第五节线性变换的矩阵表示式ppt课件

1、1第七章线性空间与线性变换2第七章线性空间与线性变换阶矩阵阶矩阵设设n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 为为中中的的变变换换定定义义其其中中)(,21xTyRaaanniiii 3第七章线性空间与线性变换),( ,)(RxAxxTn .为线性变换为线性变换则则T那那么么为为单单位位坐坐标标向向量量设设,21eeen,00112122221112111 aaaaaaaaaeAnnnnnn,100212222111211 nnnnnnnnaaaaaaaaaeA ,4第七章线性空间与线性变换), 2 , 1( )( nieTeAiii 即即.)(,)(, 为为列

2、列向向量量应应以以那那么么矩矩阵阵有有关关系系式式如如果果一一个个线线性性变变换换因因此此eTAAxxTTi 那那么么使使如如果果一一个个线线性性变变换换反反之之), 2 , 1()(, nieTTii )(xT),(21xeeeTn )(2211exexexTnn )()()(2211eTxeTxeTxnn xeTeTeTn)(,),(),(21 xn),(21 .Ax 5第七章线性空间与线性变换其其中中表表示示都都可可用用关关系系式式中中任任何何线线性性变变换换,)()(, RxAxxTTRnn )(,),(),(21eTeTeTAn , 212222111211 aaaaaaaaannn

3、nnn.,21为单位坐标向量为单位坐标向量eeen可可知知综综上上所所述述,6第七章线性空间与线性变换二、线性变换在给定基下的矩阵二、线性变换在给定基下的矩阵 ,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 定义定义7 7设设 是线性空间是线性空间 中的线性变换，在中的线性变换，在 中取定一个基中取定一个基 ，假设这个基在变换，假设这个基在变换下的象为下的象为nVnVn ,21TT7第七章线性空间与线性变换其中其中,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA ATnn ,2121 上式上式 ,2121nnTTTT 记记可表示为可表示为那末

4、，那末， 就称为线性变换就称为线性变换 在基在基 下的下的矩阵矩阵n, 21AT8第七章线性空间与线性变换.)(,),(,1唯一确定唯一确定由基的象由基的象矩阵矩阵显然显然 nTTA.,TAATVn个个线线性性变变换换也也可可唯唯一一地地确确定定一一由由一一个个矩矩阵阵确确定定一一个个矩矩阵阵可可唯唯一一地地由由线线性性变变换换中中取取定定一一个个基基后后在在.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下9第七章线性空间与线性变换即变换平面的线性表示将向量投影到中在,3xOyTR 例13例13,)(j yi xkzj yi xT .,)2(;,

5、)1(的矩阵的矩阵求求取基为取基为的矩阵的矩阵求求取基为取基为TkjijiTkji 解解 , 0, )1(kTjjTiiT.000010001),(),( kjikjiT即即10第七章线性空间与线性变换 , , , )2( jiTjTiT.000110101),(),( T即即此例阐明：同一个线性变换在不同的基下普通此例阐明：同一个线性变换在不同的基下普通有不同的矩阵有不同的矩阵11第七章线性空间与线性变换三、线性变换在不同基下的矩阵三、线性变换在不同基下的矩阵,;,2121nn 定理设线性空间定理设线性空间 中取定两个基中取定两个基nV由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ， 中的线

6、性变换中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为 和和 ，那末，那末 n ,21n ,21nV.1APPB PTAB12第七章线性空间与线性变换于是于是 nnTB ,2121 ,21PTn PTn ,21 证明证明 Pnn ,2121 ,2121ATnn BTnn ,2121 13第七章线性空间与线性变换 APn ,21 APPn121, 由于由于 线性无关，线性无关，n, 21所以所以.APPB1 证毕证毕.定理阐明：定理阐明： 与与 类似，且两个基之间的过渡类似，且两个基之间的过渡矩阵矩阵 就是类似变换矩阵就是类似变换矩阵BAP14第七章线性空间与线性变换).(,ART

7、TA的的秩秩就就是是则则的的矩矩阵阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若.,)(的秩性变换称为线的维数的象空间线性变换TVTTn 定定义义8 815第七章线性空间与线性变换四、小结四、小结给定了线性空间给定了线性空间 的一组基以后，的一组基以后， 中的线中的线性变换与性变换与 中的矩阵构成一一对应因此，在中的矩阵构成一一对应因此，在线性代数中，可以用矩阵来研讨变换，也可以用线性代数中，可以用矩阵来研讨变换，也可以用变换来研讨矩阵变换来研讨矩阵nRnRnnR 同一变换在不同基下的矩阵是类似的同一变换在不同基下的矩阵是类似的的两个线性变换的两个线性变换已知已知22 R 22, RXMXXSXNXT 1111,0201NM.,22211211下下的的矩矩阵阵在在基基试试求求EEEEST 思索题思索题16第七章线性空间与线性变换思索题解答思索题解答)( 11EST 解解)()(1111ESET EMNE1111 0001020111110001 0212,22211211EEE 同理可得同理可得,22001 )( 2211121212EEEMNEEST 17第七章线性空