大物期末习题

1、练习一静电场中的导体三、计算题图5.61 .已知某静电场在xy平面内的电势函数为U=Cx/(x2+y2)3/2淇中C为常数.求(1)x轴上任意一点,(2)y轴上任意一点电场强度的大小和方向.解：.Ex=FU/fx=-C1/(x2+y2)3/2+x(2)2x/(x2+y2)5/2=(2x2-y2)C/(x2+y2)5/2Ey=-?U/；:y=-Cx(-3/2)2y/(x2+y2)5/2=3Cxy/(x2+y2)5/2x轴上点(y=0)Ex=2Cx2/x5=2C/x3Ey=0_3E=2Ci/xy轴上点(x=0)Ex=-Cy2/y5=-C/y3Ey=0.3E=-Ci/y2 .如图5.6，一导体球壳A

2、(内外半径分别为R2,R3),同心地罩在一接地导体球B(半径为Ri)上，今给A球带负电-Q,求B球所带电荷Qb及的A球的电势Ua.静电场中的导体答案解：2.B球接地，有UB=Uf=0,Ua=UbaUa=(-Q+Qb)/(4二;0R3)Uba=Qb/(4二；0)(1/R2-1/Ri)得Qb=QR1R2/(R1R2+R2R3-R1R3)Ua=Q/(4二;0R3)-1+R1R2/(R1R2+R2R3-R1R3)=-Q(R2-R1)/4二;0(R1R2+R2R3R1R3)练习二静电场中的电介质三、计算题nr1.如图6.6所示，面积均为S=0.1m2的两金属平板A,B平行对称放.一9AB置，间距为d=1

3、mm,今给A,B两板分别干电Q1=3.54X10C,Q2=1.77X10-9C.忽略边缘效应，Q/12Q2.一.一1_.*k.、.、C550d求：(1)两板共四个表面的面电何密度3,02,5,5；(2)两板间的电势差V=UaUb.U0解：1.在A板体内取一点A,B板体内取一点B,它们的电场强度是四图6.6个表面的电荷产生的，应为零，有Ea=ci/(2o)-：2/(2o)Y3/(2。)-。4/(2o)=0Ea=二i/(2o)+；工/(2d)+二3/(2o)-C4/(2o)=0而S(二i+；：2)=QiS(；：3+；=4)=Q2有C1-：2-；-；T4=001+C2+；T3-C4=0二l+；=2=

4、Ql/S二3+二4=Q2/S解得。1=；n=(Qi+Q2)/(2S)=2.6610"c/m2八八_82二2="C3=(Q1-Q2)/(2S)=0.8910C/m两板间的场强E=C2/0=(Q1-Q2)/(2oS)v=ua-Ub=Edl-A=Ed=(Q1-Q2)d/(26S)=1000V四、证明题1 .如图6.7所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.解：1.设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB作环路ACB

5、A,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有AEEdl=1Edl+E2dl=EEdl制l'ACBB2'ACB与静电场的环路定理Edl=0相违背，故在同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.练习三电容静电场的能量三、计算题1.半径为R1的导体球带电Q，球外一层半径为R2相对电容率为号的同心均匀介质球壳，其余全部空间为空气.如图7.1所示.求：（1）离球心距离为r1（r1<R1）,r2（R1<c<R2）,r3（r1>R2）处的D和E;（2）离球心门，r2,r3,处的U;（3）介质球壳内外表面的极化电荷.2/12图7.1解：1

6、.（1）因此电荷与介质均为球对称，电场也球对称，过场点作与金属球同心的王形高斯面，有DdS=小S4二r2D="q0i当r=5cm<Ri,£qoi=0得Di=0,Ei=0当r=15cm(Ri<r<Ri+d)Zq0i=Q=1,010'C得D2=Q/(41产)=3.54Xi0'C/m2E2=Q/(4二;0rr2)=7.99W3N/C当r=25cm(r>Ri+d)vq0i=Q=1.010%得D3=Q/(4产)=1.27x10fC/m2E3=Q/(4二;0r2)=1.44W4N/CD和E的方向沿径向.qQ(2)当r=5cm<Ri时Ui=|

7、EdlRR:!d=rEidrrEzdrrdEsdr=Q/(4二;0<R)-Q/4二;0式R+d)+Q/4二;0(R+d)=540V当r=15cm<R1时二二R:：d二二U2=rEdl=.rEzdrRdE3dr=Q/(4二;0rr)-Q/4二;0<(R+d)+Q/4二;0(R+d)=480V当r=25cm<Ri时qQqQU3=rEdl=E3dr=Q/(4二;0r)=360V(3)在介质的内外表面存在极化电荷，Pe=0E=0(r-1)E二=Penr=R处，介质表面法线指向球心二=Pen=Pecos-=-；0(rT)E22q=；=S=-q(-1)Q/(4二;0rR)4二R=-

8、(-1)Q/Sr=-0.810“Cr=R+d处，介质表面法线向外二=Pen=PecOS0=6(Li)E.一22q=；1S=0(r-1)Q/(4二;0r(R+d)4二(R+d)_8_=(-1)Q/Sr=0.8M0C2.两个相距很远可看作孤立白导体球，半径均为10cm,分别充电至200V和400V,然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势.计算变为等势体的过程中，静电力所作的功.解;2.球形电容器C=4理0RQi=CiVi=4二;0RV1Q2=C2V2=4二;0RV2/2/2_22W0=CiVi/2+C2V2/2=2-0R(Vi+V2)两导体相连后C=C1+C2=8二;0R3/12Q=Qi+Q2=

9、C1V1+C2V2=4二;0RV1+V2)W=Q2/(2C)=4二；oR(Vi+V2)2/(16二;0R)=二;oR(Vi+V2)2静电力作功A=Wo-W=2二;0R(V12+V22)-二;oR(V1+V2)2=二;oR(V1V2)2=1.1110工J练习六磁感应强度毕奥一萨伐尔定律三、计算题1.如图10.7所示，一宽为2a的无限长导体薄片，沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布.求中心轴线OO上方距导体薄片为a的磁感强度.解：1.取宽为dx的无限长电流元dI=Idx/(2a)rdB=-0dI/(2二r)图10.7dBx=dBcos：=bldx/(4二ar)(a/r)=.LqIdx/(4二r2

10、)=.L0ldx/4(x2+a2)dBy=dBsin：=-0lxdx/4二a(x2+a2)BxdBxa01dx:4二x2a2=%I/(4二)(1/a)arctan(x/a)By=dBy%=-0I/(8a)a-'Ixdx-a4二ax2a2十0I/(8二a)ln(x2+a2)=02.如图10.8所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面.设线圈的总匝数为N,通过线圈的电流为I.求球心O的磁感强度.解：2.取宽为dL细圆环电流，dI=IdN=IN/(nR/2)Rde=(2IN/3d1dB=-bdlr2/2(r2+x2)3/2图10.8r=Rsin71

11、x=RcosTldB=-0NIsin2Fd3(7R)0NIsin2-d-二R4/12=.-nIdx/(4ar)=-bNI/(4R)练习七毕奥一萨伐尔定律(续)磁场的高斯定理三、计算题1.在无限长直载流导线白右侧有面积为S1和S2的两个矩形回路回路旋转方向如图11.6所示，两个回路与长直载流导线在同一平面内且矩形回路的一边与长直载流导线平行.求通过两矩形回路的磁通量及通过Si回路的磁通量与通过回路的磁通量之比.解：1.取窄条面元dS=bdr,面元上磁场的大小为B=PnI/(2nr),面元法线与磁场方向相反.有2aLiLbI:'1=bdrcos=In2a2r2二a,4aol-0bI中泊bd

12、rcos'=In2932r2二2a中1/中2=12.半径为R的薄圆盘均匀带电，总电量为Q.令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度为0,求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩解;2.在圆盘上取细圆环电荷元dQ=o2nrdr,o=Q/(兀R2),等效电流元为dI=dQ/T=；12Tdr/(2/)=、；：rdr求磁场，电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线，且与6同向，大小为dB=-0dIr2/2(x2+r2)3/2=o_；：r3dr/2(x2+r2)3/2Ro；r3dro；Rr2dr2x2。，Rr2x2dr2x2,2r2x23/2一下。r2x232=丁。r2x232

13、Ro皿：x2d(r2+x2)Tor2x232，Q81R2+2x22兀R2Jr2”2(2)求磁距.电流元的磁矩22dPm=dIS=rdr7='：；,rdr5/12R“34二二，rdr=7：c.R/4=QR/4练习八安培环路定律三、计算题1 .如图12.5所示，一根半径为R的无限长载流直导体，其中电流I沿轴向流过，并均匀分布在横截面上.现在导体上有一半径为R'的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d.试求空腔中任意一点的磁感强度.解：1.此电流可认为是由半径为R的无限长圆柱电流Ii和一个同电流密度的反方向的半径为R酌无限长圆柱电流I2组成.Ii=JR2I2=-J二R2J=I

14、/二(R2-R2)它们在空腔内产生的磁感强度分别为Bi=-b门J/2B2=-br2j/2方向如图.有Bx=B2SinT2-Bisinti=(J0j/2)(r2sin22-risin)=0By=B2CQS+BicosN=(h/2)(2cost+ricosN)=(-bJ/2)d所以B=By=-0dI/2二(R2R2)方向沿y轴正向2 .设有两无限大平行载流平面，它们的电流密度均为j,电流流向相反.求:(i)载流平面之间的磁感强度；(2)两面之外空间的磁感强度.解;2.两无限产生的磁场_I««*««*I2在平面的电流在空间产生的磁场为B2=N0J/2在平面的上

15、方向左，在平面的下方向右.大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间为Bi=%J/2上方向右，在平面的下方向左；(i)两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左，故有B=Bi+B2=&J(2)两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反，故有B=Bi-B2=0练习九安培力6/i2三、计算题I=10A.线圈1. 一边长a=10cm的正方形铜导线线圈(铜导线横截面积S=2.00mm2,铜的密度使8.90g/cm3),放在均匀外磁场中.B竖直向上,且B=9.40x10工T,线圈中电流为在重力场中求：(1)今使线圈平面保持竖直则线圈所受的磁力矩为多少(2)假若线圈能以某一条水平边为轴自由

16、摆动少.解：1.(1)Pm=IS=Ia2方向垂直线圈平面.，当线圈平衡时，线圈平面与竖直面夹角为多线圈平面彳持竖直，即Pm与B垂直.有Mm=Pm*BMm=PmBsin(7/2)=Ia2B-4=9.4X10mN(2)平衡即磁力矩与重力矩等值反向2Mm=PmBsin(，2助=IaBcosOMg=MG1+MG2+MG3=mg(a/2)sin+mgasint+mg(a/2)sin1=2(：Sa)gasin*2：?Sagsin二Ia2Bcos=2：-Sa2gsin二tan丁IB/(25Sg)=0.2694士152.如图13.5所示，半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2,置于电流为I1的无限长直线电流的磁

17、场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘.求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力.解：2.在圆环上取微元I2dl=I2Rcb该处磁场为B=%1/(2二RcosfI2dl与B垂直，有dF=I2dlBsin(用2)dF=%I1I2dR(2：cos3dFx=dFcos±01112d1/(2)dFy=dFsin=J0I1I2sind-/(2二cos3Fx因对称二2=0I1I2/2二22二.2Fy=0.故F=hI1I2/2方向向右.7/12练习十洛仑兹力、计算题1 .如图14.6所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i(即单位宽度上通有的电流强度),一iv(

18、1) 试求板外仝间任一点磁感强度的大小和方向Q.(2)有一质量为m,带正电量为q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动.若不计粒子重力.求：_(A)带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞图14.6(B)需经多长时间，才能回到初始位置.解：1.(1)求磁场.用安培环路定律得B=Pni/2在面电流右边B的方向指向纸面向里，在面电流左边B的方向沿纸面向外.(2) F=qv汨=maqvB=man=mv2/R带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交，即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径.R=mv/qB=2mv/(-biq)(3)经一个周期时间，粒子回到初始位置.即t=

19、T=2R/v=47m/(-biq)2. 一带电为Q质量为m的粒子在均匀磁场中由静止开始下落，磁场的方向亿轴方向)与重力方向(y轴方向)垂直，求粒子下落距离为y时的速率.并讲清求解方法的理论依据.解：2.洛伦兹力Qv汨垂直于v,不作功，不改变v的大小；重力作功.依能量守恒有mv2/2=mgy,得v=(2gy)1/2.磁场中的介质、计算题1 .一厚度为b的无限大平板中通有一个方向的电流，平板内各点的电导率为电场强度为E,方向如图15.6所示，平板的相对磁导率为与,平板两侧充满相对磁导率为g2的各向同性的均匀磁介质,试求板内外任意点的磁感应强度解：1.设场点距中心面为x,因磁场面对称以中心面为对称面

20、过场点取矩形安培环路，有cHdl=802&LH=习0(1)介质内，0<x<b/2.力0=2x&J=2x曰右有H=xEB=&%H=&%xEh16|h(2)介质外，x>b/2.20=b&J=bAl?E有IEIH=bE/2B=0%H=W2bE/28/12图15.6图15.72 .一根同轴电缆线由半径为Ri的长导线和套在它外面的半径为R2的同轴薄导体圆筒组成，中间充满磁化率为4的各向同性均匀非铁磁绝缘介质，如图15.7所示.传导电流沿导线向上流去，由圆筒向下流回，电流在截面上均匀分布.求介质内外表面的磁化电流的大小及方向Hdl=玉解：2.因磁场

21、柱对称取同轴的圆形安培环路，有在介质中（Ri<r<R2）,NIo=I,有2二rH=IH=1/（2二r）介质内的磁化强度M=mH=m1/（2二r）介质内表面的磁化电流Jsri=MRiXnRi=Mri=mI/（21Ri）Isri=Jsri2TRi=/ml（与I同向）介质外表面的磁化电流JsR2=MR2XnR2=Mr2=mI/（21R2）IsR2=JsR22职2=ml（与l反向）练习十二电磁感应定律动生电动势I.如图I7.8所示，长直导线AC中的电流l沿导线向上,图17.8并以dl/dt=2A/s的变化率均匀图17.9三、计算题增长.导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平

22、行，位置及线框尺寸如图所示.求此线框中产生的感应电动势的大小和方向.解：I.取顺时针为三角形回路电动势正向相三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元dS=ydx=(a+br)l/bdxsBdSa：Nol(a+b-x|dx=a2-Xb"ll.Kab=abIn-b2-b_a9/I2olabdI&i=d'Em/dt=0b-abln2：badt-8=5.18X10V负号表示逆时针2. 一很长的长方形的U形导轨，与水平面成日角，裸导线可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感强度B垂直向上的均匀磁场中，如图17.9所示.设导线ab的质量为m,电阻为R,长度为l,导轨的电阻略去不计，a

23、bcd形成电路.t=0时，v=0.求：（1）导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系；（2）导线ab的最大速度v解：2.(1)导线ab的动生电动势为ei=vXBdl=vBlsin(n/2+功=vBlcosQIi=£i/R=vBlcosO/R方向由b到a.受安培力方向向右，大小为F=|(Iidl>B)=vbTcos-RF在导轨上投影与&导轨向上，大小为F=Fcosi=vB2l2cos21/R重力在导轨上投影沿导轨向下，大小为mgsin-mgsin二-vBlcosRR=ma=mdv/dtdt=dv/gsin二-vB212cos2R(mR)t=0'dvgsin二-vB2

24、l2cos2二mRmgRsin2.22TBlcos11_e_B212cos2UtmRmgRsin(2)导线ab的最大速度vm=-2FTBlcosf练习十三感生电动势自感三、计算题1.在半彳仝为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场的金属棒MN放在磁场外且与圆柱形均匀磁场相切，切点为金属棒的中点，金属棒与磁场B的轴线垂直.如图18.6所示.设B随时间的变化率dB/dt为大于零的常量.求:棒上感应电动势的大2R|图18.610/12小，并指出哪一个端点的电势高(分别用对感生电场的积分£i=Eidl和法拉第电磁感应定律£i=dG/dt两种方法解).解：(1)用对感生电场的积分£

25、i=Eidl解:在棒MN上取微元dx(-R<x<R),该处感生电场大小为Ei=R2/(2r)(dB/dt)与棒夹角刷足tan；=x/RNN£i=LEidl=MEidxcosO_RR2dBdtdxR_R3dBRdxp2r7"-2-加,x2R2_R.R=R3(dB/dt)/2(1/R)arctan(x/R)RR=R2(dB/dt)/4因£i=>0,故N点的电势高.(2)用法拉第电磁感应定沿半径作辅助线OM,ON组£i律£i=g/dt解：成三角形回路MONMNM=MEidl=NEidl-MON=-IEEidl+1Eidl+LEidl1卜NiJMiOi=(dmMONM/dt)=d'DmMONM/dt而mMONM=SBdS=jRB/4故£i=JrR2(dB/dt)/4N点的电势高2.电量Q均匀分布在半径为a,长为L(L>>a)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度切绕中心轴旋转.一半径为2a,电阻为R总匝数为N的圆线圈套在圆筒上，如图18.7所示.若圆筒转速按6=妣(1T/to)的规律(0o,to为已知常数)随时间线性地减小，求圆线圈中感应电流的大小和流向解：2