9-系统对任意激励的响应-卷积积分

1、上次内容回顾：上次内容回顾：等效粘性阻尼、系统对等效粘性阻尼、系统对周期激励的响应周期激励的响应讲述的内容讲述的内容第三章第三章 强迫振动强迫振动3.8 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应卷积积分卷积积分3 38 8系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应卷积积分卷积积分 3 37 7节讨论了周期激励作用下系统的响应。节讨论了周期激励作用下系统的响应。在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周期振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期期振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期函数，而是任意的时间函数，或者是在极短时间函数，而是任意的时间函数，或者

2、是在极短时间间隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢间隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结构的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击构的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击波对房屋建筑的作用；精密仪表在运输过程中包波对房屋建筑的作用；精密仪表在运输过程中包装箱速度装箱速度( (大小与方向大小与方向) )的突变等。的突变等。在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将只有瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将按固有频率进行自

3、由振动。但只要激励持续，即按固有频率进行自由振动。但只要激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持续下去。系统在任意激励作用下的振动状态，包续下去。系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的响应，周期激励是任意激励的一种特例。响应，周期激励是任意激励的一种特例。 有多种方法可以确定系统对任意激励的响应，有多种方法可以确定系统对任意激励的响应，这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过令

4、里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。所以，周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。所以，实质上激励不再是周期的。另一种方法是将激励实质上激励不再是周期的。另一种方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。动。 1 1脉冲响应脉冲响应 一单位脉冲输入，具有

5、零初始条件的系统一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称为系统的脉冲响应。响应，称为系统的脉冲响应。 宽度宽度T0T0、高度、高度l lT0T0的矩形脉冲，如图所示。的矩形脉冲，如图所示。这个矩形脉冲的面积为这个矩形脉冲的面积为1 1，为了得到单位脉冲，为了得到单位脉冲，使脉冲宽度使脉冲宽度T0T0接近于零，而保持面积为接近于零，而保持面积为1 1，在极，在极限情况下，单位脉冲的数学定义为限情况下，单位脉冲的数学定义为这个脉冲发生在这个脉冲发生在t=Ot=O处，如图所示。如果单位脉冲处，如图所示。如果单位脉冲发生在发生在t=at=a处，则它可由下式定义处，则它可由下式定义注意，注意，(t(

6、t-a)-a)是一个沿着时间轴正向移动了是一个沿着时间轴正向移动了a a时间时间的单位脉冲。的单位脉冲。 具有上述特性的任何函数具有上述特性的任何函数( (并不一定是矩形并不一定是矩形脉冲脉冲) )，都可用来作为一个脉冲，称为，都可用来作为一个脉冲，称为函数。函数。数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现，然而在具体系统的脉冲试验中，若应用中实现，然而在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系统的固有周期激励的持续时间同系统的固有周期(T=1(T=1f)f

7、)相比相比非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。函函数的单位为数的单位为s s-1-1，在其他方面的情况，在其他方面的情况，函数将有函数将有不同的量纲。不同的量纲。 如果在如果在t=0t=0与与t=at=a处分别作用有瞬时冲量处分别作用有瞬时冲量 ，则对，则对应的脉冲力可方便地写成应的脉冲力可方便地写成式中式中 的单位为的单位为N Ns s。 现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力 的响应，系统振动微分方程为的响应，系统振动微分方程为假定系统在脉冲力假定系统在脉冲力 作用之前处于静止，即作用之前处于静止，即由于由于 作用在作用

8、在t=0t=0处，对于处，对于t0+t0+，系统不再受，系统不再受脉冲力的作用，但其影响依然存在。另外，系统对脉冲力的作用，但其影响依然存在。另外，系统对于零初始条件的响应，将变成于零初始条件的响应，将变成t=O+t=O+时的初始条件引时的初始条件引起的自由振动。起的自由振动。为了找出为了找出t=0+t=0+时的初始条件，对方程时的初始条件，对方程在区间在区间0-tO+0-tO+上积分两次，有上积分两次，有因为因为则方程则方程的右端积分两次为无限小量，可以略去不计。又因的右端积分两次为无限小量，可以略去不计。又因为位移为位移x x为有限值，所以方程左端第二项和第三项为有限值，所以方程左端第二项

9、和第三项的积分值是无限小量或高一阶的无限小量，同样近的积分值是无限小量或高一阶的无限小量，同样近似取为零。考虑到似取为零。考虑到x(Ox(O-)=0-)=0，则有，则有也就是说，在脉冲力也就是说，在脉冲力 作用的极短时间内，质作用的极短时间内，质量量m m还来不及发生位移。还来不及发生位移。在区间在区间0-tO+0-tO+上积分一次，有上积分一次，有现在，只对方程现在，只对方程 同理，上面方程的右端为同理，上面方程的右端为 ，左端的第二项为，左端的第二项为零，而第三项可以忽略不计，得零，而第三项可以忽略不计，得 可见，若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力可见，若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使

10、速度产生瞬时变化，则可以认为在使速度产生瞬时变化，则可以认为在t=0t=0时作用的脉时作用的脉冲力等效于初始位移冲力等效于初始位移x(0)=0 x(0)=0和初始速度和初始速度 的的初始干扰作用，初始干扰作用，所以方程所以方程等价于初始条件引起的自由振动，即等价于初始条件引起的自由振动，即其解为其解为令令 ，则系统受单位脉冲力，则系统受单位脉冲力F(t)=(tF(t)=(t) )作用，作用，其响应称为脉冲响应，即其响应称为脉冲响应，即2 2卷积积分卷积积分 利用脉冲响应，可以计算振动系统对任意激励函利用脉冲响应，可以计算振动系统对任意激励函数数F(tF(t) )的响应，把的响应，把F(tF(t

11、) )视为一系列幅值不等的脉冲，视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近似地代替激励用脉冲序列近似地代替激励F(tF(t) )，如图所示，脉冲的，如图所示，脉冲的强度由脉冲的面积确定，在任意时刻强度由脉冲的面积确定，在任意时刻t=t=处，相应的处，相应的时间增量为时间增量为，有一个大小为，有一个大小为F()F()的脉冲，的脉冲，相应的力的数学表达为相应的力的数学表达为F()F()(t-(t-) )。因为在。因为在t = t = 处 对 脉 冲 的 响 应 为处 对 脉 冲 的 响 应 为 h ( t - h ( t - ) ) ， 所 以 脉 冲， 所 以 脉 冲F()F()(t-(t-) )的

12、响应为其单位脉冲响应和脉冲的响应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即强度的乘积，即F()F()h(t-h(t-) )。通过叠加，求出。通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为序列中每一脉冲引起的响应的总和为令令00，并取极限，上式表示为积分形式，并取极限，上式表示为积分形式上式称为卷积积分，又称为杜哈梅上式称为卷积积分，又称为杜哈梅(Duhamel)(Duhamel)积分，积分，它将响应表示成脉冲响应的叠加。这里它将响应表示成脉冲响应的叠加。这里h(t-h(t-) )是是将方程中将方程中h h（t t）的）的t t用用t-t-代替后得到的。因而，代替后得到的。因而，将方程中将方程中h h

13、（t t）的）的t t换成换成t-t-后代入上面方程，得后代入上面方程，得到到上式表示单自由度有阻尼的质量上式表示单自由度有阻尼的质量弹簧系统对任意弹簧系统对任意激励激励F(tF(t) )的响应。要注意的是，上面方程是在零初的响应。要注意的是，上面方程是在零初始条件下，对于输入始条件下，对于输入F(tF(t) )得到的系统输出得到的系统输出x(tx(t) )。若。若在在t=0t=0时，任意激励时，任意激励F(tF(t) )作用的瞬时，系统的初始作用的瞬时，系统的初始位移和初始速度为位移和初始速度为则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，

14、即积分式中的脉冲响应被推迟或移动了时间积分式中的脉冲响应被推迟或移动了时间t-t-，也可以移动激励函数也可以移动激励函数F(tF(t) )来代替脉冲响应的移动来代替脉冲响应的移动而导出一个相似的式子。令而导出一个相似的式子。令t-t-=u=u则则-dr-dr=du=du，此，此外考虑式中的积分限界，当外考虑式中的积分限界，当=0=0时，时，u=tu=t，当，当=t=t时，时，u=0u=0，将其代入式中，得到，将其代入式中，得到式式上式为卷积积分的另一种表达形式。式中的上式为卷积积分的另一种表达形式。式中的和式和式中的中的u u只是积分变量，可见卷积积分对于激励只是积分变量，可见卷积积分对于激励

15、F(tF(t) )和脉冲响应和脉冲响应h(th(t) )是对称的，即是对称的，即 卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。虽然式虽然式不便于笔算，但是用计算机可以容易地进行计算。不便于笔算，但是用计算机可以容易地进行计算。例例3 38-18-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：试用卷积积分计算其响应。试用卷积积分计算其响应。解：在方程解：在方程中，令中，令=0=0，d=nd=n，则，则为当为当tOtO时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式上式右端第一项代表强迫

16、振动，它是按激励频率上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减；进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减；第二项是按固有频率第二项是按固有频率nn进行的自由振动，只要振进行的自由振动，只要振动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动可同时得出。应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动可同时得出。例例3.83.82 2 试确定单自由度试确定单自由度无阻尼系统在零初始条件下无阻尼系统在零初始条件下对图中激励函数的响应。对图中激励函数的响应。 解：由图可得激励函数为解：由图可

17、得激励函数为 由方程由方程 得到得到例例3.83.83 3 如图所示为一质如图所示为一质量量弹簧系统，箱子由高弹簧系统，箱子由高h h处静处静止自由下落，当箱子触到地面止自由下落，当箱子触到地面时，试求传递到质量时，试求传递到质量m m上的最大上的最大力是多少力是多少? ?假定质量假定质量m m和箱子之和箱子之间有足够的间隙，不会碰撞。间有足够的间隙，不会碰撞。 解：设解：设x x与与y y分别代表质量分别代表质量m m与箱子的绝对位移，与箱子的绝对位移，在自由下落过程中，质量在自由下落过程中，质量m m的运动微分方程为的运动微分方程为以以z=x-yz=x-y代表质量代表质量m m相对于箱子的

18、相对位移，有相对于箱子的相对位移，有式中式中 假定箱子的质量远大于质量假定箱子的质量远大于质量m m，因而可以认为，因而可以认为质量质量m m的运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是的运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是由高由高h h处自由下落，故有处自由下落，故有由卷积积分由卷积积分有有因而因而这就是在箱子着地前质量这就是在箱子着地前质量m m相对于箱子的位移与速度。相对于箱子的位移与速度。设箱子着地的瞬时为设箱子着地的瞬时为t1t1，由自由落体知，由自由落体知就在瞬时就在瞬时t1t1之前，质量之前，质量m m的相对位移和相对速度为的相对位移和相对速度为同时箱子的速度为同时箱子的速度为由于箱子

19、着地后即静止在地面上，不回跳。在箱子由于箱子着地后即静止在地面上，不回跳。在箱子着地的瞬间，质量着地的瞬间，质量m m相对箱子的位移与速度分别为相对箱子的位移与速度分别为改取瞬时改取瞬时t t1 1为初始瞬时，则箱子着地后质量为初始瞬时，则箱子着地后质量m m相相对箱子作自由振动，其相对运动方程为对箱子作自由振动，其相对运动方程为式中式中通过弹簧传递到质量通过弹簧传递到质量m m上的最大力等于上的最大力等于kAkA，即，即3 3单位阶跃响应单位阶跃响应 作为卷积积分的一种应用，现在来计算单作为卷积积分的一种应用，现在来计算单自由度阻尼系统对单位阶跃函数的响应。自由度阻尼系统对单位阶跃函数的响应

20、。如图所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为如图所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为显然，函数在显然，函数在t=at=a处有一突变，其值从处有一突变，其值从O O跳到跳到1 1。如。如果突变发生于果突变发生于t=0t=0处，那么这一函数可以简单地写处，那么这一函数可以简单地写成成u(tu(t) )。单位阶跃函数是无量纲的函数。于是当。单位阶跃函数是无量纲的函数。于是当一个任意函数一个任意函数F(tF(t) )与单位阶跃函数与单位阶跃函数u(tu(t-a)-a)相乘时，相乘时，F(t)u(tF(t)u(t-a)-a)相对于相对于tatata的部分则不受影响，即的部分则不受影响，即 单位阶跃函数单位

21、阶跃函数u(tu(t-a)-a)与脉冲函数与脉冲函数(t(t-a)-a)之间存在之间存在着密切的关系，即着密切的关系，即反过来，则反过来，则(t(t-a)-a)可以视为可以视为u(tu(t-a)-a)对时间的导数，即对时间的导数，即当初始条件为零时，系统对在当初始条件为零时，系统对在t=0t=0处所作用的单位处所作用的单位阶跃函数阶跃函数u(tu(t) )的响应，称为系统的单位阶跃响应，的响应，称为系统的单位阶跃响应，用用g(tg(t) )表示。表示。将将F()=u(F()=u() )代入卷积积分，可得单位阶跃响应代入卷积积分，可得单位阶跃响应考虑到考虑到因而积分可以改写成因而积分可以改写成令令t-t-=a=a，d=-dad=-da，并互换积分的限界后，积分成为，并互换积分的限界后，积分成为作一些代