多元函数求导法则

1、理论与实验课教案首页第次课授课时间2016年12月23日第5节课教案完成时间2016年12月16日课程名称高等数学教员职称副教授专业层次药学四年制本科年级2016授课方式理论学时3授课题目（章，节）第七章多元函数及其微分法3,全微分4.多元复合函数与隐函数的偏导数基本教材、主要参考书和相关网站基本教材：高等数学，顾作林主编，人民卫生出版社，2011年，第五版主要参考书：医科高等数学，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版教学目标与要求：了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法教学内容与时间分配：复习5分钟全

2、微分概念5分钟可微与可导间白关系5分钟全微分的算法及应用25分钟复合函数求导法则（推广及特例4种）40分钟一阶全微分形式的/、变性15分钟隐函数求导法20分钟小结5分钟教学重点与难点：重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析教学方法与手段：教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。教学组长审阅意见：签名：年一月日教研室主任审阅意见：签名：年_月_日理论与实验课教

3、案续页基本内容复习回顾：一元复合函数求导法则第三节全微分及其应用一元函数：y=f（x）,在x点可导；lim_y=f(x)=、y=f(x:=x)-f(x)=f(x)：x、工x=Alxq(lx)二元函数：z=f（x,y）,在（x,y）点良，生存在；希望全增量Az为二x二yz=f(x+Ax,y+Ay)一f(x,y)=AX十BAy十。(P)(1)其中A,B是不依赖于Ax,Ay（仅与x,y点有关）的常数，。=,（.：x）2（y）2下面给出全微分的定义、存在的充要条件。、全微分概念定义：若（1）式成立，则称z=f（x,y）,在点（x,y）可微分，而Ax+By称为在该点的全微分（totaldifferent

4、ial）,记为:dz=AxBy(2)二、可微与可导间的关系P222定理1（必要条件）f（x,y）在（x,y）点全微分存在z:z丁,F7存在（+连续）（1）式成立）P223定理2（充分条件）AB教学方法手段和时间分配歹难点55重点理论与实验课教案续页基本内容教学方法手段和时间分配几点说明：1)P222定理1为全微分存在的必要条件定理，即(1)式成立ZZZ8z._二在(*。)点四且一=A,=B；txyexcyxy22、一、l(x+y=0)2)反之不成立。反例见f(x,y)=x十y分段,22一、0(x+y=0)函数(即Az-dz不是P的高阶无穷小)3)反之何时成立？这就是P223定理2(充分条件)(

5、瑜导连续)4)定理2的证明中用到拉格朗日中值定理(P80,(3-1-2)5)将自变量的增量Ax,Ay称为自变量的微分，记为dx,dy,从而CZczdz=dx+dy(3)exy6)可以推广到多元函数(二元)三、算法例：求全微分。、./2,2x,2x,2y,(1) z-ln(x+y)=dz22dx+22dyx+yx+y,、23(2) u=xyz,可|上句|上面123,上3,上-22,du=一dx十一dy十一dz=yzdx+2xyzdy+3xyzdzexcycz，,、x一(3)求z=(1+xy)在(2,0)点的dz难点讨论式两个偏微分之和10推广：三元为三个偏微分之和理论与实验课教案续页基本内容回=

6、(1+xy)x|ln(1+xy)+xy=08卜W11+xyx工1yz0Jy1yz0z-2i上、xJ.A=x(1+xy)xj=4次x=2yWy=0.dz=4dy四、全微分应用1 .近似计算z=f(x：x,y。y)-f(x,y):dz=fx(x0,y0)dxfy(x0,y)dy-f(x0x,y0y):dzf(x。/。)教学方法手段和时间分配启发式互动板书5例(P224例4)求比2.02)2+(1.97)2的近似值。板书例（P224例3）求已知两端封闭的金属圆桶的底面半径为30厘米,高为120厘米。要将它刷上0.02厘米厚的油漆，问共需多少油漆？2.误差估计（自学）10课堂练习：1 .求下列函数的全

7、微分。(1) z=ln(1+x2+y2)222、(2) u=sin(xyz)通过练习加深对方法的理解2 .一矩形边长分别为x=6米，y=8米。如果x边增加5厘米，而y边减少10厘米，求该矩形对角线的近似变化情况。第四节多元复合函数与隐函数的求导法则、多元复合函数的求导法则理论与实验课教案续页基本内容教学方法手段和时间分配(一)复合函数的偏导数定理(P229)如果_.CUCUCVCV1) u-J广、L、cymycvcytcz.czcuczCV=-十CtcuGtW近(2)中间艾量多于2个z=f(u,v,s),u=u(x,y),V=v(x,y),s=s(x,y)10“锁链法则”注息网点：1）搞清函数

8、复合关系；2）对某个自变量求偏导，应经过一切中间变量而归结到该自变量。1bx70Vy板书20理论与实验课教案续页基本内容教学方法手段和时间分配L-_L-_czczcuczcvczc二+十/uy二丫x-_x_Xfexcuexcvck0班/7zvXcz_czcu+czcv+tz/ycucycvyctocy0y一12,222c例3z=.,u=x+y,v=x_y,co=2xy,Vu2+v2+co2求,。ex%(3)只有一个中间艾量z=f(u,x,y),u=u(x,y)右方u+4xtxcuexzczczcu,CT3=十ycucycy司，rzx24y2+22CZCZ例4z=f(x,y,u)=e,u=xco

9、sy,求一,。excy(4)只有一个自变量(全导数,totalderivative)z=f(u,v),u=u(x),v=v(x)dzczdu,dv一1dx方udxcvdx(5)一个中间父量，一个自变量(4)中v=x)z=f(u,v),u=u(x)dzczdu.cz=十dxcudxex借用上图和上式连:视z为x,y序的函数，固定y,z对x求导；亘：视z为涂u,x,y的函数，固定u,y,z对x求导。带入为一元函数，故土dx6理论与实验课教案续页基本内容教学方法手段和时间分配15例5z=,x=S,y=1-e2t,求dz。xdt（二）一阶全微分形式的不变性一元函数：10x为自变量时，dy=f(x)dx

10、20x=%t)时，dy=fx(x)*(t)dt=f；(x)dx二元函数:z=f(x,y)在(x,y)点可微:z.；z.-y1)dz=-dx+dy(x,y为自变重)(全微分公式)2)若x=*(s,t),y=V(s,t),则Czndx+zdy仍成立。二x二y证：画出函数结构图，所以.z；x:xFsfzfy.:yFsdszxM.z.:tz：:xfzy:x:t.y:t(2)dtL、二z.二z.二z，;x.二x.、;z,：v.：v.、dz=dsdt=(dsdt)(dsdt)s二t:x二s二t二y：sttz,:z.=dxdy注意：1）2）四条公式）3）.x:y这里不变性是指形式不变。P207多元函数全微分

11、四则运算公式同一元情形形式上一样（见利用一阶全微分形式不变性来计算全微分与偏导数与按全微分定义求全微分的路线相反。7理论与实验课教案续页基本内容教学方法手段和时间分配xu；u例6u=-r,求du,一,一xyfxjydu(x2222y)dx-xd(xy)2222(xy)(y-x).2xy-222x222(x2y2)2(x2y2)2.22.u_y-x：u_2xy一二/222，一二一/222x(xy):n(xy)z例7z=esiny,x=s+t,y=st,求dz,一x:z-,-yz二z一,一。.s二t注意体会利用一阶全微分形式不变性求全微分和偏导数与按定义求全微分不同练习：习题七27(1);28(2

12、);31(1)二、隐函数微分法（一）一元隐函数求导公式10F（x,y）=0=y=f（x），求曳=?dx方法方法两边对x求导，解出虫（不足：无法用一般公式表述）dx公式由FTx王+立以=0=亚=-nyexcydxdxFy例8设exy=3xy2，求处。dx（二）二元隐函数求导公式z-zF(x,y,z)=0=z=f(x,y),求丁=?，丁二x二y理论与实验课教案续页基本内容教学方法手段和时间分配x三+cXcFcz-0czex改=exJFz公式三十口匚入二王多=0也到的F；F7一x.z例9设Inzy=0,求czcz,。exy首先构造f(x,y,z)例10设cos2x+cos2y+cos2z=1,求dz。练习：