2020年北京西城区高三一模数学试题

1、、选择题设集合(A)(2、若复数3、2020北京西城区高三一模第I卷（选择题共40分）2020.4:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,0)卜列函数中(A) y x4、设等差数列(A) 10,选出符合题目要求的一项xx 3, B xx 0或x 2 ,贝U A B ()(B) (2,3)(C) (,0)(3 i)(1 i),则 z ()(B) 2 . 5(C) . 10，值域为R且为奇函数的是（(B) y sin xan的前n项和为n ,右 a3(2,3)(D) (,3)(D)20(C) y2,a1 a4(B) 9(C) 85、设 A(2, 1), B(4,1),则

2、以线段22(A) (x 3) y 2 (B)(x6、设a,b,c为非零实数，且a(A) a b c (B) ab c7.某四棱锥的三视图如图所示(A) 2.25且2.38.设a,b为非零向量，则3xx x (D) y 25 ,则 S6( )(D) 7AB为直径的圆的方程是22 c3) y 8c,b 5则()a b(C)c (D)2(C)(x3)2y2 2(D)(x22 c3) y 8，记S为此棱锥所有棱的长度的集合(B) 2 2，则（）止（主）觊阴 储（在）制图S且 23 S5且2,3 S俯视图(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件sin x9.已

3、知函数f(x) 的部分图象如图所不，将此图象分别作以下1 sin x变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有()绕着x轴上一点旋转180; 沿x轴正方向平移；以x轴为轴作轴对称； 以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.(A)(B)(C)(D)10.设函数f (x)Xix2x3x2 10xlgx, xx4,则(X1,x 0*2)(*3若关于x的方程f (x) a(ax)的取值范围是()R)有四个实数解xi(i1,2,3,4,)，其中(A) (0,101(B) (0,99(C) (0,100(D) (0,)第II卷(非选择题共110分)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1611、

4、在(X -)的展开式中，常数项为 .(用数字作答) x 212、若向量a (x ,2),b (1,x)满足a b 3,则实数x的取值范围是 y M?x,则该双曲线的离心率为22213、设双曲线 4 1(b 0)的一条渐近线方程为 4 b14、函数f(x) sin(2x )的最小正周期为一若函数f (x)在区间(0,a)上单调递增，则 的最大值为 . 415 .在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为 70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为 60%,女生成绩的优秀率为 40%.对于此次测试，给出下列三个结论：甲校学生成绩的优秀率大于乙校

5、学生成绩的优秀率甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率.其中，所有正确结甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16 .(本小题满分14分)如图，在四柱ABCD AB1clD1中，AA1 平面ABCD,底面ABCD满足AD BC ,且 AB AD AA1 2, BD DC 2 2(I )求证：AB 平面ADD1A ;(n)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值17.（本小题满分14分）2 ._ _已知 ABC满足 ，且b 展,A ，求sinC的值及

6、 ABC面积3从B a J3a 3v'2sin B这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答。4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18.(本小题满分14分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取 20人进行英语水平测试，所得成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如下：女4567g77 95 6135 618(I)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；(n)从选出的8名男生中随机抽取 2人，记其中测试成绩在 70

7、分以上的人数为 X ,求X的分布列和数学期望；(出)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在每组中随机选取 m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在 70分以上的概率大于 90%.根据图表中数据，以频率作为I率，给出m的最小值.(结论不要求证明)19 .(本小题满分14分)设函数 f(x) alnx x2 (a 2)x,其中 a R(i )若曲线y f (x)在点(2, f (2)处切线的倾余好!为 一,求a的值；42(n)已知导函数f (x)在区间(1,e)上存在零点，证明：当x (1,e)时，f(x) e .20 .(本小题

8、满分15分)2设椭圆E:x- y2 1,直线li经过点M(m,0),直线I2经过点N(n,0),直线I1/I2,且直线li12分别与椭圆E相交于 A, B两点和C,D两点.(I )若M , N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线li x轴，求四边形ABCD的面积；(n)若直线li的斜率存在且不为 0,四边形ABCD为平行四边形，求证：m n 0;(出)在(n)的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由.21 .(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k N )个整数a1,a2, ,ak满足1 a1 a2an n,且a1 a?an n,则称数组(42, , ak)为n的一个“正整数分拆”.记

9、a1,a2, ,ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn, a1,a2, ,ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn.(I )写出整数4的所有“正整数分拆”；(n)对于给定的整数n(n 4),设30, , ak)是n的一个“正整数分拆”，且a1 2,求k的最大值；(出)对所有的正整数n,证明：fn gn ;并求出使得等号成立的 n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(为但， 闭)与(”也，bm),当且仅当k m且a a© b2, ,ak bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)西城区高三统一测试数学参考答案2020.4一、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分.1.C2

10、.B3.C4.B5. A6. C7. D8. A9. D10. B二、填空题：本大题共 5题，每小题5分，共25分.11 . 2012 . （ 3,1）旄13 . 2"n15 14 .汽，一 8注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共 6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16 .（本小题满分14分）解：（I）因为在底面 ABCD中，AB AD 2, BD 242,所以 AB2 AD2 BD2,即 AB AD. 2 分因为AAi平面 ABCD , AB 平面ABCD ,所以AAi AB, 4分又

11、因为 AA0AD A, AA1, AD 平面 ADD1A ,所以AB 平面ADD1A. 6分（II）由（I）,得 AB, AD, AA两两垂直，故分别以 AB, AD , AA为x轴，y轴，z轴，如图建立空间在底面 ABCD中，由题意，得 BC ，BD2 CD2 4.则 A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (2,4,0) ， Bi(2,0,2) , Di(0,2,2),所以 aB (2,0,0) , B1C (0,4, 2) , BID设平面B1c的法向量n (x,y,z),由 BC n 0, B1D1 n 0,得 4y 2z 2x 2y令 y 1,得 n (1,1,2).设直线A

12、B与平面BCD所成的角为：贝11 sin |cos AB, n | 1AB n | 6|AB| |n|6直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为(2,2,0) , 8 分17.（本小题满分14分）解：（不可以选择作为补充条件.）选择作为补充条件.解答如下：因为在 ABC中，ABC n,所以 sin C sin（A B）sin Acos B cos Asin B2支 汽 2支 汽sin 一 cos- cos一sin -34344.2分4分.6 分8分在 ABC中，由正弦定理 a- -b- sin A sin Bbsin A ca3.sin B所以 ABC的面积s labsinC 29 3、, 3

13、4选择作为补充条件.解答如下:在 ABC中,由a 3j2sin B ,以及正弦定理asin Absin B3 2sinB 得一2 -.2汽 sin 一362snB，解得 sin B由A立，得B为锐角,3所以B ，且a 3j2sin B 43.因为在4ABC中，ABCTt所以 sin C sin(A B)sin Acos B cos Asin B10分2 K n 2 K 汽 sincos cossin -11分所以 ABC的面积-absinC 21418 .（本小题满分14分）解：（I）由图表可知,测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为 20工10故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在8

14、0分以上的女生约为50 1103分5万人.5人,（II）由图表知，选取的 8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有由题意，随机变量 X的所有可能取值为：0, 1, 2. 6分且 P(X 0)c5 c3C25一,P(X1415一，P(X282)c5 C23C228所以随机变量X的分布列为:X012P51415283285153 3所以 E(X) 0 1 2 3. 11 分10分142828 4（田）m的最小值为4. 14分19 .（本小题满分14分）11:(1)由题意，得 f (x) a 2x (a 2), 2 分x则 f (2) tan , 4 分4即 a 4 (a 2) 1

15、,解得 a 2. 6 分2/、r ,、a-,c、(2x a)(x 1)(n)f (x)-2x(a2)，其中 x (1,e). 7 分xx人(2x a)(x 1)a令 f (x)0,得 x 1,或 x -. 8 分x2由导函数f （x）在区间（1,e）上存在零点，得a （I,e）,即a （2,2e）.9分2随着X变化，f （x）与f （x）的变化情况如下表所示：x(1,a) 2a2(-,e) 2f (x)0f(x)极小值所以f(x)在(1,a)上单调递减，在(a,e)上单调递增. 222所以f(x)在(1,e)上存在最小值f(_a)aln(a) a . 11分224设g 2xln x X2 2x

16、 , x (1，e) . 5!Ug(|) fcl), a (1，e).12 分所以 g(x) 2ln x 2x .由 x (1,e),得 21nx (0,2), 2x (2,2e),则 g (x) 2ln x 2x 0.所以g(x)在区间(1,e)上单调递减.所以 g(x) g(e) e2,即 gC2)f(-2)e2故当 x (1,e)时，f (x)e2. 14 分20 .（本小题满分15分）解：（I ）由题意，得 a石，b 1 ,则 c JZV 1. 2 分根据椭圆的对称性，知四边形 ABCD是矩形.设 A（ 1,y。）, B（ 1, y。）, C（1, y。），D（1,y。）,将x1代入椭

17、圆方程得y； 1. 3分02所以四边形ABCD的面积S |AB| |AD| 21y0 12c 2忑2 . 5分y k(x2x 2 万y(n)设 A(xi,yi) , B(X2,y2),直线 h y k(x m),m),消去 y,得(1 2k2)x2 4k2mx 2k2m2 2 0, 1,16k4m24(1 2k2)(2 k2m2 2) 0,x1x22224k2m2 k2 m2 2r , 22 1 2k21 2k2所以 |AB| 小k2 | x1 x2 | v1 k2 «(x1 x2)2 4x1x2 9 分1 k2 .8(1 2k2 k2m2)1 2k2同理，得 |CD |1 k28(

18、1 2k2 k2n2).1 2k2由四边形ABCD为平行四边形，得|AB| |CD|,即得m2 n2由题意知m n ,所以m n,即m n 0. 11分（田）结论：四边形 ABCD不可能为矩形. 12分由（n ）知M , N两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得 A,C两点关于原点对称，故 C的坐标为（为，yj.13分y2 y； 1 1 2（1 y2） 2（1 y12） 2.由题意，得私y12 1 , y2 1 .2222千曰 k ky2 - y2 w y2 y丁 TE, kAB kBC2 2x2 Xi x2 Xi x2 Xi所以AB不可能垂直于BC .所以四边形ABCD不能为矩形.15分21解.(本小题满分14分)(I ) (1,1,1,1), (1,1,2) , (1,3) , (2,2) , (4) . 3 分(n )由题意，知 2 a w a2 w ak w n ,且 a1 a2 | ak n ,得 n a a2 | ak >2k，即 k<(. 5 分所以当n是偶数时