将军饮马问题--利用轴对称求最短距离

1、课题将军饮马-应用轴对称变换求线段和最短课型复习课时间2017.3.31授课教师裴岩教学目标1 .掌握简单的轴对称图形的性质并能应用解决实际问题。2 .在丰富的现实情境中，经历归纳、观察、分析、交流等数学活动过程，进一步发展空间观念，丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力3 .数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强数学应用意识.教学重点理解轴对称图形的有关性质，并体验轴对称在现实生活中的广泛应用教学难点轴对称的有关性质在现实生活中的应用.教学准备多媒体课件教学过程活动环节教师活动学生活动设计意图一.激疑引趣，提出问题相传

2、，古希腊亚历山大里亚城里h位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：聆听、了解激从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到疑河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？引趣，精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”从数学史上久负盛名的“将军提你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？饮马问题”引出问题入，增加学生们的数学底蕴，提图具人文思想.探索新知解决问题、探索新知，解决问题活动一：任务驱动启迪智慧-利用轴对称的性质尝试解决问题1、梳理所学，完成任务清单。问题一：在直线上找一点C,使

3、AC最短？将军骑马从城堡A出发，到一条笔直的小河边饮马。问：在河边的什么位置饮马，将军所走的路径最短？外一点与断线上.所有点的连线中，垂线段最短独立思考、画图分析，并展示交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.问题二：在直线上找一点C,使CA+CB最小？将军骑马从城堡A出发，到军营B去，途中经过一条笔直的小河。将军问：在小河的什么地方饮马可使他所走的路程最短？两点之间线段最短问题三分析:转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AGCB的和最小?如果学生有困难，教师作如下提示：(1)如图，如果军营B地在河对岸，点C在

4、的什么位置时,AdCB的和最小？由此受到什么启发呢？问题三：联想如果点A、B在直线l的异侧时问题三：对比分析思考:能把A、B两点从直线l的同侧转化为异侧吗?问题三：作法及思路分析1.作点B关于直线l的对称点B'，连接CB。2.由上步可知AC+CB=ACCB,思考：当C在直线l的什么位置时AC+CB最短?问题三：证明最短路径是AC+CB=AC+(B=AB在直线l上取一个与先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想老师的启发引导下，完成作图.分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.利用现代信息技术，通过移动点C'的位置，可发现：当时

5、，AC+BCAC'+CB,当C'与C重合时,AC+BC=AC+C'B.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥C点不重合的点C新路径=AC'+CB=AC'+CB'了多媒体的作用，让学生进试比较新路径与AB的大小（两点之间线段最短或三角形中两边步体会作法的之和大于第三边）结论：AGCB这条路径最短.正确性，提高了逻辑思维能力.问题三：归纳转化为数学问题用旧知解决新知联想旧知提示：本题也可作A点关于直线l的对称点2、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮助将军解决问题的了吗？小试牛刀,例题讲解线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到

6、线段两个端点距离相等。关键：弄清动点在哪条直线上运动，这条直线就是对称轴。技巧工三、小试牛刀，例题讲解例1.如图，在直角坐标系中，点A(12,0),动直线OB与AB相交于点老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：(1)要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.再攀高峰,迁移应用四、再攀高峰-迁移应用(2)怎样将问题转化为“两点

7、如图，在平面直角坐标系中，A,B坐标为A(1,3),B(-4,2)设M,N分别为x轴，y轴上一动点，问是否存在这样的点M(m,之间，线段最0),并求出短”的问题.N(0,n)快四匕ABMNH山司不短？小m,n四1且；四边形ABMN的周长2、分组讨论，V.J/卜师生共同分析.4A(L3)33、完成作图，体会作图的步BI12)z骤与分析问题的思路的联系1-与区别.ii1、分组讨论，-4-3-2-1012X教师点拨，点学-1生上台操作演不，回出最矩路五、课堂小结径.师生一一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研究问题的过程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？3、在解决问题的过程运用了什么方法？4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？六、布置作业详见学案对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转