广东河源中学高一数学培优资料周期性和对称性

1、函数周期性和对称性的探究函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的周期性和对称性是函数的基本性质，周期性和对称性不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用周期性和对称性往往能更简捷地使问题得到解决，周期性和对称性还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性和周期性这几个方面来探讨函数与周期性和对称性有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，;点P(x,y)关于点A

2、(a,b)的对称点P(2ax,2by)也在y=f(x)图像上，2by=f(2a-x)即y+f(2ax)=2b故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则V。=f(x0)f(x)+f(2ax)=2b，f(x。)+f(2ax。)=2b,即2by。=f(2ax。)。:_一,，一一，一，t,一、一故点p(2ax。，2by。)也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得征。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=。定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x

3、)=f(ax)即f(x)=f(2a-x)(证明略)推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)二、不同函数对称性的探究定理3.函数y=f(x)与y=2bf(2ax)的图像关于点A(a成中心对称。定理4.函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。函数y=f(x)与xa=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。三、周期性的几个结论1 .若f(x+a)=f(x+b)(awb),则f(x)是周期函数，I

4、ba|是它的一个周期；2 .若f(x+a)=-f(x)(aw。)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；13.若f(x+a)=f(x)(aw0,且f(x)w0),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期.四、对称性的几个结论a，b1 .若f(x+a)=f(bx),则函数f(x)的图象关于直线x=2对称，特别地，若f(a+x)=f(ax),函数f(x)的图象关于直线x=a对称；a-b2 .若有f(a+x)=-f(bx),则函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称，特别地，若f(a+x)=f(ax),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.3 .若f(x)的图象有两条对称轴x=aHx=

5、b(ab),则f(x)必为周期函数，且2Ib-a|是它的一个周期；4 .若f(x)图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(awb),则f(x)必为周期函数，且5 Ib-a|为它的一个周期；6 .若f(x)的图象有一对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(awb),则f(x)必为周期函数，且4|b-aI是它的一个周期.五、三角函数图像的对称性列表函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx（k无，0）x=k无+无/2y=cosx（k无+无/2,0）x=k无y=tanx（k无/2,0）无注：上表中kCZ六、函数周期性和对称性应用举例例1:定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5-x)

6、=f(5+x),则f(x)一定是()(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：f(10+x)为偶函数，f(10+x)=f(10-x).f(x)有两条对称轴x=5与x=10,因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，.x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1x)，当一iwxw时,f(x)=x,则f(8.6)=解：f(x)是定义在R上的偶函数，x=0是y=f(x)对称轴；又f(1+x)=f(1x).x=1也是y=f(x)对称轴。

7、故y=f(x)是以2为周期的周期函数，.f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3例3.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是()(A)x=(B)x=(C)x=(D)x=解：函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+.x=，显然取k=1时的对称轴方程是x=故选(A)例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，当0WxW时，f(x)=x,则f(7.5)=()(A)0.5(B)0.5(C)1.5(D)1.5解：=y=f(x)是定义在R上的奇函数，点(0,0)是其对称中心；又.“x+Z)=-f(x)=f(x),即f(1+x

8、)=f(1-x),.直线x=1是y=f(x)对称轴，故丫=f(x)是周期为2的周期函数。f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=f(0.5)=-0.5故选(B)例5.已知函数f(x)的定义域为R,则下列命题中：若f(x2)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称；若f(x+2)=-f(x2),则函数f(x)的图象关于原点对称；函数y=f(2+x)与函数y=f(2x)的图象关于直线x=2对称；函数y=f(x2)与函数y=f(2x)的图象关于直线x=2对称.其中正确的命题序号是【解析】是错误的，由于f(x2)是偶函数得f(-x-2)=f(x-2),所以f(x)的图象关于直线x=-2

9、对称；是错误的，由f(x+2)=-f(x-2)得f(x+4)=-f(x),进而得f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数是错误的，在第一个函数中，用一x代x,y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；是正确的，令x2=t,则2x=t,函数y=f(t)与y=f(t)的图象关于直线t=0对称，即函数y=f(x-2)与y=f(2x)的图象关于直线x=2对称.例6.(2005年福建)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.2B、3C.4D.5【解析】f(x)为奇函数，f(0)=0,又函数f(

10、x)以3为周期，且f(2)=0,f(-2)=0,f(1)=0,f(4)=0,f(3)=0,f(5)=0,在区间(0,6)内的解有1,2,3,4,5.故选D.例7.已知函数f(x)的定义域为x|xCR且xw1If(x+1)为奇函数，当x<1时,f(x)=2x2x+1,则当x>1时，f(x)的递减区间是()A.4,+oo)b.(1,77C.4,+8)D.(1,4【解析】由f(x+1)为奇函数得f(x+1)=f(x+1),，f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，又由已知可画出f(x)在(一8,1)上的图象，再根据中心对称画出f(x)在7(1,+8)上的图象，由图象易知，f(x)在一,+

11、8)上单调递减，故应选C.例8.(2005年广东)对函数f(x),当xC(巴oo)时，f(2x)=f(2+x),f(7x)=f(7+x),在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论.【解】(1)由已知得f(0)W0,f(x)不是奇函数，又由f(2x)=f(2+x),得函数y=f(x)的对称轴为x=2,1.f(1)=f(5)w0,f(1)wf(1),f(x)不是偶函数.故函数y=f(x)是非奇非偶函数；(2)由f(4x)=f(14x)f(x)=f(x+10),从而知y=f(x

12、)的周期是10.又f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(7)=f(9)=0,故f(x)在0,10和10,0上均有两个解，从而可知函数y=f(x)在0,2005上有402个解，在上2005,0有400个解，所以函数y=f(x)在2005,2005上有802个解.补充题兀x二1 .函数f(x)=as1nxbcosx图象的一条对称轴方程是4,则直线ax_by+c=0的倾斜角为(B)二3三三2二A、4B、4c、3D、32,若函数y=f(x)的图象和y=sin(x+”)的图象关于点P(",0)对称，则f(x)的表达式44是(B)TEJIJIJIA.cos(x+)b,-cos(x-

13、)c,-cos(x+)d,cos(x-)44443 .函数f(x)=Asin(xx+邛)(A>0,>0)的部分图象如图所示，贝Uf(1)+f(2)+f(2006)的值等于(B)A.0C. 2+.2B.、2D. 2-yf24 .(本题满分14分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x3y6=0，点T(1,1)在AD边所在直线上.(I)求AD边所在直线的方程；(II)求矩形ABCD外接圆的方程；解：(I)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3.又因为点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方

14、程为y-1=-3(x+1),3x+y+2=0.6分,x-3y-6=0(II)由'解得点A的坐标为(0,2),3xy2=0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0).10分所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又AM=J(20)2十(0+2)2:2应.从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2+y2=8.14分5 .一个圆和已知圆x2+y22x=0外切，并与直线l:x+J3y=0相切于点M(3,f/§),求该圆的方程已知圆方程化为：(x1)2+y2=1,其圆心P(1,0),半径为1设所求圆的圆心为C(a,b),则半径为la-3)+(b+73),因为两圆外切:PC|=1+J(a32

15、+(b+J32,从而v'(a-12+b2=1+V(a-3f+(b+<3)又所求园与直线l:x十%3x=0相切与M(3,-V3)直线CM_Ll,mkl=-1I于是一工.匕起=1，即b="&-4收33a-32将(2)代入(1)化间，得a4a=0,，a=0或a=42当2=0时，b=-4.3,所求园万程为x2y4.3=3629当2=4时，b=0,所求园方程为x-4y=4巧用对称性解光反射问题光反射原理是反射角等于入射角，用“到角公式”来解决这类问题，计算较繁，若用对称的方法，则能收到化难为易，化繁为简的效果.例1光线从点A(-1,4)射出，遇到直线l：2x+3y6=0即

16、行反射，其反射光线过点(3,62),求反射光线所在直线的方程.13y-4_3解：设点A关于l地对称点为A/(x,y),则<x+12上2x1+3X-4-6=029x=解得1328y=13A，(一空音)1313由两点式可得A/B所在直线方程为13x-26y+85=0,即反射光线所在直线的方程为13x-26y85=0例2光线从点A(-3,4)射出，与x轴交于B,后经x轴反射与y轴交于C，再经过y轴反射，其反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线的方程解：如图，设AB所在的直线方程为y-4=k(x+3),则BC所在直线的方程为y4=k(x+3),CD所在的直线的方程为y-4=k(-x+3),又点D(