的前n项和为Sn,若a6二S3=12,则叩.22=;（文科）设P为曲线C：x22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取n值范

5、围为0,，则点P横坐标的取值范围为;416. 在体积为4'、3二的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=2，A，C两点间的球身3面距离为n，则球心到平面ABC的距离为3三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)(理科)用数学归纳法证明：122232亠亠n2=n(n1)(2n1)。(nN)6(文科)设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内(I)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？(H)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.(本

6、小题满分12分)12某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是丄，答错每道题的概率都是2，答对一33题积1分，答错一题积-1分，答完n道题后的总积分记为Sn.(I)答完2道题后，求同时满足S=1且S2兰0的概率;(n)答完5道题后，求同时满足S=1且Ss=1的概率;第19题图佃.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB/DC,ZBCD=90°。(I)求证：PC丄BC;(n)求点A到平面PBC的距离。20. (本小题满分12分)1(理科)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为-与p，且21乙投球2次均未

7、命中的概率为一。16(I)求乙投球的命中率p;(n)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(川)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率。(文科)设函数f(x)=x3ax29x1(a：0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12xy=6平行。(I)求a的值；(n)求函数f(x)的单调区间。21. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA"iBQ中，NABC=90°,AB=BC=2,AA=4,M、N分别为CCi、A1C1的中点。(I)求证：AM丄平面BiMN;(n)求二面角AiBiMA的大小。第22题图22. (本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-

8、ABCD，中，AP=BQ=b(0:b:1),AD/截面PQEF,AD/截面PQGH(I)证明：平面PQEF平面PQGH；(n)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；(川)若DE与平面PQEF所成的角为45；，求DE与平面PQGH所成角的正弦值.红湖学校2019学年度高二第二学期期末数学参考答案、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DCBADACBBABC二、填空题（每小题5分，共20分）1313（理）3（文）10014-361理）1；（文）八216-2三、解答题（共70分，答案没有写在相应答题区域的的不给分）17. （理）证明：（1）当n

9、=1时，左边=12=1，右边=22=1，等式成立；2分62222k（k+1）（2k+1）（2）假设当n=k时，等式成立，即123-k，3分6那么当n=k+1时，22222k（k+1）（2k+1）2左边=122232"2（k1）2=（k1）25分622k(k1)(2k1)6(k1)(k1)(2k7k6)6=6(k1)(k2)(2k3)(k1)(k1)2(k1)1=右边66所以，当n=k+1时，等式成立；综合（1）（2）可知等式对任何nN”都成立。10分（文）略解（1）C；A4=12005分-1=11910分18. 解：（1）由题意“S,=1且§一0”表示“答完2题，第一题答对

10、，第二题答错；或12111第一题答对，第二题也答对”此时概率P=6分33333（2）由题意“S=1且&=1”表示“答完5道题，第一题答对，后四题答对两道，答错1（1丫8两道”此时概率p=-丨，一丨12分313丿13丿81佃.解一：（1）证明：因为PD丄平面ABCD,BC平面ABCD，所以PD丄BC。由/BCD=90°,得CD丄BC,又PD|DC=D,PD、DC二平面PCD，所以BC丄平面PCD。因为PC平面PCD，故PC丄BC。5分（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF，则:易证DE/CB,DE/平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PB

11、C的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC丄平面PCD,所以平面PBC丄平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC，所以DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。易知DF=故点A到平面PBC的距离等于、2。（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为ho因为AB/DC，/BCD=90°,所以/ABC=90°。从而AB=2,BC=1，得：ABC的面积SAbc=1。11由PD丄平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积VSABCPD-。33因为PD丄平面ABCD,DC二平面ABCD，所以PD丄DC。又PD=DC=1，所以PCh；PD1=(1p)2，解

12、得16DC2h2。由PC丄BC,BC=1，得PBC的面积BCAA由VA.PBC二Vp丄bc，3PBCh=V=3，得h=-.2,33故点A到平面PBC的距离等于2。12分解二、坐标法：略A,"乙投球一次命中”为事件B,20. （理）解：（1）设"甲投球一次命中”为事件由题意得（1-P（B）2p=4或p=4(舍去),44所以乙投球的命中率为（2）解法一：由题设和（11)知，P(A)=2，P(A)故甲投球2次至少命中1次的概率为1-P（AA）1234解法二：甲投球2次至少命中1次的概率为c2p（a）p（A）p（a）p（a）41 彳Q_1(3)解：由题设和(1)知，P(A)=,p(

13、A)=丄，P(B),P(B)=2 244甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：_3甲、乙两人各中一次概率为：c；p（a）p（A）c；p（b）p（B）：_1甲中2次，乙2次均不中概率为：p（Aa）p（BB）=前；甲2次均不中，乙中2次概率为：p（AA）p（bb）9,6431911所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为.12分16646432（文）解：（1）因f（x）=x2ax29x-11分2所以曲2”9皿-护9送即当x=时，f（x）取得最小值-934分因斜率最小的切线与12x6平行，即该切线的斜率为-12,2所以七=_12即a2=9，解得a=±3,由题设av0,所以a=-3

14、.32厂(x)=3x2_6x_9=3(x_3)(x+1)由得f(x)=x-3x-9x-1,故令f(x)=0,解得：/=1,&=3-1)上为增函数；3'当（-：，-1）时，f（x）0,故f（x）在（当x（-1,3）时，f（x）：0,故f（x）在（-1,3）上为减函数；当x（3,+：）时，f（x）-0,故f（x）ft（3，：）上为增函数.函数f（x）的单调增区间为（-兀',-1）和（3,：）；单调减区间为（-1,3）山川.12分21. 解一：（1）分别以BA、BB1、BC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(2,0,0),M(0,2,2),(0,4,0),N

15、(1,4,1),AM士,2迢B生(1,0,1)帥=(0,AMB1NAMBM=0,AMBNAMB,M,(II)由(I)知，AM丄平面BiMNBiM二平面BiMN,AM丄BiM,vAiB丄BiCi,AiBi±BiB,BiCiHBiB=Bi,AiBi±平面BiBCCi,77*zocc、Tsee、77*aimbAlV31MA=(2,-2,-2),BlA=(2,0,0),cos：MA,BlAl1112分解二：常规法，略|AM|BlAl|22.解法一:(I)证明：在正方体中，AD_AD,AD_AB，又由已知可得故二面角AiBiMA的大小为arctan、.2.PF/AD,PH/AD,PQ

16、/AB,所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.所以PH_PF,PH_PQ，所以PH_平面PQEF.(n)证明：由(I)知PF=-：AP,PHh?2PA，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是(.2AP2PA)PQ=.2，是定值.8分(III)解：连结BC'交EQ于点M因为PH/AD,PQ/AB,所以平面ABCD和平面PQGH互相平行，因此DE与平面PQGH所成角与DE与平面ABCD所成角相等.与(I)同理可证EQ丄平面PQGH，可知EM丄平面ABCD，因此EM与DE的比值就是所求的正弦值.设AD交PF于点N，连结EN，由F=1b知D

17、E=(1b)22,ND丄i!(i一r.22因为AD丄平面PQEF,又已知DE与平面PQEF成45；角，jz逅所以DE="2nD，即2(1b)=1(1b)22,22解得b=1，可知E为BC中点.所以EM=2，又DE=.(1-b)22二彳,242故DE与平面PQCH所成角的正弦值为列=二DHE612分y,z轴的正半轴建立如图的空间直解法二：以D为原点，射线DA,DC,DD'分别为x,角坐标系Dxyz由已知得DF=1b,故A(1,0,0),A(1,0,1),D(0,0,0),D(0,0,1),P(1,0,b),DiQ(1,1,b),E(1-b；l,0),F(1-b,0,0),G(b,1),H(b,0,1).(I)证明：在所建立的坐标系中，可得PQ=(010),PF=(-b,0,-b),££f-BEPH=(b-101-b),AD=(-101),AD=(-10,-1).因为ADPQ=o,ADlPF=o,所以aD是平面pqef的一个法向量.因为ADLpQ=0,AD_pH=0,所以AD是平面PQGH的一个法向量.因为AdlAD=0,所以AD_AD,.平面PQEF_平面PQGH.(n)证明：因为EF=