多元函数微分学及其应用归纳总结

1、第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限limf(x,y)A(或limf(x,y)A)的定义(x,y)(xo,y0)PR掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1)令P(x,y)沿ykx趋向P(xo,yo),若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；(2)找两种不同趋近方式，若limf(x,y)存在，但两者不相等，(x,y)(xo，yo)此时也可断言极限不存在。多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商,等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似:例1.用定义证明lim(xxy220例4(

2、07年期末考试一、2,3分)设f(x,y)x2y4，Xy，讨论0,x2y20limf(x,y)是否存在？(x,y)(0,0)y2)sin-1-20(x,y)(0,0)x2y222例2(03年期末考试三、1,5分)当x0,y0时，函数0x一纭2x2y2(x2y)2的极限是否存在？证明你的结论。xy2222,xy0，人一，例3设f(x,y)xy,讨论limf(x,y)是否存在？22(x，y)(0,0)0,x2y20例5求上0,0)等3、多元函数的连续性limf(x,y)f(%,y0)(x，y)(x0,yo)一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。在定义区

3、域内的连续点求极限可用“代入法”例1.讨论函数f(x,y)33xy22z-,xy0.x2y2在(0,0)处的连续性0,x2y20例2.(06年期末考试H4分)试证f(x,y)xy2224，xy0xy220,xy0点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3.求limx(x,y)(1,2)xyxy11例4.lim(x,y)(0,0)xy4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、二元函数zf(x,y)关于x,y的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)zfxxxxyy。yy。如果极限limx,y0)f(x0,y0)存在,则有x0x一、.f(%x,y)f(x0,y

4、)zxxx0fx(x0,y0)limyyx0x(相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。)如果极限limy1f(x0,y0y)%,义)存在,则有yxx0yy0xx0yy0zyxx0yy0fy(x0,y)lim0f(%,y。y)f(x0,y)对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1（08年期末考试一、3,4分）已知f（x,y）(x22xy2)xy2y2,x0,则fx（0，y）例2（06年期末考试H4分）试证f（x,y）2xy2x4,xy在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。设f(x,y)22(xy)sin0,y200,-2,xy2x0,求fx(x,y),fy(x,y)00

5、设zxy,求zx,zy（03年期末考试，一、2,3分）x.u,x(y1)arcsin,则一在(1,2)的值为（2、二元函数zf（x,y）关于x,y的高阶偏导数（二元以上类似定义）z_z2fxx(x,y)_zzxxyxxy22zzfyy(x,y)_zz2yyxyyx2xfyx(x,y)y23fxy(x,y)定理：若两个混合二阶偏导数2zoyx222二,二在区域D内连续，则有xyyxxy例1.设uv;(xa)2(yb)2(zc)2,其中a,b,c为常数,求:2u2X2U2z例2.设z(x2,y22arctg-zy2)ex,求。xy3、zf(x,y)在点P(x,y)偏导数存在Xzf(x,y)在点P(

6、x,y)连续(07年,04年，02年等)4、偏导数的几何意义：fx(x0,y0)表示曲线Mx,y)在点P(Xo,y0,z0)处的V。切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、zf(x,y)在点P(Xo,y)可微分的判定方法若(x,lym(0,0)zfx(X0,yo)xfy(X0,yo)y0,则可判定zf(x,y)在点P(X0,y)可微分。其中zf(x0x,yy)f(x,y)(08年期末考试6分)证明函数f(x,y)在(0,(x20,2、,y)sin12x2y2,x0)处不连续0在(0,0)处可微，但偏导数fx(x,y)0xy例2(07年期末考试七、6分)f(x,y)Xx0,2,xy,证明：(1)函数

7、在(0,0)处偏导数存在；(2)函数在(0,0)处不可微。2、全微分的计算方法若zf(x,y)在P(x,y)可微,则有dzfx(x,y)dxfy(x0,y0)dy其中fx(x0,y。)，fy(x0,y。)的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1(08年期末考试，一，1,4分)设zx4y32x,则dz,12、1,2)例2(07,04年期末考试，二，1,3分)设zarctan-(x0),求dz。例3(06年期末考试，二、2,3分)设uxy,则du例4(03年期末考试，二、2,3分)函数uln(xy2z2)在点(1,0,1)处的全微分为例5.设zuyarcsinw,ue.x,求函数：对变量x,y的

8、全微分dz3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系(07年，04年，02年等)一阶偏导数fx,fy在P(x,y)连续zf(x,y)在P(x,y)可微zf(x,y)在P(x,y)连续zf(x,y)在P(x,y)有极限zf(x,y)在P(x,y)可微在P(x,y)的一阶偏导数fx,fy存在zf(x,y)在P(x0,y)可微在P(x0,y0)的方向导数fx,fy存在四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则:变量树状图法则(1)zf(u,v),u(t),v(t)dzdtzduudtzdvvdtzf(u,v),u(3)zf(u,x,y),uxdzdtzduudt(x,y),v(x,y)zdvzddt

9、(x,y)例1.(08年期末考试,七，7分)设z具有连续二阶偏导数,2zz求，。xxy例2.(08年期末考试，十分)设zz(x,y)是由方程z(xyz)所确定的函数，其中(x)可导，求dz。例3.(07年期末考试，八，7分)设zxf(xy,-y),f具有连续二阶偏导x2数，求-,0yyx例4.(06年期末考试，一、1,3分)设zxyfd),f(u)可导，则xxy()0xy例5.(04年期末考试，三、1,8分)设G(u,v)可微，方程G(u,v)0,其x2yz,vy2xz确定了z是x,y的二元可微隐函数，试证明(2y2例6.(03年期末考试，三、2,5分)设(u,v)具有连续偏导数，证明方程(x

10、yz,yxz)f(x,y)(yxz)(xxyz)1yf(x2t2,-),f具有连续二阶偏导数，求x2u-2,xxz)(2x一阶全微分形式不变性:yz)z24xy.。xyy3uaxe(yz)2.2abzbcosx，贝Udu。dx例10.设zf(x2y2,exy),又f具有连续的二阶偏导数,zz求,xy设zf(u,v),则不管u,v是自变量还是中间变量，都有dzfudufvdv都可微,求四。dx（x,y）,相当于把F看方法2:直接对方程两边同时关于x求偏导（记住yf(x)：Fxd2ydx2dy0出FxdxdxFy(FxxdyFxy)FyFx(FFyyxF(Fy)2立)yy.)dx2.F(x,y,z

11、)0zf（x，y）,求十,方法i（直接代公式）：xFxnFz方法2:直接对方程两边同时关于(y)求偏导（记住zf（x,y）：zdyFz通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1.设uF(x,y,z),zf(x,y),y(x)，其中F,f,五、隐函数的求导法则1F(x，y)0yw,求dx方法1（直接代公式）：业反，其中：FxFdxFy成自变量x,y的函数而对x求偏导数。F(x,y,u,v)0uu(x,y)uuvv3,刁),G(x,y,u,v)0vv(x,y)xyxy建议采用直接

12、推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数上，的二元方程组，得到J,上。同理可求得,，。xxxxyy例1.设f(x,y,z)exyz2,其中zz(x,y)是由xyzxyz0确定的隐函数，求fx(0,1,1)例2.设有隐函数F(zz0,其中F的偏导数连续，求二，二。xy例3.(04年期末考试，三、1,8分)设G(u,v)可微，方程G(u,v)0,其中ux2yz,vy2xz确定了z是x,y的二元可微隐函数，试证明2,z_2_z2(2yxz)一(2xyzz4xy.xy六、多元函数微分学的几何应用1-空间曲线的切线与法平面方程(三种形式)一一参数形式，两柱面交线,两曲面交线xx(t)yy(t

13、)zz(t)xxyy0jj0x(t)y(t)zz0z(t0)x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t)(zz0)0切线向量x(t0),y(t0),z(t0)xxyy(x)xxyyzz(xx0)y(t)(yy0)z(t)(zz0)0yy()yy(x)0zz(x)1y(3z(b)zz(x)切线向量1,y(x0),z(x0)F(x,y,z)0yy(x)G(x,y,z)0zz(x)xxyy(x)切线向量1,y(xo),z(x0)zz(x)yyzzo一一一一y(to)z(to).一一一一一一一.(xx)y(to)(yy0)z(t)(zz0)03、曲面的切平面与法线方程(两种形式)一一隐函数，显示函

14、数Fx*(xx0)Fy(yy)Fzzz)0F(x,y,z)0xx0yy0zz()Fx%,%)Fy(x0,y0,z0)Fz氏*%)法线向量Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,%z)fx(xx)fy-(yy)(z4)0zf(x,y)xx。yyzzfx(x0,y0)fy(x0,y0)1法线向量fx(x0,y0),fy(x0,y0),1,规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：fxacost例1(08年期末考试，一、2,4分)曲线yasint在点(a,0,0)的切线方程zct例2(08年期末考试，十、7分)在曲面z2x21y2上求

15、出切平面，使得切2平面与平面4x2y2z10.平行。例3(07年期末考试，二、5,3分)曲面zez2xy3在点(1,2,0)处的法线cosfx二,cos1f2f2xyfy10=,cosfy2方程。222例4(07年期末考试，十、8分)在第一卦限内作椭圆与当刍1的切平abc面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例5(06年期末考试，二、3,3分)曲面3xyzz3a3在点(0,a,-a)处的切平面方程。例6(04年期末考试，三、3,7分)在球面x2y2z29上求一点，使得过该点的切平面与已知平面2xy2z0平行。例7.在曲线xt,y2t2,z3t3上求点，使该点处曲线的

16、切线平行平面8x7y4z1o例8设f(x,y)具有一阶连续偏导数，且f：fy20,对任意实数t有f(tx,ty)tf(x,y),试证明曲面zf(x,y)上任意一点(x0,y,zO)处的法线与直线上三相垂直。XoNoZo22例9由曲线3x2y12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,73,72)处z0指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公式zf(x,y)在P(x,y)沿l方向的方向导数为：设P(xx,yy)为l上一点，则f.f(P)f(P).f(xx,yy)f(x,y)7limo呵设l的方向余弦为：lcos,cos,则fffcoscoslxy可微方向导数存在，但方向导数

17、存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式zf(x,y)在P(x,y)沿什么方向的方向导数最大？沿梯度方向Gf,f的方向导数最大，最大值为梯度的模xyp1Gl,(一)2(一)2,xy例1.求函数f(x,y,z)x2z2在点Po(3,4,5)沿曲线2x22y2z225222xyz在点P0处的切线方向的方向导数。例2.求函数f(x,y)x2y3在点(2,1)沿方向lij的方向导数例3.设函数zf(x,y)xey,(1)求出f在点P(2,0)处沿P到Q(1/2,2)方向的变化率；(2)f在P(2,0)沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？例4(08年期末考试，一、4,4分)函数zx2y2在点Po(1,2)处沿从Po(1,2)到点Pi(2,2亚方向的方向导数。例5(07年期末考试，二、4,3分)函数zx2xyy2在点(1,1)处沿方向2,1的方向导数。例6(06年期末考试，四、7分)函数ux2y2z23z在点M0(1,1,2)处的梯度及沿梯度方向的方向导数。12八、多元函数的极值及其求法1、掌握极值的必要条件、充分条件2、掌握求极值的一般步骤3-掌握求条件极值的一般方法一一拉格朗日乘数法例1.求函数f（x,y）x3y33x23y29x的极值。例2（04年期末考试，三、3,6分）.设长