医学数学-初等变换与线性方程组参考模板

1、一、矩阵的初等变换 定义 对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等变换： （1）交换矩阵的任意两行； （2）矩阵的任意一行乘以非零数 k ；（3）矩阵的任意一行乘以 k 加到另外一行。 、 行阶梯形矩阵，特点是可以画一条阶梯线，线的左下方元素全为零；行简化阶梯形矩阵，其非零行的首非零元为 1，且非零元所在列的其它元素都为零。二、矩阵的秩 定义 当矩阵 A 为阶梯形矩阵，或经过若干次初等变换可转换为阶梯形矩阵时，其非零行的行数称为矩阵 A 的秩，记为 r(A)。二、线性方程组解的判定 定理 若 n 元线性方程组的系数矩阵为 A，增广矩阵为 B，有 如果 r（B）= r（A）= n 则线性方程组有唯

2、一解； 如果 r（B）= r（A） n 则线性方程组有无穷多解； 如果 r（B） r（A） 则线性方程组无解。例6 解线性方程组 （1） 求增广矩阵 B 的秩 r(B) 与系数矩阵 A 的秩 r(A)； （2） 判断线性方程组解的情况； （3) 若有解，求解。 解 （1） 对增广矩阵 B 做初等变换，化为阶梯形矩阵，即 1 第一行乘以 -1 加到第二行，第一行乘以 -2 加到第三行；所以，得出：r(B) = 3，r(A) = 3. （2）由于 r(B) = r(A) = 3 n = 4 所以该线性方程组有无穷多解。 （3）继续做初等变换，化为简化阶梯形矩阵2 第二行乘以 1/2 ；3 第三行加

3、到第一行；4 第二行加到第一行。得到 得到此线性方程组无穷多解的一般表达式为 （其中 c 为任意常数） 验算取 c = 0 与 c = 1，分别得出 带入原方程组方程组成立例7 已知线性方程组有解，求 的值，并解线性方程组。 解：对增广矩阵 B 进行初等变换1 第一行的 -1 倍加到第三行；2 第二行的 -1 倍加到第三行；系数矩阵 A 的秩 r(A) = 2 由题意可知方程组有解，表明 r(B) = r(A) = 2，可得出 4 = 0解得 = 4即当 = 4 时，有 r(A) = r(B) = 2 3 = n 继续做初等变换，化为简化阶梯矩阵，有3 第二行乘以 1/3；4 第二行加到第三行

4、；得到即方程组无穷多解的一般表达式为（c 为任意常数）验算取 c = 0 与 c = 1，分别得出分别带入 方程组成立，表明所求解无误。 例6 解线性规划问题 解 1 确定约束条件范围 在 X1OX2 中，画出边界直线 x1 + 2x2 = 6、x1 = 4 和 x2 = 2 。 （a）对于 x1 + 2x2 = 6 取 x2 = 0，则 x1 = 6 得出与 x1 轴交点 （6，0）； 取 x1 = 0，则 x2 = 3 得出与 x2 轴交点 （0，3）。 （b）对于 x1 = 4 取 x1 = 4，x2 = 0 点做 x2 轴平行线。 （c）对于 x2 = 2 取 x1 = 0，x2 =

5、2 点做 x1 轴平行线。 判断约束条件的取值区域 （a）对于 x1 + 2x2 6，取 x1 = 0，x2 = 0 有x1 + 2x2 = 0 6，表明直线 x1 + 2x2 = 6 左下侧满足x1 + 2x2 6。 （b）对于 x14，取 x1 = 0，x2 = 0 点，得 x1 = 0 4，表明直线 x1 = 4 左侧满足 x14。 （c）对于 x22，取 x1 = 0，x2 = 0 点，得 x2 = 0 2，表明直线 x2 = 2 下侧满足 x22。 约束条件范围 考虑决策变量为非负的约束，即 x1 0，x2 0，得出约束条件范围，即决策变量可取值范围（可行域）为 OABCD。2 确定

6、目标函数取值趋向 选取适当的量值，在坐标系中画出目标函数直线族中的一条直线。 设 Z = 2，有 x1 + 2x2 = 2 取 x2 = 0，则 x1 = 2 得出与 x1 轴交点为（2，0）； 取 x1 = 0，则 x2 = 1 得出与 x2 轴交点为（0，1）。 判定目标函数取值趋向 取 x1 = 0，x2 = 0，有 x1 + 2x2 = 0 2，表明目标函数向右上侧移动量值增加，反之减少。 3 确定最优解 由目标函数可移动区域 OABCD，得出 BC 之间连线上点的坐标均为为最优解。 线段 BC 的表达式为 x1 + 2x2 = 6 （2 x1 4)即 x2 = -1/2x1 + 3 （2 x1 4)最优解的一般表达式为 x