常微分方程第三版课后习题答案

1、常微分方程第三版课后习题答案习题1.21 .=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：dy=2xdx两边积分有：ln|y|=x2+cyy=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1特解为y=ex2.2 .y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y2dx=-(x+1)dy*dy=-dxyx1两边积分：-y21dy=dxyxx两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx24.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：Ldy=-2dx=-ln|x+1|+ln|c|y=1yln|c(

2、x1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解：y=1ln|c(x1)|3dy=ALdxxyxy解：原方程为：曳=3jdxyxx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5. (y+x)dy+(x-y)dx=0解：原方程为:dy=_xydxxy令y=u则dyR+xdu代入有：xdxdxu11-du=-dxu1xln(u2+1)x2=c-2arctgu即ln(y2+x2)=c-2arctgg.x6. xdy-y+x2y2=0dx解：原方程为：dy=Y+凶-.1(y)2dxxx；x则令？=udy=u+x电xdxdx,1du=sgnx1dx.1u2xa

3、rcsiny=sgnxln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0解：原方程为：空=匹tgyctgx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=-1一=一口另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.ccosxcosx所以原方程的通解为sinycosx=c.2-y3x8口+=0dxyy2解：原方程为：5=Je3xdxy22e3x-3ey=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：5=Ln2dxxx令y=u，则dy=u+x也xdxdxu+x=ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln-=cy.x10.dy=exydx解：原方程为：5=ex

4、eydxey=cex11dy=(x+y)2解：令x+y=u，则曳=曲-1dxdx曲-1=u2dx1LTdu=dx1 uarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dy=dx(xy)解：令x+y=u,则dy=包-1dxdxdxu2u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13dy=2xy1dxx2y1解：原方程为：(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx2+x=cxy-y2+y-x2-x=c14: dy=xy5dxxy2解：原方程为：(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y

5、+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(1y2+2y)-d(1x2+5x)=0y2+4y+x2+10x-2xy=c.15: dy=(x+1)2+(4y+1)2+8xy1解：原方程为：曳=(x+4y)2+3dx令x+4y=u贝U曳=1业-1dx4dx41 型-1=u2+34dx4=4u2+13dxu=3tg(6x+c)-1tg(6x+c)=2(x+4y+1).316:证明方程-dy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程:ydx1) y(1+x2y2)dx=xdy222) xdy=2xy22ydx2-xy证明：令xy=u,则xdy+y=dudxdx则2=1四-;,有：d

6、xxdxx业=f(u)+1udx所以原方程可化为变量分离方程。1)令xy=u则业=1业-4(1)dxxdxx2原方程可化为：曳=丫1+(xy)2(2)dxx将1代入2式有：1叫-斗=u(1+u2)xdxxxu=u22+cx17 .求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设(x+y)为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：y0x=xo-y=yo-xoyy贝Ux=2x0=x0-比所以xy=cy18 .求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中=-4解：由题意得：v=-dy=1dxxyxln|y|=ln|xc|y=cx.=贝

7、Uy=tgx所以c=1y=x.419 .证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则v=kx则：y=kx2+c即为所求。常微分方程习题2.12xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得1一dyy一,222xdx,两边同时积分得：lnyxc,即ycex把x0,y1代入得2c1,故它的特解为yex。22.ydx(x1)dy0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得:1,一._dxdy,当y0时，两边同时积分得；lnx1y1I-一c,即ycln|x1|当y0时显然也是原方程的解。当x0,y

8、1时,1代入式子得1,故特解是y1ln13xyxy解:原式可化为:dx2显然Ly0,故分离变量得两边积分得1-In12lnx1-ln1故原方程的解为(21y)(122x)2cxInc(cdy1y0),即(11-dx3xx222y)(1x)cx5:(yx)dy(yx)dx0解也,令yu,yux,dyxx,变量分离，dxy则ux-dxdx得:dux-dx11一dudx1x两边积分得:，i，,arctgu-ln(1Inxc。解:入ydy令一u,yux-xdxx四，则原方程化为:dxdudx22.x(1u)，分离变量得：,11du2usgnx?1dxx两边积分得：arcsinusgnx?lnx代回原来

9、变量，得arcsinsgnx?lnxx2另外，yx2也是方程的解。7:tgydxctgxdy0解：变量分离，得：ctgydytgxdx两边积分得：lnsinylncosxc.2y3x5Vdyey8:dxy解：变量分离，得-yrdyey13xec3e9:x(lnxIny)dy解：方程可变为:令uy,则有：1dxxxydx0lny?dyxlnudx0x代回原变量得：cy1lnuln-oxdInue%yxecxedx10:出exydxe解：变量分离两边积分ey4:(1x)ydx(1y)xdy0解：由y0或x0是方程的解，当xy0寸，变量分离1xdx1-ydyxy两边积分lnxxInyyc,即Inxy

10、xyc,故原方程的解为Inxyxyc;y0;x0.dyxydxe解：变量分离，aydyAxdxDD两边积分得：:qXCDDdy211 .dX(xy)解：令xyt,则曳51dxdx原方程可变为：电口1dxt1变重分离得：dtdx,两边积分arctgtxct1代回变量得：arctg(xy)xc12 .包dx(xy)解令xyt,则色如1,原方程可变为里-11dxdxdxt2t2变革分离dtdx,两边积分tarctgtxc,代回变革t21xyarctg(xy)xcdy2xy113.dxx2y解：方程组2x10,x2y10;的解为x13,y人1令xX-,y31,则有匕dX令工U,则方程可化为:X变量分离

11、dUXdX2XYX2Y22U12U14,dyxy5dxxy解：令xy5t,则原方程化为：1dtdxdydxt71与,dx,变量分离(t7)dt7dx两边积分代回变量122t2(x7t7x25)7(xy5)7xc.15.dydx(x1)2(4y21)8xy1解:方程化为曳dxx22x116y28y8xy1(x4y1)22x4yu,则关于x求导得14dydxdudx一、一1分离变量-44u2原方程的解。dudx,92两边积分得arctg(-4dx8y)6xc,2x25222xyxy(y3)22x22/c32y(2xyxdy3dx3(y3)22x2322xyx一令y3u,则原方程化为dudx_2_2

12、3u6x2xux23u2r6x2u1xz,则dudx60,彳导zxy,所以dx臧z3z22z2是当z26训，变量分离2z2zz61(1)1dx生,dx方程的解。dzx-dx3y2z13x或y3(1)2x是方程的解。3x)7(y3的解为（y33x)7(y2x)3x532x)3c,又因为15xc,1.dzdx,xy33x或y3两边积分的（z3）7（z2xfi含在通解中当cc352)xc,训。故原方程17.dydx2x33xyx3x2y2y3解:原方程化为崇x(222x3y1).dy2222y(3x22y21)dx22x23y213x22y212u,;xv;du则dv2v3u13v2u1方程组2v3

13、u3v2u0的解为（1,u1,则有2z3y0.3z2y0从而方程（1）化噂32-zdydz出z一,dzdt23tz-dz32tdtzdz22t2,32t(2)22t20时,1,是方程（2）的解。得2或y2x2是原方程的解22t2,30时，分离变量得-222t2t12出dz两边积分的yz(y22)5c另外2,或y2x；包含在其通解中，故原方程的解为(y225x2)c18.证明方程二曳f(xy)经变换xyu可化为变量分离方程，并由此求解下列方程ydx，、22(1) .y(1xy)dxxdy22)xdy2xy(2) .一丁o22ydx2xy证明：因为xyu,关于x求导导得y阳1dudu得：1f(u)

14、,ydxdxy(f(u)1)故此方程为此方程为变程。x亚dx-(f(u)x业，所以x曳包dxdxdx解(1):当x0或y0是原方程白解，当xy令xyu,则方程化为电dx2两边同时积分得：一2u21.1)(uf(u)u)x0s时，方程化为1(2uu3),变量分离得:x2udu31uxdyydx-dxxCx4,即x2y2y2cx2,y0也包含在此通解中。2cx，x0.2故原方程的解为心工一22xy2解(2)令xyu,则原方程化为业dx1(uxu)4u2u2分离变量得2du4u-dx,两边积分得In2一C,这也就是方程的解。x19.已知f(x)f(x)dt1,x00,试求函数f(x)的一般表达式.解

15、：设f(x)=y,x则原方程化为f(x)dt0-两边求导得yydy.dxjjjjjjjjjjj八dx5;:;两边积分得xc号;所以y代入2xcf(x)dt02tdtc20.求具有性质x(t+s)=x(t)x(s)的函数x,已知x(0)存在1x(t)x(s)解：令t=s=0x(0)=x(0)x(0)=2x(0)若x(0)0得x2=-1矛盾。1x(0)1x(0)x(0)2-所以x(0)=0.x(t)=lmx_x(0)(1x2(t)絮x(0)(1-警)x(0)dt两边积分得arctgx(t)=x(0)t+c所以1x(t)x(t)=tgx(0)t+c当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tgx(

16、0)t习题2.2求下列方程的解1.=ysinxdxd-ndxdx、角军：y=e(sinxedxc)=ex-1ex(sinxcosx)+c=cex-1(sinxcosx)是原方程的解。2,出+3x=e2tdt解：原方程可化为：dx=-3x+e2tdt所以：x=e3dt(e2te3dtdtc)=e3t(1e5t+c)5=ce3t+1e2t是原方程的解。5ds13.=scost+sin2tdt2方力costdt13dt、角军：s=e(sin2tedtc)2=esint(sintcostesintdtc)一八sintsintsint一e(sinteec)=cesintsint1是原方程的解。4.曳xy

17、exxn,n为常数.dxn解：原方程可化为：dyxyexxndxnndxndxyex(exxnexdxc)xn(exc)是原方程的解.5.1=0dy.12x+ydxx解:原方程可化为:dy_12xdxx221、(lnx_)2(edx(Inx22xdxdxc)dxc)6.dydx43xx2-xy=x2(11cex）是原方程的解.解:dydxuxx因此:duxx=dxdudxu2du2u12udxdy=ux电dxdx1u3343xxu33xx*)2-xy(*)中得：y33x4cx3是原方程的解.dy2y7.dxx1解:以固(x1)3dx1)3P(x),Q(x)(x1)32“P(x)dxdxeex1

18、方程的通解为：(x1)28.y=eP(x)dx(P(x)dxQ(x)dxc)=(x+1)(=(x+1)(=(x+1)(x1)2*(x+1)dx+c)(x+1)dx+c)2Yc)即：2y=c(x+1)2+(x+1)4为方程的通解。dy_ydx解:赵dyxy3x+yy贝UP(y)=1-1,Q(y)yP(y)dye方程的通解为:1dyyx=e=y(P(y)dyP(y)dy(eQ(y)dyc)1*y2dyc)y3ycy23即x=L+cy是方程的通解，且y=0*是方程的解。2P(x)dxe-dxexP(x)dxP(x)dx方程的通斛为：y=e(eQ(x)dxc)9.电以,a为常数dxxxa解：Px)-,

19、Q(x)xa/1x+1,、=x(dx+c)xax当a0时，方程的通解为y=x+ln/x/+c当a1时，方程的通解为y=cx+xln/x/-1当a0,1时，方程的通解为ax1y=cx+1-aady310.xyxdx解:电1yx3dxxP(x)-,Q(x)x3x_1P(x)dx一dx1eexx方程的通解为：P(x)dxP(x)dxy=e(eQ(x)dx=(x*x3dxc)x3_xc4x3方程的通解为：y=-4x11.dyxydx解：空xydxdyy3dxdy-223xyxdx2(xy2x3)z皆2(xzx3)P(x)2x,Q(x)2x3px2xdxx2edxee方程的通解为:z=pxedx(pxe

20、dxQ(x)dxc)=eX2/x2(e(_32x)dxc)=x2x2ce1故方程的通解为：y2(x2cex1)1,且y0也是方程的解。c2Inx112.(ylnx2)ydxxdy-x一424解也y221dxxx两边除以y21dyInx2y2.ydxxx,1,c1dyInx2ydxxx令y1zdz2Inx-zdxxxP(x)2,Q(x)叱xx方程的通解为：P(x)dxP(x)dxze(eQ(x)dxc)2,2,.,.-dx-dxlnx011nxzex(ex()dxc)x(2()dxc)xxxc2Inx1x-424方程的通解为：y(cx2工)1,且y=0也是解。4241322xydy(2yx)dx

21、2dy2yxy1dx2xyx2y这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以1,yydyy!1dxx2人2dz小dy令yz2y一dxdxdz2_y22z1 1dxxxP(x)=2Q(x)=-1x由一阶线性方程的求解公式2-dxex(2-dxexdxc)一2_-xxc14dyey3xdxx2两边同乘以ey令eyz包dx.2dzz3xz3zdxx2x两边同除以z2dT工生dxz2dxP(x)=xydye一dxeydydx2zxAz2dxxzdT3T1dxxx21xQ(x)=(ey)23xey这是n=2时的伯努利方程。由一阶线性方程的求解公式2dxex1ex3dxxdxc)z(ey(c)cxcxcx2ey

22、ce15dydx133xyxydxdy33yxyx这是n=3时的伯努利方程。两边同除以x31dxy3Fd?ry令x2zdzdy2x3dxdydzdy2y3n2y3=2yz2y3P(y)=-2yQ(y)=x由一阶线性方程的求解公式2 ydy32ydyze(2yedyc)一y23y2-e(2yedyc)y21cey2/2y2x(y1ce)2y2/2xe(y1ce2)eyey2222、(1xxy)2cxx16y-ex+0y(t)dtdyx/、ey(x)dxdyx一yedxP(x)-1Q(x)-ex由一阶线性方程的求解公式1dxx1dxye(eedxc)_xx_x-e(eedxc)-ex(xc)xex

23、(xc)exoex(xc)dxc=1y=ex(xc)(s)17设函数于t/2acos2从而x1dyc162acos2ptg.24acosdc4a1cos22于是求得方程参数形式的通解为xa2sin2y2acos25、x2y21解：令dyypcost,则xv1cos21sint,dx从而ycostdsintccos2tdtc1cos2t2c,于是求得方程参数形式的通解为xsint1 1.ctsin2tc2 46、y2y12y1解：令2yyt,则1yyt1,得yt-,所以dxdy普1t2dt1t2t2122t21t2dt1t2从而x于是求得方程参数形式的通解为因此方程的通解为yXc.Xc习题2.5

24、2.ydxxdyx2ydy解：两边同除以x2,得:ydxxdy,2一ydyxy12dycx2BP-y2cx24.dyydxx.xy解：两边同除以x,得令yux则包ux业dxdx即曳ux曲dxdx得至1c-lnyu22即xyc-Iny另外y0也是方程的解。6.xy1ydxxdy0解：ydxxdyxydx0ydx产xdx2y得到d-1x2y-PlnPccy2即31x2cy2duux一dx12ux另外y0也是方程的解。则：业dx即x四dx得到雪当ux故cux另外y0也是方程的解。2io.xdyi曳dxdx解：令5pdx即xp而业p故两边积分得到dx因此原方程的解为1P2P2P21nlpc。12.yd

25、yedxxxe解:dydxxyxedydxdydxdududx即业ueeudxxdxuxe1lx22故方程的解为exy1x2c214.曳dx解：那么曳dxdu求得：dydxdudxdudxdxlnu1故方程的解为Inx或可写xce16.x1业dx解：令2eyIn1duudx2u11duu2u11dxx12u11cux1即方程的解为eyxy2xc18.4x2y2dx2x3y1dy0解：将方程变形后得22dy4xydx2x3y1dx2xy1x1dy4x2y22y4x2y2同除以x2得：x2dx上dy2y4y令zx3则丝丝乌dy2y4ycy2即原方程的解为x3322ycy219 .X（曳）22y（d

26、y）4x0dxdx解：方程可化为2y（屯）x（四）2dxdxdydxp,则yxp24xxp2p2金,两边对x求导得ppxdp2dx2xdpp2dx(pp)(2，2、.p(p4)dx2x)dp，(ppx(p22x,24xc2xdx4)dp2x2c22)p0dx(2,2yc2x32)dp0,(pp4p)dxxp24x)dp4或pdxxdp0,当p22x,当pdx0xdp0时,4.20 .y21(dy)21解：令曳psin,则y21(sindx1,dxdydycospsin1sin_2sincosd2cosdx2ccos2secdctgc所以方程的解为y2(xc)21,另外由p0得y1也是解xxx21 .(1ey)dxey(1-)dy0y解：令工2贝1乂yz,-xzydyydz方程