老教材四边形和平行四边形大节精析

1、初二几何第四章第一单元四边形和平行四边形一.教法建议【抛砖引玉】在教学中强调四边形、多边形概念及内角和定理，同时要侧重一些数学方法上，如类比和扩展方法的使用，把复杂问题转化为简单问题，化未知为已知的思想方法要贯穿在教学的始终。平行四边形的概念和性质是全章重点，一定要讲清楚，进而要抓住平行的判定理进行系统传授，归纳出五种判定方法，教学要理论联系实际，尽可能与实践结合。【指点迷津】在解题中将四边形、多边形转化为一些三角形，便可找到解决问题的突破口，要正确理解平行四边形的对角、对边、高，指出与三角形对角，对边的区别，高的区别。学过平行四边形判定方法后，凡是用平行四边形能证明的问题就不要再回到三角形全

2、等去证明了，要培养学生接受新事物观点。防止旧知识对新知识的干扰。二学海导航【精点题解】例.已知：如图，平行四边形ABCD中，BE丄AC于E，DF丄AC于F,求:BE=DF揭示思路：欲证线段相等，通常转化证三角形全等结合平行四边性质，找到证法8证法一：在平行四边形ABCD中，AB=DC，AB/DC，/BAE=/DCFBE丄AC，DF丄AC/AEB=/CFD=90°在厶ABE与厶CDF中AB=DCr/BAE=/DCF/AEB=/CFDABECDFBE=DF揭示思路：由题设发现SaABC=SaADC。便萌生计算三角形面积公式，便可得到证法：证法二：在平行四边形ABCD中，Saabc=Sac

3、da11ACBE=ACDF22BE=DF这是一个非常普通的基本图形，由此能脱胎出不少新题目，得出新的情况,但上述原证法亦然是打开思路“向导”变更题（一）原题的已知条件和圆形不变，求证：AE=CF;（2）AF=CE;（3）/ABE=/CDF（4）四边形BFDE为平行四边形（5）BD与EF互相平分。'"_变更题（二）.题设变化，如图，已知，平行四边形ABCD中，AE=CF以上各结论亦然成立。'本例所给出的图形是一个基本图形，必须把握住基本图形的特点和它的变形，才能攻克一道道难题，不少难题，只要认真分析，把图形分解，便可找到基本图形，以基本图形当“向导”，便可打开思路，因而

4、，精解习题时，必须留心基本图形，掌握它的特点，才能更好地应用图形性质解题。【思维扩散】扩散思维是创造思维的重要特性，训练扩散思维，使问题想的宽、想的深、想的细。例如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个三等分点，求证四边形BFDE是平行四边形/Sc/扩散i.准确的图形是证题的“向导”，它可把图形的各种关系及特点显露出来，观察图形，可发现四边形DEBF中，DE=BF，DF=BE，这就提醒我们证明两线段的相等，通常转化证明三角形全等，根据题设条件，设法证三角形全等即可。ABCD是平行四边形AD=BC，AB/BC，/DAE=/BCF又E、F为AC的两个三等分点AE=FC在厶AED和厶C

5、FB中AD=BC/DAE=/BCFAE=FCAEDCFBDE=BF同理：BE=DF四边形BFDE为平行四边形.（平行四边形判定定理2）扩散2:揭示思路：观察图形可直觉发现DE/BF，BE/DF，此时只要设法证明二直线平行即可，即证一组内错角、同位角相等，（同旁内角互补）。证两角等，又转化为证明三角形全等，可以仿扩散1可证得：AEDCFB/AED=/CFB/DEF=1800-/AED，/BFE=180°-/CFB/DEF=/BFEDE/EF同理可证：BE/BF四边形BFDE为平行四边形（平行四边形的定义）扩散3：揭示思路：（由题设告知ABCD为平行四边形，容易想起对角线互相平分，进而缺

6、一条对角线，必须添设辅助线补上（连结BD）则OB=OD，只要证OE=OF,思路便畅通了。连结BD交AC于点OABCD为平行四边形OB=OD,OA=OCE、F为AC的三等分点AE=CFOE=OAAE,OF=OCCFOE=OFvOB=OD四边形BFDE为平行四边形（平行四边形判定定理3）扩散4揭示思路：观察图形，直觉发现DEBF（或BE塁DF），只要证明一组条件成立，问题便可解决，证明两线段相等与平行，又转化为证明两个三角形全等，即打开思路。仿扩散1可证得AEDCFB贝UDE=BF，/AED=/CFB再仿扩散2可证得DE/BFDE二BF四边形DEBF为平行四边形（平行四边形判定理4）扩散5:将原题

7、设中的三等分AC改为四等AC，其它条件都不变，原结论成立吗？回答是肯定的，原证法都适用吗？完全适用，留给读者探索。扩散6:将原题中的三等分AC改为五等分AC，其它条件都不变，原结论成立吗？（原结论成立），原证法适用吗？（完全适用），读者不妨一试。扩散7:由扩散5和扩散6我们可发现，把ACn等分，（r>3的整数），将其它条件不变，原结论都成立，证法也相仿，请读者探索吧！扩散8:将AC进行n等分（n3的整数），其它条件不变,如图4,继续连结成四边形，第二个四边形，第三个四边形，第n个四边形，它们都是什么四边形？提出你的猜想，并进行证明可以吗?扩散9:原题设不变，图形不变，结论改为，求证:1S

8、四边形DEBF=一S四边形ABCD31扩散10:如图6,将AC五等分，其它题设不变，求证：Sdgbh=Sabcd5扩散11:将AC进行n等分（n3的整数）其它条件不变，继续连结成四边形,那么第n个四边形面积是原四边形面积的几分之几？提出你的猜想并进行证明。扩散12:如图5,原题设不变，在AC可在直线上截取AE=CF，求证：四边形BEDF为平行四边形。此时证题思路与原题相仿，仍然要转化为证明两个三角形全等，请读者完成，不再叙述。扩散13:如图8，原题设不变，在AC截取AE=CF=2EF,（继续截取AE=CF=3EF,4EF,，nEF），它们结论还成立吗？（即四边形DEBF还是平行四边形吗？）提出

9、你的猜想并进行证明。【集中分析】由上述分析可知，几何思路的寻觅，一般地说，准确画出图形（尽量把图形画的准确），因为准确图形，可发现线段之间，角之间的关系，即感性认识，再进行分析找出依据，即理性认识，产生飞跃，达到目的，如何能借助题设与“向导”准确找出思路，写出依据呢？必须认真学好课本的基础知识，如本例，必须熟练掌握判定四边形为平行四边形的方法，即平行四边形的定义和四个判定定理。这样才能心中有数，要证什么？怎样才能达到证题的目的呢？这样才能确定找什么，按照题设，结合图形，一定能找到要找到的条件，达到证题的目的。我们归纳几何证题思路为：要什么，找什么，缺什么，补什么，最后一定找到“它”。本例不是在

10、思维方法上进行扩散，而是在改变命题上进行扩散，对提高自身扩散思维能力培养大有裨益，开阔眼界，以一不变，应万变，学一例，会一类，精通一片，以少胜多，是值得倡导的一种好的学习方法。为了把同学们培养“四有”新人，本例把问题由有限扩散到无限，由静变动，变化万千，培养同学猜想能力，归纳思维能力，这样对自身数学素养的提高将十分凑效。只有通过这样进行扩散思维，才能更好学好课本知识，掌握学习的方法，真正变“学会”为“会学”，成为学习主人，能把自己培养成跨世纪人才。步探索它们之间的【难题解析】例：如图，ABCD为平行四边形，作EF/AB分别交AD、BC于点E、F,作GH/BC分别交AB、EF、CD于点G、0、H

11、,求证：2Smoc=S平行四边形0EDHS平行四边形0GBF揭示思维一：本例乍一看来无法入手，辅助线添设也插不进，此时必须观察图形中有多个平行四形，结合结论，进和差关系，可发现SS0B=SSBCSAOGSCOFS平行四边形OGBF，再观察结论与我们观察图形直观写出的等式比较左边少个系数2,抓住这个2的信息，必须立即把它补上，即各项乘以2,得2Saob=2Sabc2Saog2Scof2S平行四边形ogbf由图形还可发现：S平行四边形ABCD=2SABCS平行四边形agoe=2SaogS平行四边形ofch=2S°cofS平行四边形OEDH=S平行四边形ABCDS平行四边形AGOES平行四

12、边形OFCH啊，思路已经打通了，只要再把2S平行四边形OGBF=S平行四边形OGBF+S平行四边形OGBF进行一分为二，要证的结论就呈现在眼前，证法请读者自己写出。懈in揭示思路二：观察图形(可设字母如图)可直观发现:SAOC=SABCSAOGSCOFSOGBF111=2(m+n)(hi+h2)mh2nhinh2111=-(mhi+mh2+hin+h2n)mh2nh1nh21=2(mh1+mh2+nh1+nh2mh2mh12nh2)1=-(mh1nh2)SADc=mh1nh2即2Saoc=S平行四边形OEDHS平行四边形OGBF由上法可知，第二种思路多么自然，一路看风，使我们品尝面积证法的甜美

13、，借助三角形面积公式，平行四边形面积公式，计算一下便得出要证明的结果，面积公式独特的功效一定不可忽视，在遇到有关面积方面的难题，一定要想到它，它可为你助一臂之力！以上两种证法的获取，其关键是善于观察，捕捉图形之间关系，不知不觉就找到思路，真是踏破铁鞋“无觅”处，得来全不费功夫。为什么“无觅”，主要是基础知识不牢固，再者观察不仔细，(必须深入细致地观察，研究)造成的，吸取教训，注意培养自己敏锐观察力，洞察细微，发现蛛丝马迹，便可由此觅到思路。三.智能显示【心中有数】四边形及平行四边形是本章中的重中之重，那么，学好这一单元内容尤显得重要，它决定本章内容学习好坏的关键，必须强化这一部分内容的学习。【

14、动脑动手】(1) 一个多边形除了一个内角外，其余内角的和是2750°,贝U这个多边形的边数是1(2) 个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是共有条对角线。2. (1)平行四边形ABCD的周长是28,AC、BD相交于O点，若厶OAB的周长比OBC的周长多4,贝UAB=，BC=1(2) 在平行四边形ABCD中，AB=AD，M为AD的中点，则/BMC=(3) 组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？为什么？(4) 如图，在平行四边形ABCD中，EF/BC，GH/AB，EF、GH的交点P,在BD上那么图中有哪两个平行四边形面积相等？为什么？匿3. (1)平行四边形

15、对边且，对角，对角线o(2)平行四边形常用判定方法有：。(3) 两条平行线线中，一条直线上叫做这两条平行间的距离(4) 在平行线段相等。4. (1)能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是()(A) AB/CD,AD=BC(B)/A=/B，/C=ZD(C)AB=CD,AD=BC(D)AB=AD，/B=ZD(2)在给定条件中，能画出平行四边形的是()(A) 以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边(B) 以6cm、10cm为对角线，8cm为一边(C) 以20cm、36cm为对角线，22cm为一边(D) 以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边5. 已知：如图平行四边形ABCD

16、中，AE丄BD，CF丄BD，垂足为E、F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分。16. 已知E、F分别为平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，若AE=-AB，4DF和FC满足DF22DFFC-3F=0,求证：四边形BFDE为平行四边形7. 如图，在平行四边形ABCD中,AB:BC=4:5,若周长为35,/B=60°，求平行四边形ABCD的面积。8. 如图，平行四边形ABCD，DE平分/ADC，BF平分/ABC，求证：四边形BFDE为平行四边形(要求用五种方法证明)【动手动脑】答案或提示14略：5. 提示：先证AEDCFB，再证：AEGCFH6. 用DF22DFFC

17、3FC=0左边分解因式；解：(DF3FC)(DF+FC)=0vDF+FC0DF=3FC1FC=DC4BE/DF，BE=DF可证7. 作AE丄BC于E,连AC，AE=43S平行四边形=2Sabc=4038. 证法一：可证两组对边分别平行证法二：可证两组对边分别相等证法三：先证ABFCDE结合证法二，可证两组对角分别相等证法四：由证法2中得到DF=BE，再由平行四边形ABCD得DF/DE,DF*DE,.BFDE为平行四边形证法五：先证ABFCDE,再证AECF为平行四边形，进而证EF与DB互相平分，可证。四、步题库一、填空题1. 一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是2. n边形的

18、内角和是外角和的倍.3. 五边形内角和为，n边形内角和为4. 任意多边形的外角和等于,一个多边形的每一个外角都等于45°，则它的边数为.5. 六边形的每一内角都相等，它的每一个内角是，一个六边形有条对角线.6. 已知在HBCD中，/A比/B小40°，那么/C=.7. 已知一个平行四边形的一组对角和为214。，那么这个平行四边形相邻的两个内角的度数分别为8. 平行四边形相邻两个内角和等于，对角线9. 如图2-1-15，在四边形ABCD中,ZABC/BCD的外角分别是80°，90°，/A比/D大20°，那么ZA=，/B=，/C=，/D=.图2-1-

19、1610. 如图2-1-16，在匚ABCD中，对角线BD长的取值范围是ACBD交于点O,BC=8,AC=6那么对角线11. 一个平行四边形的周长为56cm，两邻边长的比为4:3,那么此两邻边的长为和12. 在_ABCD中，ZA的余角和ZB的补角相等，那么ZC的度数为n113. 已知ABCD的边AB=12cm它的长是周长的，那么BC=,CD=.615cm和19cm,它们的夹角为45°，那么，此平行22,两条高的比是3:2,两高之和为15,那么平14. 一平行四边形的两邻边长分别为四边形的面积为15. 已知平行四边形较短的一边长为行四边形的面积为初中数学初中数学经典教材系列老人教版二、选

20、择题1. 一个多边形的内角和等于外角和的一半，那么这个多边形是()(A) 三角形(B)四边形(C)五边形(D)均错2. 如图2-1-17，/A+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=90°n.那么n=().(A) 2(B)3(C)4(D)53. 如图2-1-18，已知公BCD的周长为8cmABC的周长是7cm.那么AC的长是().(A) 1cm(B)2cm(B) 3cm(C)4cm).9图2-1-17图2-1-184. 平行四边形一组对角的平分线().(A)定互相平行(B)定相交(C) 可能平行、也可能相交(D)平行或共线5. 已知_ABCD中，ZA：ZB：ZC：ZD的值可以是().(A)1

21、:2:3:4(B)1:2:2:1(C)2:2:1:1(D)2:1:2:16. 如图2-1-19，在QBCD中，EF过对角线交点O,AB=4cmAD=3cm0F=1.3cm,那么四边形BCEF的周长是().(A)8.3cm(D)13.6cm7. 下面性质中，平行四边形不一定具备的是()(A)对角互补(C)对角相等8. 四边形的四个内角(B) 邻角互补D)内角和是360°初中数学初中数学经典教材系列老人教版(A)都是锐角(B)都是直角9. 能判定四边形是平行四边形的条件是(A)组对边平行，另一组对边相等(C) 一组对边平行，一组邻有互补(C)都是钝角(D)和为四个直角).(B) 组对边平

22、行，一组对角相等D)组对边相等，两条对角线相等10. 如图2-1-20，已知二ABCD的顶点AC和二EBFD的顶点E、F在一条直线上，那么下列关系成立的是()(A)AE>CF(B)AE=CF(C) AE<CF(D)AE=EF=CF1611. 如图2-1-21，已知在-ABCD中，E、F分别是ABCD的中点，DEBF分别交AC于GH,那么().(A)AG=DG(B)AG丄DG(C)AG=DF(D)AG=GH12. 如图2-1-22，已知在2CABCD中，AE丄BC,AF丄CD,/EAF=60，那么有().1(A)AE=BE(B)AB=2AE(C)BE=CD(D)AE=DC213. 如

23、图2-1-23，平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形有().(A)2对(B)4对(C)6对(D)8对图2-1-21图2-1-22图2-1-2314. 已知四边形四边长分别是a,b,c,d,其中a,b为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd那么这个四边形是().(A)任意四边形(B)对角线相等的四边形(C)对角线垂直的四边形(D)平行四边形15. 如果AB、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有().(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个三、计算、证明题1. 如图2-1-24，已知在CABCD中，AB=6cmBC=10cm/ABC的平分线BE交AD于E.求DE的长.2.

24、如图2-1-25，已知在ZBCD中，AGBD相交于QAC=28cmAD=BD=24cm.求厶BOG勺周长.3. 如图2-1-26,已知在ABCD中，BE±CDBF丄AD,垂足分别为E、F,BE=2cmBF=3cm/EBF=60°.求_ABCD的面积.图2-1-264. 如图2-1-27，已知_ABCD的周长为120cm,对角线ACBD相交于O,AOB的周长比BOC勺周长少10cm.求ABCD的两邻边长.5. 如图2-1-28，已知在-ABCD中，DELAB于E,且AE=EBABCD的周长为7.6cm,ABD的周长比二ABCD的周长少2cm.求一ABCD各边的长.6. 如图2

25、-1-29，已知在jCABCD中，AE!BC,AFLCD/EAF=60°,BE=2,DF=3.求_ABCD的周长.7. 如图2-1-30，已知在ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，/仁/2.8. 如图2-1-31，已知DELAC,BFLAC,DE=BF/ADB2DBC.求证：四边形ABCD是平行四边形.9. 如图2-1-32，已知在厶ABC中，/仁/2,BE/GF,EF/AB.求证：AF=BG.10. 如图2-1-33，已知在©BCD中，AE、FC分别为/BAD/BCD的平分线求证：AGEF互相平分.图2-1-31图2-1-32图2-1-3311. 如图2-1-3

26、4，已知在存BCD中，AB=2BCE为CD的中点.图2-1-3512. 如图2-1-35，已知在ZZABCD中，由顶点向对角线作垂线AE、BF、CGDH垂足分别是E、F、GH.求证：EF/GH.参考答案同步题库参考答案电脑动手14略：5提示：先证AEDACFB,再证:AE®CFH.6. 由DF-2DFFC-3FC=0,左边分解因式，得(DF-3FC)(DF+FC)=0,/DF+FO0DF=3FC1-FC=DC4DE/DF,BE=DF可证.7. 作AE±BC于E,连AC,AE=4,3,So=2Soabc=4038. 【证法一】可证两组对边分别平行.【证法二】可证两组对边分别相

27、等.【证法三】先证ABFACDE吉合证法二,可证两组对角分别相等.【证法四】由证法2中得至UDF=BE,再由ABCD得DF/DE,vDFDE,BFDE/.【证法五】先证ABFACDE,再证AECF,进而证EF与DB互相平分,可证.填空题1.82.3.540°(n-2)180°4.360°85.120°96.70°7.2107°和73°8.120°互相平分9.95100907510.10<BD<2211.16cm12cm12.4513.24cm12cm14.285.22cm215.198cm1.A2.C3.C4.D选择题5.D6.B7.A8.D9.B10.B11.D12.C13.B14.D15.C1. 【解】vAE计算、证明题为/ABC的平分线/ABE=ZCBE又vAD/BG./CBE玄AEB/ABE=ZAEB AB=AEAE=AB=6cm,AD=BC=10cm DE=AD-AE=4cm.2. 【解】vABCD为平行四边形1 CO=AO=AC=14cm21BO=DO=BD=12cm2AD=BC=24cmCbo=BC+C0+OB=14+24+12=50cm.3. 【解】vBE丄DC,AB/DC BE丄AB又v/