二次函数图象(1)

1、二次函数y=ax2的图象和性质一般地一般地, ,形如形如的函数的函数, ,叫做二次函数叫做二次函数. .其中其中, ,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项和常数项. .y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)二次函数二次函数: : 一次函数的图像是一条直线一次函数的图像是一条直线, ,反比例函数的图反比例函数的图像是双曲线像是双曲线, ,二次函数的图像是什么形状呢二次函数的图像是什么形状呢? ?通常怎样通常怎样画一个函数的图像画一个函数的图

2、像? ?x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y y画函数画函数y=xy=x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 根据表中根据表中x,yx,y的数的数值在坐标平面中描点值在坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线顺再用平滑曲线顺次连接各点次连接各点, ,就得到就得到y=xy=x2 2的图像的图像. . 还记得如何用还记得如何用描点法画一个函数描点法画一个函数的图像吗的图像吗? ?y=x

3、y=x2 2x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y y请画函数请画函数y=y=x x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表 -9-9 -4-4-1 -10 0-1 -1-4-4 -9-9 (2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线 根据表中根据表中x,yx,y的数的数值在坐标平面中描点值在坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线顺再用平滑曲线顺次连接各点次连接各点, ,就得到就得到y=xy=x2 2的图像的图像. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2二次函数二

4、次函数y=ax2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做所经过的路线，我们把它叫做抛物线抛物线。22xy232xy221xy2xy2xy这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物

5、线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。xyoxyo 从图像可以看出从图像可以看出, ,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像的图像都是一条曲线都是一条曲线, ,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线在空中所经过的路线. .这样的曲线叫做这样的曲线叫做抛物线抛物线. .y=xy=x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=xy=x2 2. .y=y=x x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=y=x x2 2. . 实际上实际上, ,二次函数的图像二次函数的图像都是都是抛物线抛物线. .它们的它们的开口向上开口向上

6、或者或者向下向下. .一般地一般地, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=axy=ax2 2+bx+c.+bx+c. 还可以看出还可以看出, ,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图的图像都是像都是轴对称图形轴对称图形, ,y y轴是它们的对称轴轴是它们的对称轴. .抛物线抛物线与与对称轴对称轴的的交点交点叫做抛物线的叫做抛物线的顶点顶点. .抛物线抛物线y=xy=x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最低点最低点. .抛物线抛物线y=y=x x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它

7、的最高点最高点. .y=xy=x2 2y=y=x x2 22xy2xy 1、观察右图，、观察右图，并完成填空。并完成填空。抛物线抛物线y=x2y=-x2顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性极值极值（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）在在x轴的下方（除顶点外）轴的下方（除顶点外）向上向上向下向下当当x=0时，最小值为时，最小值为0。当当x=0时，最大值为时，最大值为0。二次函数二次函数y=ax2的性质的性质、顶点坐标与对称轴、顶点坐标与对称轴、位置与开口方向、位置与开口方向、增减性与极值、增减性与极值2 2、练习、练习2 23

8、 3、想一想、想一想 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 4 4、练习、练习4 4动画演示动画演示 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 答：抛物线抛物线答：抛物线抛物线y=x2与抛物线

9、与抛物线 y= -x2 既关于既关于x轴对轴对称，又关于原点对称。只要画出称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与与y= -ax2中的中的一条抛物线，另一条可利用关于一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点轴对称或关于原点 对称来画。对称来画。2xy2xy 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。 当当a0a0时时, ,抛物线的开口向抛物线的开口向上上, ,顶点是

10、抛物线的最低点顶点是抛物线的最低点, ,a a越大越大, ,抛物线的开口越小抛物线的开口越小; ; 当当a0a0 a0 a0 a0 m+10 mm2 2+m=2 +m=2 解解得得:m:m1 1=2, m2, m2 2=1=1 由由得得:m:m1 1 m=1 m=1 此时此时, ,二次函数为二次函数为: y=2x: y=2x2 2, ,22xy232xy2 2、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，时，函数函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上, ,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点; ; 当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 xy