对数平均不等式-专题训练

1、全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）对数平均不等式1 .定义：设a,ba0,a黄b,则a-b>ab一>«b其中一a一b一被称为2 lnadnbIna-Inb对数平均数2.几何解释：反比例函数f(x)(x>0)的图象，如图所示，xAP|BC|TU|KV,MN|CD|x轴，A(a,0),p'a,-LB(b,0),Q'b,11q2(lnb-lna)=-S曲边梯形ABQP,I,a.bTl益,31作“x)在点K,W,二-处的切线分别与AP,BQ交于.ab21abE,F,根据左图可知,因为S曲边梯形ABQP>SB形ABFE=S矩形ABNM,所

2、以b1dx=lnb-lna>3x2a+b(b-a).曲边梯形AUTPS梯形AUTP一+7+2?a、-lob-_a1qa)=Jb2S梯形ABCDab10-dx=ln、.ab-yx全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）根据右图可知,b-aSt边梯形AUTP<SW形AUTP,所以1nb-lna<广,ab另外,&巨形ABQX<Sft边本WABQP<S梯形ABQP<&巨形ABYP，可得:1(b-a)<inb-ina<2箱、一1八、a)<(b-a),a综上,结合重要不等式可知:1(b-a)<b2(b-a)<Inb

3、-Ina<b-aa+b荔<2褥T&-a)<a(b-爪即,a+bb>>2ba>.、ab>inb-ina211>a(b>a>0).+ab等价变形:ina-inb-2a-b).(a_b0)abina-inbmb.(a-b0)3典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的.（一）b>b-a>a（a>0）的应用inb-ina例1(2014年陕西)设函数f(x)=in(1+x),g(

4、x)=xf'(x)其中例x)全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编(附详解)是f(x)的导函数.(1) (2)(略)(3)设nWN+,比较g1)+g2)+|+g(n)与nf)n)的大小,弁加以证明.解析(3)因为g(x)=-,1x所以“D+gOHI+gS尸产+11什言5-(事+用+*：,而nf(n)=nln(n+1因止匕，比较g(1)+g(2)+|+g(n)与nf(n)的大小，即只需比较3+3+."+与仙3+1)的大小即可.根据b>a>0时，b>一b-a一，即1(b-a)<lnb-Ina,Inb-Inab1"va=n,b=n+1,贝U<

5、;ln(n+1)-Inn,n+1一.1一一1_.1所以一<ln2-ln1=ln2-<ln3-ln2,<ln(n+1)-Inn2'3'n1'1 11将以上各不等式左右两边相加得：11III4：二lnn1,2 3n1故g1g2Illgnn-fn.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握.当b>a>0时，一b-a>a,即lnb-ln

6、a<1(b-a),令a=n,b=n+1,lnb-lnaa全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编(附详解)1111贝Uln(n+1)-lnn<一，可得ln(n+1)<1+-+-+L+-n23n.2.2.(二)>去长(b>a>。)的应用2lnb-lna1例2设数列以的通项an=f,其刖n项的和为Sn,证nn11明：S<ln(n+1).解析根据b>a>0时，匡正>上月,2lnb-lna2(b-a)lnb-lna>一,22,a+b"vb=n+1,a=n,贝fjln(n+1)-lnn>,2=亚_.n2+(n+1)22n2

7、+2n+1>j>an,勿1ESn<ln(n+1).2n2+2n+2U>(b>a>-111例3.设数列Qn)的通项an=1+3+3+111+1,证明：an<ln(2n+1).解析根才®b>a>。时，”>，即1也2*,1一、，"vb=2n+1,a=2n-1,则ln(2n+1)-ln(2n-1)>一易证an<ln(2n+1).n(四)1b-；>lJ(b>a>0)的应用lnb-lna1,1I：+c(a>0)的图象在点ab例4.(2010年湖北)已知函数f(x)=ax+(1,f(1)处的切

8、线方程为y=x-1.全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）(1)用a表75出b,c;(2)(略)(3)证明:ln(n+1)+U)(nl1>解析(1)b=a-1,c=1-2a;(3)当b>a>0时，b-a>lnb-lna211，即nbl-+一ab<-U+至a-),2融b-令2=n,b=n+1,则ln(n+1)-In所以ln2-ln1上1n3-仙2<翳ln(n+1)-Inn<13白的以上各不等式左右两边分别相加得:ln(n+1)<2+11-1+z+,n.2(n+1)一，、111111即ln(n+1)<1+L+234n2(n+1)2故

9、1+工+1+L+1>ln(n+1)+n23n2(n+1)（五）>后（八'>0）的应用例5.(2014福建预赛)已知f(x)=aln(x+1)+3x-1.x1(1)(略)（2）求证:III412-1422-1432-1n14n2-11>-ln(2n+1)对切正整数n均成立.解析（2）w®b>a>。时，-a>yab，即ntri-a<与、ab全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）2令b=2n+1,a=2n-1,贝Uln(2n+1)-ln(2n-1)<,变形可得:,4n2-1l|(2n+1)-ln(2n-1)<1

10、24n2-121二<W,则4n-14n-11.-(ln5-ln3)<£n,L,1,、2(ln3-ln1)<2,44?1211藕(2n+1)-ln(2n-1)<:,将以上各不等式左右两边相加得：44n-1+|+n：1>-ln(2n+1)对一切正整数n均412-1422-1432-14n2-14成立.评注本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值a=-2时,-2ln(x+1)+1+3x-1>0,即1+3x-1a21n(x+1卜结合待证不等式的x1x1特征，入2Vx=kN2k-1整理得：4122),得+3父-1>2ln(+1),212k-12k-1

11、2k-1>2ln:2k1,即kJ>1ln(2k+1)_ln(2k_1fl,借止匕作2k-14k-14-为放缩的途径达到证明的目的.你能注意到两种方法的区别吗?对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编(附详解)强化训练1.(2012年天津)

12、已知函数f(x)=xln(x+aJ(a>0)的最小值为n(1)(2)(略)(3)证明：、i10.2-ln2n1：2nN*.2i-1(3)易求a=1,待证不等式等价于2222+<ln(2n+1).3572n-1b-a1.根据b>a>0时，b>,即一(b-a)<lnb-lna,lnb-lnab22.令2=2n-1,b=2n+1,则=<ln(2n+1)-ln(2n-1),2(n+1)-12n+1222-<ln3-ln1,-<ln5-ln3,<ln7-ln5,L,3572<ln(2n+1)-ln(2n-1),将以上各不等式左右两边分别相

13、2(n+1)-1加得:22222+父ln(2n+1),3572n-12n1n22工-ln(2n+1)<2<2.得证.y2i-12n12.(2013年新课标I)已知函数f(x)=ln(1+x)-(1)若x/时,f(x产0,求九的最小值;11-1(2)设数列&的通项an=1+-+-+IH+-，证明：23n全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）1a2n-an+Aln2.4n,C21-2，.ix-'x解析(1)易得f(0)=0,f'(x)=J-.(1x)1-2令f(x)=0，贝fjx=0,x=,九若九<0,则当x>0时，f'(x)&g

14、t;0,f(x)是增函数，f(x)>f(0)=0,11-2不符合题意；若0c,则当0Ex<时，f，(x卢0,f(x)是21增函数，f(x)Af(0)=0,不符合题意；若九之2,则当x>0时，f'(x)<0,f(x)是减函数，f(x)Wf(0)=0，符合题意；综上，九的一,一I1最小值是2.(2)当b>a>0时，b-a>57,即n$a<要+左昇)，lnb-lna112?ab,所以1n(n+1)-inn<21n1-+;±n+1.In(n+2)-In(n+1)<1411+v2+1+n+2；十ab令2=n,b=n+1,贝fjln(n+1)-Inn<-?-+-±2翻n+1.in(n+3)-1n(n+2)<1寿1+二=,L()()2孰+2n+3?1n2n-1n(2n-1)<:牛+J多将以上各不等式左右两边分2被n-12n,别相加得:全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）1n2n-lnn<黑+2