大一高数重点导数和极限

1、导数与极限(一)极限1 1.概念(1)自变量趋向于有限值的函数极限定义(6-S定义)IJmf(x)=Ayv”0,360,当0Wx-a|6时，有|f(x)-A|0,m60,当0a-x6时，有If(x)-A|05当0 x-a0,3X0,当xX,成立1f(x)A0,3X05当xX时，成立1f(x)-A0,当x-X时，成立1f(x)-A0,3605当0Vxa.5时,有1f(x)|0,3505当0|xa|M,则称函数f(x)在XTa时的无穷大(量)，记为巴设户无。直线x=a为曲线y=f(x)的垂直渐近线。2 2 . .无穷小的性质定理1有限多个无穷小的和仍是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小

2、。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。1)1)3) 3)若limf(x)=A,limg(x)=g,则limf(x)+g(x)l=s。若limf(x)=A(#0,但可为),limg(x)=,则limf(x) g(x)=o1lim=0若1imf(x)=8,则f(x)o无穷小与无穷大的关系1若呵f(x)=g,且f(x)不取零值，则f5是XTa时的无穷小。3 3 . .极限存在的判别法(1)与f(X)=Auf(a-0)=f(a+0)=A。limf(x)=Alimf(x)=limf(x)=AX_)pcUT*J-OCoxm3f(x)=Auf(x)=A+u,其中 s 是XTa

3、时的无穷小。(3)夹逼准则：设在点a的某个去心邻域!?(a内有g(x)f(x)h(x),且已知吧9(刈=口噌(刈“，则必有咎f(x)=A。4 4 . .极限的性质(1)极限的唯一性若域f(x)=A且驾f(x)=B,则庆=8。(2)局部有界性若5f(x)=A,则mM0,在点a的某个去心邻域N?(a，6)内有If(x)卜:M。(3)局部保号性若鹭f(x)=A,且A0(或A0(或f(x)0(或A0),有 g(x)丰u0,xau:u07 7 . .无穷小的阶的比较(1)(2)(3)(4)limf(x)g(x)=AB;x)alimf(x)g(x)=AB;x)alimcf(x)=cA;x旧f(x)Ac(5

4、)lim则X旧fg(x)=mf(u)=A6.6.两个重要极限(1)-sr=1；工1x叫x)x=e或xm?=，若口和P都是在同一自变量变化中的无穷小量，且P=0,则lim一=0(1)若P,则称a关于P是高阶无穷小量，记作口=。律)；lim=1(2)若P,则称口和P是等价无穷小量，记作久P；otlim=c(c=0)一.,-一一一、,一一-(3)若P,则称a和P是同阶无穷小量，记作a=O(P)；0(一，A|-|0,B0,使成立P，就称a和P是同阶无穷小量。(4)若以x作为XT0时的基本无穷小量，则当口=O(xk)(k为某一正数)时,称口是k阶无穷小量。定理1-：-：.=-：=：o(：)ootaa定理

5、2设a”，PP，且11m不存在，则11mM二时不。常用的等价无穷小XT0时，xsinxtanxarcsinxarctanx1n(1+x)ex1,i121 -cosxx2。(二)函数的连续性1 1 . .定义若函数y=f(x)在点a的某个邻域内有定义，则f(x)在点a处连续 ulimf(x)=f(a)ulmiy=02 2 . .连续函数的运算连续函数的和、差、积、商(分母不为零)均为连续函数；连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；一切初等函数在定义区间内都是连续函数。3 3 . .间断点(1)间断点的概念不连续的点即为间断点。(2)间断点的条件若点x。满足下述三个条件之一，则x。为间断点：(a

6、)f(x)在没有定义；(b)圾f(x)不存在；(c)f(x)在x0有定义，理f(x)也存在，但段f(f(x0)。(3)间断点的分类:(i)第一类间断点：在间断点x。处左右极限存在。它又可分为下述两类：可去间断点：在间断点x。处左右极限存在且相等；跳跃间断点：在间断点X。处左右极限存在但不相等；(ii)第二类间断点：在间断点x。处的左右极限至少有一个不存在。4.4.闭区间上连续函数的性质(1)概念若函数f(x)在区间(a,b)上每一点都连续，在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在区间a,b上连续。(2)几个定理最值定理： 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续， 则f(x)在此区间上必有最大和

7、最小值。有界性定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在此区间上必有界。介值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则对介于f(a)和f(b)之间的任一值c,必有xEa，b,使得f(x)=c。零点定理： 设函数f(x)在闭区间a,b上连续， 若f(a).f(b)。 ， 则必有xa,b),使得f(x)=0。(三)导数1 1 . .导数的概念(1)定义设函数y=f(x)在点a的某个邻域内有定义， 当自变量在点a处取得改变量甑(。 。 )时，函数f(x)取得相应的改变量iy=f(a+x)-f(a)?若极限yf(ax)-f(a)lim二lim仅。，x-x。/.x存在，则称此极限值为函

8、数y=f(x)在点a处的导数(或微商)，记作导数定义的等价形式有f(a):lim起二4xTx-a。f(a)存在uf1a)=f(a)。2 2 . .导数的几何意义函数y=f(x)在点a处的导数f(a)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(a,f(a)处的切线的斜率，即k=f(a),从而曲线y=f(x)在点M(a,f(a)处的切线方程为y-f(a)=f(a)(x-a)df(x)dxX=aO(2)左、右导数f(x)-f(a)七日新f_(a)=lim左导致x旧-x-af(x)-f(a)4日新f(a)=lim.右导致x阳x-a若参数方程八中尸确定了一个函数y=f(x),且队平均可导，则有dydx(7)基本

9、初等函数的导数公式(c)=0(sinx)=cosx(tanx)=seC2x(secx)=secxtanx(ax)=axlna(a0,a=1)(aA0,a#1)(x)=x(cosx)=-sinx(cotx)=-csc2x(cscx)=-cscxcotxxx(e)=e(ln)=1x一、1，、y_f(a)=(x一a)f3 3 . .函数的可导性与连续性之间的关系函数y=f(x)在点a处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。因此，若函数f(x)点a处不连续，则f(x)点a处必不可导。4 4 . .求导法则与求导公式(1)四则运算若u、V、w均

10、为可导函数，则(2)复合函数求导设y=f(u),u=g(x),且f(u)和g(x)都可导，则复合函数y=fg(x)的导数为dydydu=dxdudxo(3)反函数的导数f(x)=若x(y)是y=f(x)的反函数，则仙y)。(4)隐函数的导数由一个方程F(x,y)=。所确定的隐函数y=f(x)的求导法，就是先将方程两边分dy别对x求导， 再求出(5)对数求导法先对函数求对数,对数求导法适用于哥指函数、连乘除函数。(6)参数方程的导数法线方程为(uV)=u土V，(uvw)=uVw+uvw+uvw，uuV-uv1-V(一)=2(一)=2VV,vv(uv)=uV+uv,(cuy=cu(其中c#0为常数

11、)，(V0)。dx即可。再利用隐函数求导的方法。5 5 . .高阶导数(1)高阶导数的概念：函数f(x)的一阶导数f(x)的导数称为f(x)的二阶导数，f(x)的二阶导数的导数称为f(x)的三阶导数，f(x)的n1阶导数的导数称为f(x)的n阶导数,分别记为,、1(arcsinx)=.1一x21(arctxan2,、.-1(arccosx)=2.1-x,、.-1(arccotx)=21x,2.3.4dydydy(4)(n)q.2,3,4,y，y1yly,1y，或dxdxdxdnydxn。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。(2)常用的n阶导数公式(xn)(n)=n!.(ex严=ex.(sinx)

12、=sin(x)(n)(ccxsln(1x)(n)(-1)n(n-1)!(1x)n(3)莱布尼茨公式,、nrn、，、八、(uv 严=u(nU0,a#1)-1-,id(x);xdxdcosx=-sinxdxdcotx=-csc2xdxdcscx=-cscxcotxdxdex=exdx3 3. .微分运算法则(1)(1)四则运算dk1u(x)+k2V(x)=k1du(x)+k2dv(x)；du(x)v(x)=v(x)du(x)u(x)dv(x)；,u(x)v(x)du(x)-u(x)dv(x)d1二27v(x)v(x)o(2)(2)复合函数微分若y=f(u),u=g(x),贝ljdy=f(u)g(x

13、)dx。4 4 . .微分形式的不变性若y=f(u),u=g(x),则有dy=f(u)g(x)dx=f(u)du。5 5 . .微分在近似计算中的应用当超x|很小时,有：Ay定dy=f。)取，f(XO十Ax)定f(XO)+f(XO)AX。(二)微分中值定理1 1 . .罗尔定理：设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b),则必存在S(a,b),使得f)=0。2 2 . .拉格朗日中值定理：设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)上.f(b)-f(a)可导，则必存在之三(a,b),使得成立f()一b-a。推论i i设函数y=f f(

14、(x x) )在闭区间河上连续， 开区间口处)内可导， 若对任意xa,ba,b)有f f(x)=。则f(x在 b b,b,b】上恒为常数。推论2 2若在(a,b)内恒有f(x)=g(x)，则存在常数C，使得f(x)=g(x)+C,x=(a,b)o3,3,柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)均在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)上可导，且它们的导数不同时为零，又g(b)-g(a)，0,则必存在w(a,b),使得成立f()_f(b)-f(a)gV)g(b)-g(a)o4.4.有限增量公式若函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则f(b)=f(a)+f-)(b-a),e(a,b)

15、o或y=f)Ax,其中Ay=f(b)f(a),Ax=b-ao(三)洛必达法则-1,dlogax=dx/-、xlna(a：0,a=1).1,darcsinx:dx,1-x21darctanx=2dx一，1，dIn|x|=dxx,-1.darccosx:dx1-x2,-1.darccotx=2dx1x201.01.0型的洛必达法则：若f(xg(x)满足(1)X现设)=艘的)=0；(2)f(x)和g(x)在N()?0,3)内可导,且g(x)#0；limf f仅H在(或为)limf f ) )=limf f( (x x) )(3)xfg(x),则T0g(x)T0g(x)o(把x0改为电等，法则仍然成立

16、)。002 2 . .二型的洛必达法则：若f(x)g(x蹒足limfx=,limgx 二二(1) )Xff;(2)f(x)和g(x)在N(x0，8)内可导,且g(x)#0；fxr六、fxfxlim存在(或为)lim=lim(3)T0g(x),则T0g(x)T0g(x)。(把x0改为 s 等，法则仍然成立)。3 3 . .其他待定型：08,y，00,一。复习指导重点：微分计算，中值定理的应用，利用洛必达法则求极限，泰勒公式。难点：中值定理的应用。1.中值定理的应用(1)注意中值定理的条件只是充分条件，不是必要条件。(2)中值定理的这些条件缺一不可。(3)中值定理经常运用在等式和不等式的证明中。例

17、如在证明f(x)=g(x)时，可以构造一个辅助函数F(x),将等式转化为F(x)=0的形式，而后验证F(x)在某个闭区间上满足中值定理的条件，从而得出结论。在证明一个不等式时，可以考虑将其和一个函数及此函数在某个闭区间的两个端点上的函数值联系起来，从而可以利用拉格朗日中值定理得出结论。3.洛必达法则洛必达法则是解决待定型极限问题时的一种简便而有效的方法，但使用时注意以下几点：(1)每次使用前必须判断是否属于七种待定型：0：C 一一一 C0,0二，-,0,0盲目使用将导致错误。(2)洛必达法则的条件是充分的而非必要的，遇到fxlim定Xfg(x)不存在。limTg(x)不存在时，不能断xsinxlim=