微积分BIIA答案试卷

1、2008-2009学年第二学期微积分(B)II期末考试试卷(A)答案一、填空题（每小题4分，共24分）1设=.2 所确定的函数, 且F 的一阶偏导数连续, = -1 .3设函数则此函数的梯度=. 4 交换二次积分的积分次序.后,= . 5= .6下列4个级数的收敛性(填收敛或发散)为(A)发散, (B)收敛, (C)收敛, (D)发散.(A), (B), (C), (D).评分：第4题差一个负号给3分。第2题差一个负号给1分。二、简单计算题（每小题6分，共36分）7. 计算,其中D是由所围成的区域.解：原式=.评分：第一个等号给4分,积分限3分(前1后2)。第2个等号给1分,答数1分。8. 设

2、试分别用直角坐标、柱面坐标及球面坐标将I 表成三次积分形式.解：直角: I =柱面: I =球面: I =评分：每一个式子给2分。9. 计算曲线积分,其中L为连接 (1,0), (0,1) 两点的直线段.解：原式=评分：给2分, 给2分,积分限给1分, 答数1分。10. 判别下列积分是否与路径有关, 并求积分之值. 解： 积分与路径有关,积分值=评分：给2分, “与路径有关”给1分,第2行1个等号给1分。11. 求微分方程的通解.解：， 代入原方程淂：。评分：给2分, 得“” 给2分，答案（有不同形式）给2分。12 (1)求微分方程 的通解.(2)求微分方程 的特解形式.解: (1) (2)

3、评分：（1）到第1、2、3个“”前给到2、3、4分, （2）2分。有 即k=2给1分.三、计算题（每小题分数依次为7,7,10,10分，共34分）13. 设其中函数u 的二阶偏导数连续.(1)求(2)问a、b为何值时，使解:(1),(2) 即为所求.评分:(1)5分.一个结果1分。（2）2分。第一个等号1分,结果1分.14. 把函数展成x 的幂级数,并指出其收敛区间(不考虑区间端点).解： ( | t |<1 ) ( | x |<1 )评分: 有“|x|<1”1分。第二个等号3分, 结果2分.15计算曲面积分， 其中所截得部分的下侧.令所截得部分的上侧,则 原式=由高斯公式

4、由曲面积分计算公式故 原式=评分: 令“”2分。所求写成两个积分的差1分, 高斯公式3分，其中第1、2个等号各1分，答数1分。另一个积分2分。总答数 1分.16 求在区域上的最大值和最小值。解：，所以D内驻点为.边界1:上显然函数最大值点为(-2,0),(2,0)，最小值点为(0,0)。为求边界2上的最大值与最小值，构造辅助函数，则由，得到可疑点，所有疑点的函数值依次为2,2,4,4,0,，所以最大值为8，最小值为0。评分: “D内驻点”3分(求导2分, 驻点1分)；“边界1”2分；“边界2”4分(辅助函数1分,求导1分,疑点2分);结论1分四、应用题（共6分）17有一房间容积为100，开始时房间空气中含有0.12%的，为了改善房间的空气质量，用一台风量为10/min的排风扇通入含0.04%的的新鲜空气，同时以相同风量将混合均匀的空气排出，求房间中的含量x（单位：）与时间t（单位：min）的关系 x=x (t) 满足的