导数题型分类大全

1、导数题型分类(A)题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则(一)导数的定义：函数yf(x)在X0处的瞬时变化率limx0为函数yf(x)在xXo处的导数，记作f/(X。)或y/yx即f(x0x)f(x0)lim0二称x0x/f(x0x)f(x0)f(xO)limX0x如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b),都对应着一个确定的导数flx),从而构成了一个新的函数/(x)。称这个函数/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y-即J(x)=y/=f(xx)f(x)lim-x0x导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数

2、的导数，就是求导函数；求函数yf(x)在x0处的导数y/xx0，就是导函数f/(x)在x0处的函数值，即y/xx0=f/(x0)。例1,函数ya处的导数为A,求ltmfa4tfa5tt例2.求y3T在点x3处的导数。x3(二)常见基本初等函数的导数公式和运算法则：C'0(C为常数)；(xn),nxn1,nN;(sinx),cosx;(cosx),sinx;(ex)ex;(ax)axlna；法则1：u(x)v(x)u(x),1(lnx);xv(x)法则2:(logx)al0gaeu(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)法则3:%v(x)u(x)v(x)2u(x)v(x)(v(x)

3、0)v(x)(理)复合函数的求导：若yf(u),u(x)，则yxf'(x)-1(x)如，(esinx)'(sinex)'公式(xn)/nxn1的特例：(x);工x,(Jx)题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义:函数yf(x)在x0处的导数是曲线yf(x)上点(x°,f(x°)处的切线的斜率,因此，如果f(x0)存在，则曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为第1页共15页例1.若函数f(x)满足,_13_2f(x)§x3f(1)x2x,则f(1)的值例2.设曲线yaxe在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a

4、练习题1.曲线y4x3x在点1,3处的切线方程是2.若曲线f(x)4XX在P点处的切线平行于直线3xy0,则P点的坐标为(1,0)4yx的一条切线l与直线x4y0垂直，则l的方程为4x4.求下列直线的方程：(注意解的个数)32(1)曲线yxx1在P(-1,1)处的切线;(2)曲线x2过点P(3,5)的切线;解：(1)点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/3x22xk|x13-21所以切线方程为y1x1,即xy2(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0),则y02X0又函数的导数为y/2x所以过A(x0,y0)点的切线的斜率为ky/|xX02x0,又切线过A(x0,y0

5、)、P(3,5)点，所以有2x0y05xo3，由联立方程组得,x01或x05y。1y。25,即切点为(1,1)时，切线斜率为k12x02;当切点为(5,25)时，切线斜率为k22x010;所以所求的切线有两条，方程分另为y12(x1)或y2510(x5),即y2x1或y10x255.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为°,京,则点P横坐标的取值范围为()B.-1,0C.0,11D.216.下列函数中，在(0,+8)上为增函数的是(A.y=sinxB.xyxeC.D.y=ln(1+x)x7.设f(x),g(x)是R上的可导函数，(x),g(x)

6、分别为f(x),g(x)的导数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0,则当a<x<b时，有(A.f(x)g(b)>f(b)g(x)C.f(x)g(a)>f(a)g(x)B.f(x)g(x)>f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(b)g(a)第2页共15页题型三：利用导数研究函数的单调性1 .设函数yf(x)在某个区间(a,b)内有导数，如果在这个区间内,则yf(x)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内,则yf(x)是这个区间内单调递减.2 .求函数的单调区间的方法：(1)求导数yf(x)；(2)解方程f(x)0；(3)使不等式f(x)0成立的区间就是递

7、增区间，使f(x)0成立的区间就是递减区间3 .若函数yf(x)在区间(a,b)上单调递增，则f'(x)_0在(a,b)恒成立.例：1.函数y=xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数()(A)(一,-)(B)(,2)(C)(,-)(D)(2,3)22222 .函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是.3 .已知函数f(x)exax1在R上单调递增，则a的取值范围是题型四：利用导数研究函数的极值、最值。3421 .f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是2222 .已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c=63 .函数V13xx3有极小值1,极大值34.已

8、知函数那么函数f(x)的导函数f(x)的图象如右图所示,f(x)的图象最有可能的是(yAy”OBf(x)O-2二O12.xa的取值范围是(5 .已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数A.-1vav2B.av-3或a>6C.-3<a<6D.av-1或a>2作业和练习：1 .已知函数f(x)x22axa在区间(一°°,1)上有最小值，则函数g(x)f在区间(1,x+8)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数2 .已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值，求过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求该

9、切线的方程第3页共15页3 .已知函数f(x)xlnx(1)求f(x)的最小值(2)若对所有x>1都有f(x)>ax-1,求a的取值范围124.已知函数f(x)xlnx,其中a为大于零的常数.2a(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)当x1,2时，不等式f(x)2恒成立，求a的取值范围32y=3x+15.已知函数f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为(I)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数yf(x)在3,1上的最大值；(出)若函数yf(x)在区间2,1上单调递增，求实数b的取值范围第4页

10、共15页解(1)由f(x)x3ax2bxc,求导数得f(x)3x22axb.过yf(x)上点P(1,f(1)的切线方程为：yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).而过yf(x)上P1,f(1)的切线方程为y3x1.32ab32ab0即故ac3ac3y川在*2时有极值，故f(2)0,4ab12由得a=2,b=4,c=5f(x)x32x24x5.2f(x)3x4x4(3x2)(x2).3x2时，f(x)0;当2当一2当3x1时，f(x)0.f(x)极大2一，一x时，f(x)0;3f(2)13又f4,f(x)在3,1上最大值是13。2(3)y=f(x)在2,1上单调递增，又

11、f(x)3x2axb,由知2a+b=0。依题意f(x)在2,1上恒有f(x)>0,即3x2bxb0.bx1时，f(x)minf(1)3bb0,b6当6;bx2日tf(x)minf(2)122bb0,b当6;221时，f(x)min0,则0b6.当b12综上所述，参数b的取值范围是【0，)326.已知三次函数f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4.求函数Vf(x)的表达式；第5页共15页(2)求函数Vf(x)的单调区间和极值;若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间m3，n上的值域为4,16，试求m、n应满足的条件.2解：(1)f(x)3x2axb,由题意得，1，1是3x

12、22axb0的两个根，解得，a0,b3.3再由f(2)4可彳导c2.f(x)x3x2.(2)f(x)3x233(x1)(x1)当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.函数f(x)在区间(，11上是增函数；在区间1，1上是减函数；在区间1，)上是增函数.函数f(x)的极大值是f(1)0,极小值是f(1)4.(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间3，nm上的值域为144m，164m(m0).而f(3)20,.44m20,即m4于是，函数f(x)在区间3，n

13、4上的值域为20,01令f(x)0得x1或x2.由f(x)的单调性知，"n4总2,即3名晨6.综上所述，m、n应满足的条件是：m4,且3Wn买6.7.已知函数f(x)xalnx,g(x)，(aR).x(n)设函数h(x)f(x)g(x),求函数h(x)的单调区间；(出)若在1，e上存在一点x0,使得f(xO)g(xO)成立，求a的取值范围第6页共15页解；<IW)0雄义城为(口(1分J1x-1当胃;1时，fu)=x-ii«>r(jt)=i一一三<?分)XXX(Ojn1一dr<n-0,Hk)极小口分)所以nn在41处廉岸极小晅1.r4分)1+H(II)

14、用)=x，rw.一号qjj：”十司”吗小叫盼,赠3+1%弼,即白时，在1口,1*白>上丫£同£(E在(1«,+81上h'fX)>口，所以棺(八花£0/IE)上里调逼流，荏C143上单i葡拗9:(7分，够不*口.即aGI时在£。,卡8上h口,所以函数在(0>3)上单词递增.小分】(国)在口，旬上存在一点，便谒N%口4'成立即_I+丹F上+1由fr(e>=&+a<0可得a>)99-1C1因为二不>L1J丁1+1所以3>；(1。分7e-1得当卜鼻41j即日0时j卜(齐)在3回上单

15、调通常，所以h(x)最小值为h(1)j由科(1)=1-*-1+a<OnJat-2:<当11+SK"即。<a<e-W,可谢T)量小值为hf1%)因为CHtri(1+a)<1>所以j0<aln(1+a)<a故hf143=2+aln(14A>7此时,hf1%)口不成立,(12分)E二十1综上讨论用在所或m的范圜是：a>-ma<-2.<13>e-18,设函数f(x)x(xa)(xb)(1)若f(x)的图象与直线5xy8°相切，切点横坐标为2,且f(x)在x1处取极值,求实数a，b的值；(2)当b=1时，试

16、证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点.2解：(1)f(x)3x2(ab)xab.由题意f(2)51f(1)°,代入上式，解之得：a=1,b=1.第7页共15页(2)当b=1时，令f(x)0得方程3x22(a1)xa0.2因4(aa1)0，故万程有两个不同实根Xl,x2.''不妨设x1刈，由f(x)3(xx1)(x刈)可判断f(x)的符号如下：当xx1时，f(x)>0；当x1xx2时，f(x)V0；当xx2时，f(x)>0因此x1是极大值点，x2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。题型五：利用导数研究

17、函数的图象1.如右图：是f(x)的导函数，f(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是(D)(A)(B)(Q(D)yx34x1的图像为2,函数3(A)3方程2x36x270在(0,2)内根的个数为A、0B、1C、2题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围一，、13_2_2.一.f(x)x2ax3axb,0a1.1,设函数3(1)求函数f(x)的单调区间、极值.(2)若当xa1a2时，恒有1f(x)1a,试确定a的取值范围第8页共15页解：(1)f(x)x列表如下：x(-00,a)f(x)-f(x).23a=(x3a)(xa)令f(x)4axa(a,3a)0+极小3a(3a,+&

18、#176;0)0-极大f(x)在(a,3a)上单调递增，在(-°0,a)和(3a,+°°)上单调递减f极小(x)xa时，b-a33,x3a时,f极小(x)b22_f(x)x4ax3a.0a1,.对称轴x2aa1f(x)在a+1,a+2上单调递减fMax(a1)24a(a1)23a2a1fmin2(a2)4a(a2)3a4a4依题1f(x)1afMaxIa,|fminIa即12a1|a,|4a4|a4-a解得51，又0a1，a的取值范围是4,1)22.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=3与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间若对x

19、1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围。2123)=94,a+b=03解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b-1(1) =3+2a+b=0得a=2,b=2f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表:x2(一,3)2-32(-3,1)1(1,+)f(x)十0一0十f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(一，一3)与(1,+)，递减区间是(一3,1)第9页共15页1222(2) f(x)=x32x22x+c,x1,2，当x=-3时，f(x)=27+c为极大值，而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。要使f(

20、x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)=2+c,解得c1或c2题型七：利用导数研究方程的根11.已知平面向量a=(<3,-1),b=(2,2),(1)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t23)b,y=*a+tb,xy,试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.I.-I.I_|.一解：(1)x,y,xy=0即a+(t2-3)b.(-ka+tb)=0.-2整理后得-ka+t-k(t2-3)一一-2ab+(t2-3)b=o122.ab=o,a=4,b=1,.上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)(2)讨论方程4

21、t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个33于是f'(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).令f'(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f'(t)、f(t)的变化情况如下表:t(-°0,-1)-1(-1,1)1(1,+8)f'(t)+0-0+F(t)极大值极小值1当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-21函数他)=4t(t2-3)的图象如图1321所示,可观察出：第10页共15页11当k>2或kv2时，方程f(t)

22、-k=0有且只有一解;11(2)当k=2或k=2时，方程f(t)k=0有两解;(3)当一2vkv2时，方程f(t)k=0有三解.2.已知函数f(x)kx33(k1)x22k24,若f(x)的单调减区间为(0,4)(I)求k的值；(II)若对任意的t1,1,关于x的方程2x25xaf(t)总有实数解，求实数a的取值范围。解：(I)f(x)3kx26(k1)x又-、_2一.(II)f(t)3t12t1tf(4)0,k0日tf(t)0;0且f(1)5,f(1)3,f(t)252x5x14分t1时f(t)08a25a88a251512分题型八：导数与不等式的综合1,设a0,函数f(x)x3ax在1,)

23、上是单调函数.(1)求实数a的取值范围；设X。>1,f(x)>1,且f(f(Xo)X0,求证：f(Xo)x0.22解：(1)yf(x)3xa,若f(x)在1,上是单调递减函数，则须y0,即a3x,这样的实数a不存在.故f(x)在1,上不可能是单调递减函数.若f(x)在1,上是单调递增函数，则a<3x2,2由于x1,，故3x3.从而0<a<3.(2)方法1、可知f(x)在1,上只能为单调增函数.若1wX0f(X0),则f(x0)f(f(x0)x0矛盾，若1wf(x0)X0,则f(f(x0)f(x°)，即X0f(x0)矛盾故只有f(x0)x0成立.方法2：设

24、f(X0)uMf(u)X0,x3ax0u,u3auX0,两式相减得第11页共15页(x；u3)a(x0u)ux0(x0u)(x2X°U2u1a)0,x0、0'0>1,u>1,2x0X0U3,又0ao23x0x°u2.已知a为实数,f(x)函数(x2|)(xa)(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,a的取值范围若f'(1)0,(I)求函数f(x)的单调区间(n)证明对任意的xx2(1,0),不等式If(xi)f(x2)116恒成立一3Vf(x)x3解：233.axx-af'(x)22函数f(x)的图象有与x轴平行的切线,4a2.J

25、f'(1)02a由f'(x)0,xf'(x)f(x)的单调递增区间是1),(12,3x2f'(X)f(易知f(x)的最大值为1)25f(x)f(x)在1Q上的最大值M27对任意x1,x2(1,0),恒有a3.已知函数f(x)Inxx2ax320有实数解a的取值范围是f'(x)3x20,1x);单调减区间为f(的极小值为49m一8,最小值16If(X)f(x2)IMm当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；第12页共15页1,i)491613(x2)(x1),J(0T27849165163(2)若f(x)在1,e上的最小值是一，求a的值；22.设g(x)

26、lnxa,右g(x)x在(0,e上恒成立，求a的取值氾围题型九：导数在实际中的应用1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点。到底面中心5的距离为多少时，帐篷的体积最大?0解：设OOxm，则1x由题设可得正六棱锥底面边长为：32(x1)2x故底面正六边形的面积为:3z.T(82xx2)2=(82xx2),(单位:帐篷的体积为:V(x)282xx2)3(x1)1.3y(1612xx3)(单位:V'(x)求导得3.c(1223x2)o令V'(x)解得x2(不合题意，舍去)，x2,2时，V'(x)0,V(x)为增函数;4时，V'(x)0,V(x)为减函数。2时，V(x)最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为16J32.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函