导数的应用学生版

1、第二讲导数的应用b回扣两田球等售罐q觎镒!净图e-1 .函数的单调性与导数/U)ZHs由内单守0/w在山内是.数.(,*)内单耳探究1.若函数f(x)在(a,b)内单调递增，那么一定有f'(x)>0吗？f'(x)>0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a,b)内单调递增，则f'(x)>0,f'(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2 .函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，且f'(a)=0,而且

2、在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值：若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，且f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值.探究2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定.可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x

3、)=x3,在x=0处，有f'(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件.3 .函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件：一般地，如果在区间a,b上，函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤为求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.自测牛刀小试1.(教材习题改编)函数f(x)=exx的单调递增区间是()A.(巴1B.1,+8)C.

4、(8,0D.(0,+8)2.(教材习题改编)函数f(x)=：x34x+4有()3a.极大值28,极小值4b.极大值4,极小值283333c,极大值4,极小值§d.极大值28,极小值43333可苧国口已弓密小碰海吟葺续4.(教材习题改编)函数f(x)=x33x2+2在区间1,1上的最大值是5,若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数，则m的取值范围是3,已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(y运用导数解决函数的单调性问题例1(2013郑州市莫拟)已知函数f(x)=ax+xlnx,且图象在点匕f、:处的切线斜率为

5、1(e为自然对数的底数).(1)求实数a的值；(2)设g(x)J*,求g(x)的单调区间;1,已知函数f(x)=|x2x2+lnx,其中a为常数.若a=1,求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，求a的取值范围.三E二1利用导数解决函数的极值问题,一、，、一13，.，例2(2012重庆局考f(x)=aln*+发+那+1,其中aCR,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值.|幡式训练2 .已知函数f(x)=ekxWxk卜0).求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数k,使得函数f(x)的极大值等于3e2?若

6、存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.利用导数解决函数的最值问题例3已知函数f(x)=(x-k)ex.求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.函接嫡保持本例条件不变，求f(x)在0,1上的最大值.no犬训练3 .(2012江西高考)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)=f(x)-f,(x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值.提升L邱也芯陋噩皿酗涸庭狙崎B答题模板函数的单调性、极值、最值问题典例(2012北京高考)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3

7、+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们白交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；(2)当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间(一°°,1上的最大值.1 .已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是()A.f(b)>f(c)>f(d)B,f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D,f(c)>f(e)>f(d)2 .函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,对任意xCR,f'(x>2,则f(x)>

8、;2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(1,+8)C.(8,1)D.(8,+oo)3 .(2012陕西高考)设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=1为f(x)的极大值点D.x=1为f(x)的极小值点34,函数f(x)=7+x2-3x-4在0,2上的最小值是()3?B.-fC.-45.(2013咸宁模拟)已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=()A.2或2B.9或3C.1或1D.3或16.(2012福建高考)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给

9、出如下结论：f(0)f(1)>0;f(0)f(1)<0;f(0)f(3)>0;f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.二、填空题7,函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为8,已知函数f(x)=ex2x+a有零点，则a的取值范围是.9,已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m,nC1,1,则f(m)+f'(n)的最小值是.三、解答题10 .已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点x0处取得极小值5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).(1)求a,b的值；(2)求Xo及函数f

10、(x)的表达式.11 .已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax2.(1)求函数f(x)在t,t+2(t>0)上的最小值；(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值；12 .已知函数f(x)=x-2ax2-ln(1+x),其中aCR.(1)若x=2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间;(3)若f(x)在0,+8)上的最大值是0,求a的取值范围.13 .已知函数f(x)=lnx-ax+a-1(aCR).x1一，当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线万程；(2)当aw3时，讨论f(x)的单倜性.14 .设f(x)=-7X3+7X2+2ax.32若f(x)在i|,+°0