导数讨论含参单调性习题含详细讲解答案解析

1、f(x)-lnxTg(x)=(m>0)1 .设函数x+l.(1)当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；(2)若函数在定义域不单调，求的取值围；(3)是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.2 .已知函数=(+"nx-ax+WR用是的导函数，为自然对数的底数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：；(3)当时，判断函数零点的个数，并说明理由.3 .已知函数(其中，).(1)当时，若在其定义域为单调函数，求的取值围；(2)当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值围，如果不存在，说明理由(其中是自然对数的底数，

2、).4 .已知函数，其中为常数.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有5 .已知函数(为常数)是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数(1)求的值；(2)若在及所在的取值围上恒成立，求的取值围；(3)讨论关于的方程的根的个数.6.已知函数fxaxlnx,Fxexax,其中x0,a0.(1)若fx和Fx在区间0,ln3上具有相同的单调性，数a的取值围;一一1(2)右a,且函数gxxe2axfx的最小值为M,求M的e最小值.7.已知函数f(x)exmlnx.(1)如x1是函数f(x)的极值点，数m的值并讨论的单调性f(x);(2)若xXo是函数f(x)的极值点，

3、且f(x)0恒成立，数m的取值围(注：已知常数a满足alna1)8.已知函数fxlnmx(1)当m1时，求证:0时,(2)试讨论函数yfx的零点个数.xInx,fxax13.9 .已知e是自然对数的底数，fx2ex1上单调递增;(1)设TxFxfx,当a12e1时，求证：Tx在0,(2)若x1,Fxfx,数a的取值围.10 .已知函数fxexax2(1)若a1求函数fx在区间1,1的最小值；(2)若aR,讨论函数fx在(0,)的单调性；(3)若对于任意的x1,x2(0,)，且x1x2,都有x2f(x1)ax1f(x2)a成立，求a的取值围。参考答案1.(1)；(3).【解析】试题分析：(1)本

4、小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与在处的切线互相垂直，得，即可求出结果.(2)易知函数的定义域为，可得1x+2-n)+1.”x¥=f(x)=g(x)=(x+ir,由题意，在有至少一个实21=n)>d根且曲线与x不相切，即的最小值为负，由此可得，进而得到4,由此即可求出结果.(3)令，可得，令，则，所以在区间单调递减，且在区间必存在实根，不妨设，可得，(*),则在区间单调递增，在区间单调递减，.=情叫1卜1叫|将(*)式代入上式，得.使得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解

5、析：(1)当时，在处的切线斜率，由，得，.(2)易知函数的定义域为,12+2-m(l-n)+-,1m(l-n)x+(2-m(l-n)x+1xy=f(k)-=工(x+I)2x(x+1)2(x+112由题意，得的最小值为负，.(注：结合函数图象同样可以得到)，m+口-n)?-5rrijl-n)>44,?,?2aaxXh(x)=f()'f(e)+f(-)=ax-axlnx+Inx-In2a令x力，其中,则，则，则，在区间单调递减，且在区间必存在实根，不妨设，1k(xD>=alnZaalnxa+=0即，可得，(*)则在区间单调递增，在区间单调递减，坨%)=叫一中心-(叫-1卜吗将(

6、*)式代入上式，得.根据题意恒成立，又，当且仅当时，取等号，代入(*)式，得，即，又，,存在满足条件的实数，且.点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值的方法，一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数围2.(1)当时，在上为减函数；当时，的减区间为，增区间为；(2)证明见解析；(3)一个零点，理由见解析.【解析】试题分析：(1)讨论函数单调性，先求导，当时，故在上为减函数；当时，解可得，故的减区间为，增区间为；(2)根据，构造函数，设，当时，所以是增函数，得证；(3)判断函数的零点

7、个数，需要研究函数的增减性及极值端点，由(1)可知，当时，是先减再增11111g(-)=aln-+a=a(ln-+1)<0；:&的函数，其最小值为aam，而此时>0闰伯)0,且，故恰有两个零点，从而得到的增减性，当时，；当时，；当时，从而在两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值，所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点.试题解析：(1)对函数求导得，当时，故在上为减函数；当时，解可得，故的减区间为，增区间为；(2),设，则，易知当时，(3)由(1)可知，当时，是先减再增的函数，11工&(-)=aln-+a=a(ln-+1)<0其最小值为am日，而此时以3)=

8、1+e闩>。，旦归且，故恰有两个零点,当时，；当时，；当时，在两点分别取到极大值和极小值，且，由知，1f(x.)=(ax.+1)Inx.-+3=lnxn+2,但当时，则，不合题意，所以，故函数的图象与轴不可能有两个交点.函数只有一个零点.3. (1);(2)存在，且.【解析】试题分析：(1)当时，首先求出函数的导数，函数的定义域是，得到，分和两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到的取值围；(2),分和两种情况讨论函数的单调性，若能满足当时，当满足函数的最小值大于0,即得到的取值围.4,44x>Orf(x)=a(x-)4lnxJ(x)=al+-)-=试题解析：(1)由题XJ*A当

9、时，知，则是单调递减函数；当时，只有对于，不等式恒成立，才能使为单调函数，只需，解之得或，此时综上所述，的取值围是bb-x+bx+bx>OJ(x)=-1+-(2),其中'虢K()当时，于是在上为减函数，则在上也为减函数b1,仅e-=(l-)b-e<0知史里恒成立，不合题意，舍去()当时，由得，列表得0最大值若，即，则在上单调递减b1,仅)皿7(可=b6-=(12”ee11e2*(1)b-4?s(1)e-eeez+le+1,而于是恒成立，不合题意，舍去若，即.则在上为增函数，在上为减函数,要使在恒有恒成立，则必有则，所以由于则，所以综上所述，存在实数，使得恒成立【点睛】导数问

10、题经常会遇见恒成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；(3)若恒成立，可转化为.4. (1)当时，在区间上单调递增；a2-2-宫+当时，在上单调递减，在2"2"'上单调递增；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究在上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定单调区间，(2)先由(1)知,且两个极值点满足.再代入化简得，利

11、用导数研究单调性，最后根据单调性证明不等式.试题解析：(1)函数的定义域为.12x?+2ajc+1g'M=2x+=*+a"日，记，判别式.当即时，恒成立，所以在区间上单调递增.当或时，方程有两个不同的实数根，记，显然(i)若，图象的对称轴，两根在区间上，可知当时函数单调递增，所以，所以在区间上递增.(ii)若，则图象的对称轴，.，所以，当时，所以，所以在上单调递减.当或时，所以，所以在上单调递增.-3'32-2+&r2综上，当时，在区间上单调递增；当时，在2'2上单调递减，在上单调递增(2)由(1)知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且，又现%)+

12、e(x2)=%+a)+勺+ln(x2+a)=a-1-In2现+机翼与/11rl2-)-Ina-+.记，则，所以在时单调递增，2422r2r1In2用魂一帅一%=0422,所以，所以5. (1);(2);(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义可得，再根据恒等式定理可得.（2）由函数是区间上的减函数，得其导函数恒非正，即最小值，而在恒成立等价于，从而有对恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负即可，解不等式组可得的取值围（3）研究方程根的个数,只需转化为两个函数，交点个数，先根据导数研究函数图像，再根据二次函数上下平移可得根的个数变化规律试题解析：（1）是奇函数，则恒成

13、立，,即，''>'（2）由（1）知，.，又;在上单调递减，且对恒成立，即对恒成立，在上恒成立，即对恒成立，令+5irU+1口±1）,则，而恒成立，（3）由（1）知，方程为，令，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，而，函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根.点睛：对于求不等式成立时的参数围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，

14、如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法6.（1）M的最小值为0.（2）,3.【解析】.1ax1试题分析：（1）由fxa-,Fxexa,x0fx0在0,上xx恒成立fx在0,上单调递减1a0时，F'x0,即Fx在0,上单调递增，不合题意;当a1时，利用导数工具得Fx的单调减区间为0,lna，单调增区间为lnx在区间0,ln3上具有相同的单调性lnln33a的取gxaxaxe1lnxlnx2xmin1lnxaxemin0,e0,e2上递减试题解析：（1）*a0,f'xa0时,g0在0,F'xlnte0,h1时，由F'xx的单调减

15、区间为0M的最小值为ax1一Fxx上恒成立,0,即F0,ln在0,0.a,x0,上单调递减.ln0,上单调递增，不合题意;F'单调增区间为lnx和Fx在区间0,ln3上具有相同的单调性,1lnaln3,解得a3,综上,a的取值围是(2)ax1eaxaxeaxax11由e一x0得到lnxxlnx22,x当xe2时,p'x时,p'x0.从而px在0,e2上递减，在min122.eaxe0,0,上,ax0,g'xh'tM考点:上,ax10,g0,gx递减;0,gx递增.，xmin0,e2,g的最小值为0.1、函数的单调性;Int10在0,e2上递减.，h2、函

16、数的最值;3、【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、0;函数与不等式.函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用7.（1）m1,f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,）上单调递增;(2)malna,).试题分析：（1）由x1是函数f（x）的极值点，得f10可得m得值，由导数和单调性的关系得其单调区间;

17、(2)由题意知f'(x)ex1一、-,设h(x)xhx单调递增，即xx0是f'(x)0在(0,）上的唯一零点，得mx0lnx0,fxminfXo,使得fXo0即可，结合alna1,得参数m围.试题解析：（1）x1是函数1mf(x)的极值点，f'(1)0e10.m1,f'(x)x1xe1x1令g(x)xe1,x1g'(x)exxex1(x1)e0,g(x)在(0,）上单调递增，g（x）g(0)1g(1)0.当x(0,1),g(x)0；当x(1,),g(x)0.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增,此时，当x1时f(x),取极小值.(2)f&

18、#39;(x)e则h'(x)exmE1Exmxm1一,设h(x)ex1c一、，c0.h(x)在(0,x)上单调递增,f'(x)在(0,)上单调递增.X0是函数f(x)的极值点,X0是f'(x)0在(0,)上的唯一零点,eX0X0X0mIniX0x0mInx0mx0Inx0.X0,f'(x)f'(X0)0,f'(X)f'(X0)0,f(x)在(0,X0)上单调递减,在(X0,)上单调递增，f(X)有最小值.f(x)minf(X0)X0meInX0x0m.X0f(x)0恒成立,X0X0InX0X0Inx0.alnX0X0InX0aIna,).

19、考点:(1)利用导数研究函数的极值；(2)利用导数研究函数的单调性；(3)恒成立问题.【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题,及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立.考查函数的单调性，由fx0,得函数单调递增，fx0得函数单调递减；考查恒成立问题,正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为ahx或ahx恒成立，即ahmaxx或ahminx即可，利用导数知识结合单调性求出hmaxx或hminx即得解.8.（1）见解析；（2）当0【解析】m1时，有两个零点；当m1时；有且仅有一个零点.试题分析：（1）首先将m

20、1代入函数解析式，然后令gx3xfx一，再通过求导得3到gx的单调性，从而使问题得证；（2）首先求得f（x）,然后求得f（x）0时x的值,再对m分类讨论，通过构造函数,点的个数.利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出函数零试题解析：（1）当m1时,(1x0),则gx-1当1x0时,0,0,0,此时函数gx递增,0时,0,当13八,x0时，fx3mxmx1时,x1x20,由得1x1时，10,0,0,此时，函数为增函数,0时,0,0,x0时,f00,故函数1上有且只有一个零点(ii)当01时,由知，当1,mm0,且mx0,mx此时，f0；同理可得,函数yx的增区间为1,mm1一一一和0,m0,

21、x0;0时，f0m故，当0时，f00,当x0时,函数ln有且只有一个零点0;1为减函数,构造函数k时，k0,有In1t22Hx而一mx2由知f又函数yIntInxx函数ymxIn10.11,1(Inm1时,的增区间为1则em2mxmx0.111,时,减区间为In11,mx0,上递增,由和函数零点定理知,综上，当0m1时，函数x01m'lnmx，使得f%02x一mx有两个零点,2综上所述：当0m1时，函数yfx有两个零点,当m1时，函数yfx有且仅有一个零点.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点存在性定理；3、函数最值与导数的关系.【技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问

22、题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个分段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则.9. （1）证明见解析；（2）,4试题分析：（1）借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证；（2）借助题设条件运用导数的有关知识求解考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用.试题解析：*1a2e1,Tx112eInx2ex2e12.x1x0,T'x2e2ex0,T'x2ex12e(

23、2)设HxFxf_x1111贝Uh'x2e2.xx增.11_x11.2e2ex11八-0,Tx在xxx,贝UH'x2ex11,2ex12,4x关于x单调递0,上单调递增.1 x11a.设hx2ex11x1,h'x1.hx在1,单调递当x1时，hxh1.即H'x4a,当a4时，H'x4a0.当a4时，Hx在1,单调递增.当a4,x1时，Hx-_x11_x1_fx.x1,H'x2ex11a2e2a1x当a4时，由2ex12a0得"x1、一（2ex12a关于x单调递增，a当a4,1x1ln1时，Hx单倜递减.设2Xo1aln一1，则Hx02H

24、10,即Fx0fXo当a4时，x01lna11,Fx02fx0不成立.综上，若x1,Fxfx刀的取值围,4【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a的两个函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是推证函数TxFxfx在0,上单调递增；第二问中借助导数，运用导数求在不等式x1,Fxfx恒成立的前提下实数a的取值围.求解借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想进行分类推证，进而求彳#实数a的取值围，从而使得问题简捷巧妙获解.10. (1)1(2)a1时，增区间(0,),a1时，减区间0,ina,增区间ina,(3)a1【解析】、一,一一,一_'.试题分析：(