微积分选讲论文 杨鹏辉

1、微积分选讲论文 杨鹏辉 微积分的发展史摘要：微积分世界近代数学的重要内容，从17世纪到19世纪先后经过了多位数学家的发展完善，现在它不但成为高等数学发展的基础,也成为了众多相关科学发展的数学分析工具。微积分主要的建立工作由牛顿和莱布尼兹完成，解决了许多问题，后来经过柯西与魏尔斯特拉斯等人的完善，才有了现在完备的知识体系。而且在此基础上又产生了多种分支学科。关键词：微积分 微分 积分 发展 一 微积分和极限的思想萌芽虽然微积分是近代数学才建立起来的，但其萌芽出现的比较早，中国战国时代的庄子.天下篇中的“一尺之棰,日取其半,万事不竭”,以及著名的芝诺悖论就是朴素的极限概念；阿基米德在研究解决抛物弓

2、形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。古希腊的安提丰提出了穷竭法，欧多克斯做了补充和完善，来求平面圆形的面积和立体的体积。虽然穷竭法不能算作正确的极限算法，但的确体现了这种思想。刘徽的割圆术是古代中国乃至世界极限观念的佳作。割圆术大致是这样的:如图，设圆面积为S，半径为r，圆内接正n边形面积为Sn，将边长加倍后，得到圆内接2n边形，其面积为S2n，由图可知S2n<S<S2n +(S2n-Sn). 通过求多边形面积逼近圆面积来确定的值。这个方法比阿基米德同时使用内接和外切正多边形还要简捷。二 微积分的起源到了17世纪，以力学为中心，有四类问题亟待

3、解决：1.运动学问题：已知物体移动的距离表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度，或已知后者求前者。2.曲线切线问题：望远镜的设计中要考虑曲线的法线，需要求切线。3.最（极）值问题：生产生活中会遇到很多求最优解的问题。4.曲线的弧长，曲线围成的平面图形的面积，曲面围成的立体体积，物体重心等。这四个问题的解决过程促成了微积分的诞生。微分的思想来自于求曲线的切线，在笛卡尔建立了解析几何后，笛卡尔和费马等人就找到了几种求切线的方法，而费马的方法和现在的算法已经很接近了。设PT是曲线在P（x,f(x)）点的切线，PQTQ. 费马称TQ为次切线，只要知其长，便可确定T点，从而作出切线PT,这时切

4、线的斜率为：k=f(x)/TQ. 为确定TQ,设QQ1为TQ的微小增量，其长为e，显然：TQPPRT1.费马认为，当e很小时，RT1同RP1几乎相等，所以有：PR/TQ=Q1P1/QP. 也即: eTQ=f(x+e)-f(x)f(x), 那么：k=f(x+e)-f(x)e. 显然这和我们现在认识切线与为微分的关系几乎一样。 积分的思想来源于求不规则图形和几何体的面积体积，就是用无限小的元素求和再另某个变量趋于无穷大。比如求曲线y=x2,x轴，直线x=a 围成的图形的面积问题，把图形底分为n等分，得到n个矩形，帕斯卡称为无穷小矩形，面积和为d·d2+d·(2d)2+d

5、3;(nd)2.易算出和S=16n(n+1)(2n+1)d3.当n趋于无穷大时，S趋于13a2.所以帕斯卡用略去无穷小量的方法计算出了结果。尽管这种方法很有效，在当时解决了不少问题，但他们只是凭借着自己的计算能力和对级数的处理能力才求得结果，并不揭示出微积分的本质。这个阶段的数学家虽然没有建立微积分，但却是牛顿自己所说的巨人，牛顿正是站在他们的肩膀上才完成了这一工作。 三 微积分的建立 牛顿的研究是在力学问题的基础的上，他研究位移，速度，时间的关系。并得到变化率这一概念。知道位移关于时间的变化率就是速度后，牛顿进一步发现了微分和积分的互逆关系，揭示了微积分的基本定理.差不多同时德国的莱布尼兹也

6、发明了微积分。他们的不同之处有一点是他们使用的各种符号，我们现在使用的数学上的微积分符号大多是莱布尼兹创造的，诸如用dx来表示微分，用来表述积分。这些符号比牛顿使用的符号更容易接受。他们的共同处理方法都是忽略无穷小，比如求面积时忽略矩形剩余的小三角形。如图：因为在划分越来越细时，三角形同矩形相比是无穷小。在牛顿处理级数的时候同样常常使用无穷小这一概念。但无穷小这一概念他们都没有明确指出其实质，这也是他们的工作中的最大的遗憾。比如牛顿计算y=x2的导数，牛顿先取一个不为0的增量x,由y/x=x+x2-x²x得到2x+x,最后另x=0,求得导数为2x.虽然结果是正确的，但一些数学家如贝克

7、莱指出牛顿这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为牛顿开始假设x非零，后来又另其为零。贝克莱悖论击中了牛顿的要害，但牛顿又无法完善自己的理论。由此也感受到了牛顿莱布尼兹的微积分还不完善。 四 微积分的完善 18世纪的数学家不顾基础的不严格，论证的不严格，依靠感性认识以及自己强大的计算能力，获得了空前丰富的理论。但毕竟基础就是有问题的，所以不严密的甚至是错误的结论也多了起来。这使得数学家不得不正视这个问题。· 19世纪的法国数学家柯西首先给出了一系列分析学的基本概念的严格定义。如极限，连续等非常重要的概念。数列的极限：设有数列an和定数a,若对于任意>0,总存在一个自然

8、数N=N()，使得当n>N时，有不等式|an-a|<成立，则称n趋于无穷大时数列an是收敛的，其极限为a,记为limnan=a.还有函数的极限等在现在依然使用的是柯西的用法。 魏尔斯特拉斯，德国数学家，是数学分析的集大成者。其最大贡献就是以著名的-语言完成了分析的算术化。魏尔斯特拉斯这样说：“对于函数f(x),如果能确定一个界限，使对绝对值小于的所有h值，f(x+h)-f(x)小于可以小到人们意愿的任何程度的一个量，则称所给函数对应于变量的无穷小改变具有无穷小改变。” 用现在的说法就是：“设函数f(x)在点x0附近（或某去心邻域内）有定义，若>0，>0,当0<|x

9、-x0|<时，有|f(x)-A|<,则称常数A为函数f(x)当xx0时的极限。记作limxx0f(x)=A.他还给出了连续的定义，设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义，且limxx0f(x)=f(x0),则称函数f(x)在x0处连续。 用魏尔斯特拉斯的-语言来解释无穷小：>0，>0,当0<|x-x0|<时，有|f(x)|< ,则称f(x)当xx0时为无穷小。从定义看出：无穷小不是一个确定的数，而是反映变元或者函数的一种状态；无穷小不是0，但它的极限是0.经过微积分的发展历程来看，无穷小无疑是微积分的根基。没弄清什么是无穷小，就不能弄清楚什么是微积分。 微积分根基完善后，各种分支发展起来，诸如多元函数的微积分，场论，变分法等等如火如荼地成长。 结语 微积分的发展是曲折的，它的曲折表现在萌芽思想尽管出现很早，但建立却很晚。而且建立后甚至连根基都不完善。在不完善的基础上获得很多理论，最后由于不能自圆其说而不得不解决基础问题。从建立到完善跨越了几个世纪，凝聚了几代数学家，科学家的努力